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    2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷 word,解析版

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    这是一份2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷 word,解析版,共26页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)﹣2020的倒数是( )
    A.﹣2020B.﹣C.2020D.
    2.(3分)下列运算正确的是( )
    A.a2•a3=a6B.a5+a5=a10C.a6÷a2=a3D.(a3)2=a6
    3.(3分)如图,小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上,已知∠1=55°,则∠2的度数为( )
    A.45°B.35°C.55°D.125°
    4.(3分)一组数据3,5,3,7,7,14,3,众数、平均数分别是( )
    A.3、6B.3、5C.5、6D.3、7
    5.(3分)如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    6.(3分)2020年2月11日,联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警,30多个国家遭蝗虫灾难,巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只;每平方公里的蝗虫,每天可以吃掉35000人份粮食作物.4000亿用科学记数法表示为( )
    A.4×103B.4×107亿C.4×1010D.4×1011
    7.(3分)一个正多边形的一个内角减去其外角为120°,则这个正多边形的边数是( )
    A.八B.九C.十D.十二
    8.(3分)已知反比例函数y=(k≠0)过点A(a,y1),B(a+1,y2),若y2>y1,则a的取值范围为( )
    A.﹣1<aB.﹣1<a<0C.a<1D.0<a<1
    9.(3分)如图,P是y轴正半轴上一点,过点P作y轴垂线,分别交反比例函数y=和y=的图象于点A,B,若,则的值为( )
    A.B.C.D.
    10.(3分)已知一列数:1,﹣2,3,﹣4,5,﹣6,7,…将这列数排成下列形式:
    按照上述规律排下去,那么第100行从左边数第4个数是( )
    A.﹣4954B.4954C.﹣4953D.4953
    11.(3分)按照如图所示的流程,若输出的M=﹣6,则输入的m为( )
    A.3B.1C.0D.﹣1
    12.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则下列结论:①4ac﹣b2<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2,则y1≤y2,其中正确结论的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    13.(3分)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 .
    14.(3分)在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球,每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复实验后,发现摸到红球的频率稳定在0.4,由此估计袋中红球的个数为 .
    15.(3分)已知(b≠0),则的值为 .
    16.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为3,∠B=140°,则弧AC的长为 .
    17.(3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为 (结果保留π)
    18.(3分)如图,图中的所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,正方形A的边长为,另外四个正方形中的数字8,x,10,y分别表示该正方形面积,则x与y的数量关系是 .
    三、解答题(本大题共8个小题,共66分)
    19.(8分)计算:2sin45°+tan60°+2cs30°﹣.
    20.(8分)先化简,再求值:,其中x是|x|<2的整数.
    21.(10分)为了解同学们课外阅读的情况,现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查,用“A”,表示小说类书籍,“B”表示文学类书籍,“C”表示传记类书籍,“D”表示艺术类书籍.根据问卷调查统计资料绘制了两幅不完整的统计图,请根据统计图提供的信息解答以下问题:
    (1)本次问卷调查,共调查了 名学生.
    (2)请补全条形统计图;扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 度.
    (3)该班有40人,请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人?
    22.(8分)某校教学楼后面紧邻一个土坡,坡上面是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB长,坡度i=9:5.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造,地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡.
    (1)求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长;
    (2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F处,问BF至少是多少米?
    23.(8分)小赵为班级购买笔记本作为晚会上的奖品.回来时向生活委员交账说:“一共买了36本,有两种规格,单价分别为1.8元和2.6元.去时我领了100元,现在找回27.6元.”生活委员算了一下,认为小赵搞错了.
    (1)请你用方程的知识说明小赵为什么搞错了.
    (2)小赵一想,发觉的确不对,因为他把自己口袋里的零用钱一起当做找回的钱给了生活委员.如果设购买单价为1.8元的笔记本a本,试用含a的代数式表示小赵零用钱的数目: 元.
    (3)如果小赵的零用钱数目是整数,且少于3元,试求出小赵零用钱的数目.
