2021年湖南省娄底市新化县中考模拟数学试题（一）（word版 含答案）

这是一份2021年湖南省娄底市新化县中考模拟数学试题（一）（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省娄底市新化县中考模拟数学试题（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．|-2021|的结果是（ ）
A．2021 B． C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）．
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（ ）

A．80° B．100° C．110° D．120°
8．如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）

A． B． C． D．
9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）

A．8cm B．10cm C．14cm D．16cm
10．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
11．下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）

A．148 B．152 C．168 D．174
12．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．使有意义的的取值范围是___________．
14．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
15．已知，则代数式的值是___________．
16．如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是____．

17．如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．

18．各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积________．


三、解答题
19．计算∶
20．先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程的两个实数根．
21．某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．

22．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
23．某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的代数式表示b；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
24．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．

（1）求证：BF是的切线；
（2）若的直径为4，，求．
25．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．

(1)、如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
(2)、如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
26．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．

（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．


参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值解答即可．
【详解】
解：-2021的绝对值是2021，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键．
2．B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．B
【分析】
利用幂的运算法则对每个选项进行验证即可得出正确答案．
【详解】
解：∵a2•a3=a2+3=a5，∴A选项错误；
∵a3÷a2=a3-2=a，∴B选项正确；
∵(a2)3=a6，∴C选项错误；
∵(a2b)2=a4b2，∴D选项错误．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方的运算法则，熟记并正确使用上述法则是解题的关键．
4．B
【分析】
绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n的形式是关键．
5．A
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】
根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．
故选:A
【点睛】
此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
6．A
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】
解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
7．C
【分析】
如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．
【详解】
解：如图，由题意得DE∥GF，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠4=180°-∠3=130°，
∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．

故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键．
8．A
【分析】
延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】
延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
【点睛】
主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
9．D
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=48cm，
∴BD=AB=×48=24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．B
【分析】
根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【详解】
解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，

∵点A在双曲线y=上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．
11．D
【分析】
根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，可找出变化规律，然后写成第n个图案的通式，再取n=10进行计算即可求解．
【详解】
解：根据图形，
第1个图案有1+2+3+3+2+1=412枚棋子，
第2个图案有1+2+3+4+4+3+2+1+2=22枚棋子，
第3个图案有1+2+3+4++5+5+4+3+2+1+4=34枚棋子，
第4个图案有1+2++3+4+5+6+6+5+4+3+2+1+4=34枚棋子，
…
第n个图案有(n+3)(n+2)+2(n-1)=n2+7n+4枚棋子，
故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174（枚）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，找出变化规律是解题的关键．
12．C
【分析】
根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
【详解】
解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.
13．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x-1＞0，解不等式就可以求解．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x-1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．
14．12
【分析】
根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】
解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，
∴a=-6，b=-2
∴ab=12
故答案为：12．
【点睛】
此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称的两点坐标关系是解题关键．
15．9
【分析】
将a2+2a-5=0变形为a2+2a=5，然后将整体代入所求的代数式进行化简求值．
【详解】
解：∵a2+2a-5=0，
∴a2+2a=5，
∴a2+2a-1
=2(a2+2a)-1
=2×5-1
=10-1
=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查代数式求值问题，解题的关键是将a2+2a-5=0变形为a2+2a=5，本题考查了整体的思想．
16．
【详解】
试题分析：根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合K3时才发光，所以小灯泡发光的概率等于．
解：根据题意，三个开关，只有闭合K3小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于．
故答案为．
考点：列表法与树状图法．
17．2
【分析】
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质得到，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】
解：在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴
∵，
∴；
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
18．6
【分析】
根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入计算即可．
【详解】
由图可知：五边形内部格点有４个，故
五边形边上格点有６个，故
∴＝
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可．
19．
【分析】
直接利用零指数幂、负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：


．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，熟记特殊角的三角函数值、正确化简各数是解题关键．
20．﹣ab，2．
【详解】
试题分析：化简整式得原式=﹣ab，根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案．
试题解析：解：原式==﹣ab
∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2．
点睛：本