    24.(8分)已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且CA=CB,延长BC至点E,使CE=BC,联结DE.
    (1)当AC⊥BD时,求证:BE=2CD;
    (2)当∠ACB=90°时,求证:四边形ACED是正方形.
    25.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AD交AB于E,△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F,过F作AB的垂线交AD于P,交AB于M,交⊙O于G,连接GE.
    (1)求证:BC是⊙O的切线;
    (2)若tan∠G=,BE=4,求⊙O的半径;
    (3)在(2)的条件下,求AP的长.
    26.(8分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E,与x轴交于点H,连接PB.
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)抛物线上存在一点G,使∠GBA+∠PBE=45°,请求出点G的坐标;
    (3)抛物线上是否存在一点Q,使△QEB与△PEB的面积相等,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
    2021年湖南省娄底市中考数学仿真试卷
    参考答案与试题解析
    一、单选题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
    1.(3分)﹣2020的倒数是( )
    A.﹣2020B.﹣C.2020D.
    【分析】根据倒数的概念解答.
    【解答】解:﹣2020的倒数是﹣,
    故选:B.
    2.(3分)下列运算正确的是( )
    A.a2•a3=a6B.a5+a5=a10C.a6÷a2=a3D.(a3)2=a6
    【分析】根据同底数幂的乘除法法则,合并同类项法则,幂的乘方法则,逐一检验.
    【解答】解:A、a2•a3=a2+3=a5,本选项错误;
    B、a5+a5=2a5,本选项错误;
    C、a6÷a2=a6﹣2=a4,本选项错误;
    D、(a3)2=a6,本选项正确;
    故选:D.
    3.(3分)如图,小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上,已知∠1=55°,则∠2的度数为( )
    A.45°B.35°C.55°D.125°
    【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3,再根据平角定义可得计算出∠3+∠2=90°,然后可算出∠2的度数.
    【解答】解:∵a∥b,
    ∴∠1=∠3=55°,
    ∵∠3+∠2+90°=180°,
    ∴∠2+∠3=90°,
    ∴∠2=90°﹣55°=35°,
    故选:B.
    4.(3分)一组数据3,5,3,7,7,14,3,众数、平均数分别是( )
    A.3、6B.3、5C.5、6D.3、7
    【分析】根据众数和平均数的概念求解.
    【解答】解:这组数据中3出现的次数最多,故3为众数,
    平均数为:=6.
    故选:A.
    5.(3分)如图图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
    【解答】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项不合题意;
    B.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项不合题意;
    C.既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意;
    D.不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项不合题意.
    故选:C.
    6.(3分)2020年2月11日,联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警,30多个国家遭蝗虫灾难,巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只;每平方公里的蝗虫,每天可以吃掉35000人份粮食作物.4000亿用科学记数法表示为( )
    A.4×103B.4×107亿C.4×1010D.4×1011
    【分析】把4000亿写成4000 0000 0000,再记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数的形式.
    【解答】解:4000亿=4000 0000 0000=4×1011,
    故选:D.
    7.(3分)一个正多边形的一个内角减去其外角为120°,则这个正多边形的边数是( )
    A.八B.九C.十D.十二
    【分析】首先设内角为x°,则其外角为(x﹣120)°,根据内角与其相邻外角和为180°,可得方程x+(x﹣120)=180,计算出x的值,进而可得外角的度数,然后可得多边形的边数.
    【解答】解:设内角为x°,则其外角为(x﹣120)°,由题意得:
    x+(x﹣120)=180,
    解得:x=150,
    则其外角为150°﹣120°=30°,
    这个正多边形的边数为:360°÷30°=12.
    故选:D.
    8.(3分)已知反比例函数y=(k≠0)过点A(a,y1),B(a+1,y2),若y2>y1,则a的取值范围为( )
    A.﹣1<aB.﹣1<a<0C.a<1D.0<a<1
    【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答.
    【解答】解:∵反比例函数y=(k≠0)中的k2>0,
    ∴反比例函数y=(k≠0)的图象经过第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小.
    ∵y2>y1,a+1>a,
    ∴点A位于第三象限,点B位于第一象限,
    ∴,
    解得﹣1<a<0.
    故选:B.
    9.(3分)如图,P是y轴正半轴上一点,过点P作y轴垂线,分别交反比例函数y=和y=的图象于点A,B,若,则的值为( )
    A.B.C.D.
    【分析】设A点坐标为(a,y),则B点坐标为(b,y),根据纵坐标相同,列出等式,即可求出的值.
    【解答】解:设A点坐标为(a,y),则B点坐标为(b,y),
    ∴AP=a,BP=﹣b,
    ∵,
    ∴=,即=﹣
    把A(a,y),B(b,y)分别代入反比例函数y=和y=得,=,
    ∴==﹣,
    故选:D.
    10.(3分)已知一列数:1,﹣2,3,﹣4,5,﹣6,7,…将这列数排成下列形式:
    按照上述规律排下去,那么第100行从左边数第4个数是( )
    A.﹣4954B.4954C.﹣4953D.4953
    【分析】分析可知第n行有n个数,此行的第一个数的绝对值为+1;且奇数时为正,偶数时为负,先判断第100行第一个数按规律写出第4个数即可.
    【解答】解:第1行:1
    第2行:﹣2,3
    第3行:﹣4,5,﹣6
    第4行:7,﹣8,9,﹣10
    第5行:11,﹣12,13,﹣14,15

    ∴第n行第一个数为(﹣1)[+1],
    ∴第100行4951,﹣4952,4953,﹣4954....
    故选:A.
    11.(3分)按照如图所示的流程,若输出的M=﹣6,则输入的m为( )
    A.3B.1C.0D.﹣1
    【分析】根据题目中的程序,利用分类讨论的方法可以分别求得m的值,从而可以解答本题.
    【解答】解:当m2﹣2m≥0时,,解得m=0,
    经检验,m=0是原方程的解,并且满足m2﹣2m≥0,
    当m2﹣2m<0时,
    m﹣3=﹣6,解得m=﹣3,不满足m2﹣2m<0,舍去.
    故输入的m为0.
    故选:C.
    12.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则下列结论:①4ac﹣b2<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2,则y1≤y2,其中正确结论的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【分析】根据函数与x中轴的交点的个数,以及对称轴的解析式,函数值的符号的确定即可作出判断.
    【解答】解:函数与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,故①正确;
    函数的对称轴是直线x=﹣1,即﹣=﹣1,则b=2a,2a﹣b=0,故②正确;
    当x=1时,函数对应的点在x轴下方,则a+b+c<0,则③正确;
    则y1和y2的大小无法判断,则④错误.
    故选:C.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    13.(3分)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 ±6 .
    【分析】若一元二次方程有两相等根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,建立关于k的等式,求出k的值.
    【解答】解:∵方程有两相等的实数根,
    ∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0,
    解得k=±6.
    故答案为:±6.
    14.(3分)在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球,每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复实验后,发现摸到红球的频率稳定在0.4,由此估计袋中红球的个数为 20 .
    【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.
    【解答】解:设盒子中有红球x个,
    由题意可得:=0.4,
    解得:x=20,
    故答案为:20.
    15.(3分)已知(b≠0),则的值为 .
    【分析】直接利用已知设a=2x,b=3x,进而代入求出答案.
    【解答】解:∵(b≠0),
    ∴设a=2x,b=3x,
    则的值为:=.
    故答案为:.
    16.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为3,∠B=140°,则弧AC的长为 π .
    【分析】连接AO,OC,根据圆内接四边形的性质得到∠D=40°,由圆周角定理得到∠AOC=80°,根据弧长的公式即可得到结论.
    【解答】解:连接AO,OC,
    ∵四边形ABCD内接于⊙O,∠B=140°,
    ∴∠D=40°,
    ∴∠AOC=80°,
    ∴的长==π,
    故答案为π.
    17.(3分)如图放置的一个圆锥,它的主视图是边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为 2π (结果保留π)
    【分析】圆锥的侧面积展开是一个扇形,扇形所在圆的半径是2,扇形的弧长是2π,然后根据圆锥的侧面积=rl计算.
    【解答】解:根据题意,圆锥的侧面积=rl=×2×2π=2π.
    故答案为:2π.
    18.(3分)如图,图中的所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,正方形A的边长为,另外四个正方形中的数字8,x,10,y分别表示该正方形面积,则x与y的数量关系是 x+y=19 .
    【分析】先由正方形A的边长为,得出SA=37,再根据勾股定理的几何意义,得到x+10+(8+y)=SA,由此得出x与y的数量关系.
    【解答】解:∵正方形A的边长为,
    ∴SA=37,
    根据勾股定理的几何意义,得x+10+(8+y)=SA=37,
    ∴x+y=37﹣18=19,即x+y=19.
    故答案为x+y=19.
    三、解答题(本大题共8个小题,共66分)
    19.(8分)计算:2sin45°+tan60°+2cs30°﹣.
    【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.
    【解答】解:原式=2×++2×﹣2
    =.
    20.(8分)先化简,再求值:,其中x是|x|<2的整数.
    【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,根据绝对值的性质求出x,代入计算即可.
    【解答】解:原式=

    =;
    又x是|x|<2的整数,
    ∴x=﹣1或0或1.
    当x=1时原式无意义.
    ∴当x=﹣1时,原式=﹣1;
    当x=0时,原式=﹣.
    21.(10分)为了解同学们课外阅读的情况,现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查,用“A”,表示小说类书籍,“B”表示文学类书籍,“C”表示传记类书籍,“D”表示艺术类书籍.根据问卷调查统计资料绘制了两幅不完整的统计图,请根据统计图提供的信息解答以下问题:
    (1)本次问卷调查,共调查了 20 名学生.
    (2)请补全条形统计图;扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 108 度.
    (3)该班有40人,请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人?
    【分析】(1)根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数;
    (2)求出C的人数,补全条形统计图即可,求出B占的百分比,乘以360即可得到结果;
    (3)用C类别人数所占比例乘以全班总人数可得.
    【解答】解:(1)根据题意得:4÷20%=20(人),
    故答案为:20;
    (2)C的人数为20﹣(7+6+4)=3(人),
    补全条形统计图,如图所示;
    扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为×360°=108°,
    故答案为:108;
    (3)×40=6(人),
    答:估计这个班喜欢传记类书籍的大约有6人.
    22.(8分)某校教学楼后面紧邻一个土坡,坡上面是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB长,坡度i=9:5.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造,地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡.
    (1)求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长;
    (2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F处,问BF至少是多少米?
    【分析】(1)根据勾股定理和坡度公式可求得BE的长.
    (2)由(1)得AE=12.5,设BF=xm.作FH⊥AD于H,则=tan∠FAH.由题意得≤tan45°,解不等式即可求解.
    【解答】解:(1)连接AF.
    ∵i=.
    ∴设BE=9k,AE=5k.(k为正数)
    则在Rt△ABE中,∠BEA=90°,AB=.
    ∴AB2=BE2+AE2.(2分)
    即()2=(9k)2+(5k)2.
    解得:k=.
    ∴BE=9×=22.5(m).
    故改造前坡顶与地面的距离BE的长为22.5米.
    (2)由(1)得AE=12.5,设BF=xm,作FH⊥AD于H,则=tan∠FAH.
    由题意得≤tan45°.
    即x≥10.
    ∴坡顶B沿BC至少削进10m,才能确保安全.
    23.(8分)小赵为班级购买笔记本作为晚会上的奖品.回来时向生活委员交账说:“一共买了36本,有两种规格,单价分别为1.8元和2.6元.去时我领了100元,现在找回27.6元.”生活委员算了一下,认为小赵搞错了.
    (1)请你用方程的知识说明小赵为什么搞错了.
    (2)小赵一想,发觉的确不对,因为他把自己口袋里的零用钱一起当做找回的钱给了生活委员.如果设购买单价为1.8元的笔记本a本,试用含a的代数式表示小赵零用钱的数目: (21.2﹣0.8a) 元.
    (3)如果小赵的零用钱数目是整数,且少于3元,试求出小赵零用钱的数目.
    【分析】(1)设小赵购买单价为1.8元的笔记本x本,可得出购买单价为2.6元的笔记本(36﹣x)本,根据购买1.8元的笔记本的钱数+购买2.6元的笔记本钱数=100﹣27.6列出方程,求出方程的解得到x的值为小数,不合题意,可得出小赵搞错了;
    (2)由购买单价为1.8元的笔记本a本,可得出购买单价为2.6元的笔记本(36﹣a)本,表示出购买两种笔记本应花的钱,根据应花的钱﹣(100﹣27.6),即可表示出小赵口袋中的零花钱;
    (3)由(2)表示出小赵的零花钱,根据小赵的零用钱数目是整数,且少于3元,列出不等式组,求出不等式解集的正整数解得到a的值,经检验得到满足题意a的值,即为小赵的零用钱数目.
    【解答】解:(1)设小赵购买单价为1.8元的笔记本x本,
    则购买单价为2.6元的笔记本(36﹣x)本,
    ∴1.8x+2.6(36﹣x)=100﹣27.6,
    解得:x=26.5,
    因笔记本本数应该为整数,而计算出来的本数为小数,
    ∴小赵搞错了;
    (2)[1.8a+2.6(36﹣a)]﹣(100﹣27.6)=21.2﹣0.8a;
    (3)由题意得:,
    解得:22.75<a<26.5,
    因a取整数,所以a为23或24或25或26,
    经检验a=23或25或26时,21.2﹣0.8a不为整数,
    故a=24,此时21.2﹣0.8a=2,
    所以小赵的零用钱数目为2元.
    故答案为:21.2﹣0.8a
    24.(8分)已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且CA=CB,延长BC至点E,使CE=BC,联结DE.
    (1)当AC⊥BD时,求证:BE=2CD;
    (2)当∠ACB=90°时,求证:四边形ACED是正方形.
    【分析】(1)根据平行四边形的性质得出BO=DO,根据线段垂直平分线性质得出BC=CD,求出BC=CE=CD即可;
    (2)根据邻补角互补求出∠ACE=90°,求出四边形ACED是平行四边形,再根据正方形的判定推出即可.
    【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴BO=DO,
    ∵AC⊥BD,
    ∴BC=CD,
    ∵BC=CE,
    ∴BC=CE=CD,
    即BE=2CD;
    (2)
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠ACE=180°﹣∠ACB=90°,
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC,
    ∵BC=CE,
    ∴AD=CE,
    ∴四边形ACED是平行四边形,
    ∵AC=CE,∠ACE=90°,
    ∴四边形ACED是正方形.
    25.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AD交AB于E,△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F,过F作AB的垂线交AD于P,交AB于M,交⊙O于G,连接GE.
    (1)求证:BC是⊙O的切线;
    (2)若tan∠G=,BE=4,求⊙O的半径;
    (3)在(2)的条件下,求AP的长.
    【分析】(1)连接OD,根据AD是角平分线,求出∠C=90°,得到OD⊥BC,求出BC是⊙O的切线;
    (2)构造直角三角形,根据勾股定理求出k的值即可;
    (3)设FG与AE的交点为M,连接AG,利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题.
    【解答】(1)证明:连接OD,
    ∵DE⊥AD,
    ∴AE是⊙O的直径,即O在AE上,
    ∵AD是角平分线,
    ∴∠1=∠2,
    ∵OA=OD,
    ∴∠2=∠3,
    ∴∠1=∠3,
    ∴OD∥AC,
    ∵∠C=90°,
    ∴OD⊥BC.
    ∴BC是⊙O的切线;
    (2)解:∵OD∥AC,
    ∴∠4=∠EAF,
    ∵∠G=∠EAF,
    ∴∠4=∠G,
    ∴tan∠4=tan∠G=,
    设BD=4k,则OD=OE=3k,
    在Rt△OBD中,由勾股定理得(3k)2+(4k)2=(3k+4)2,
    解得,k1=2,k2=(舍),(注:也可由OB=5k=3k+4得k=2),
    ∴3k=6,即⊙O的半径为6;
    (3)解:连接AG,则∠AGE=90°,∠EGM=∠5.
    ∴tan∠5=tan∠EGM=,
    即,,
    ∴,
    ∴AM=EM=(AE﹣AM)
    ∴AM=AE==,
    ∵OD∥AC,
    ∴,,
    即,.
    ∴AC=,CD=,
    ∵∠1=∠2,∠ACD=∠AMP=90°,
    ∴△ACD∽△AMP.
    ∴,
    ∴PM==.
    ∴AP==.
    26.(8分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E,与x轴交于点H,连接PB.
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)抛物线上存在一点G,使∠GBA+∠PBE=45°,请求出点G的坐标;
    (3)抛物线上是否存在一点Q,使△QEB与△PEB的面积相等,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
    【分析】(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;
    (2)分两种情况讨论,由锐角三角函数可求OF的长,可求点F坐标,可得BF解析式,联立方程组可求点G坐标;
    (3)由等底等高的两个三角形的面积相等,可求点Q的坐标.
    【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入抛物线解析式

    解得:,
    ∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
    (2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
    则顶点P(1,4),对称轴为直线x=1,
    ∴H(1,0),
    ∴PH=4,BH=2,
    ∵B(3,0),C(0,3),
    ∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
    ∴点E(1,2),
    ∵B(3,0),C(0,3),
    ∴OB=OC,
    ∴∠CBO=45°,
    若点G在直线AB的上方时,
    ∵PH⊥AB,∠CBO=45°,
    ∴∠HEB=45°,
    ∴∠PBE+∠BPE=45°,
    ∵∠GBA+∠PBE=45°,
    ∴∠BPE=∠GBA,
    ∴tan∠BPH=tan∠GBA=,
    ∴,
    ∴OF=,
    ∴点F(0,),
    ∴直线BF解析式为:y=﹣x+,
    联立方程组可得:,
    解得:或,
    ∴点G的坐标为(﹣,);
    若点G在直线AB的下方时,
    由对称性可得:点F'(0,﹣),
    ∴直线BF解析式为:y=x﹣,
    联立方程组可得:,
    解得:或,
    ∴点G'的坐标为(﹣,﹣),
    综上所述:点G的坐标为(﹣,)或(﹣,﹣);
    (3)存在,
    ∵点E(1,2),顶点P(1,4),
    ∴PE=2,PH=4,
    ∴EH=2=PE,
    如图2,过点P作PQ∥BC,交抛物线于Q,此时△QEB与△PEB的面积相等,
    ∵PQ∥BC,点P坐标(1,4),直线BC解析式为y=﹣x+3,
    ∴PQ解析式为y=﹣x+5,
    联立方程组得:,
    解得:或,
    ∴点Q(2,3),
    过点H作HQ'∥BC,交抛物线于Q'、Q'',
    ∴PQ∥BC∥HQ',
    ∵PE=EH,
    ∴PQ与BC之间的距离=BC与HQ'之间的距离,
    ∴△QEB与△PEB的面积相等,
    ∵HQ'∥BC,点H(1,0),直线BC解析式为y=﹣x+3,
    ∴直线Q'H的解析式为:y=﹣x+1,
    联立方程组得:,
    解得:或,
    ∴点Q的坐标为(,)或(,),
    综上所述:点Q的坐标为(2,3)或(,)或(,).
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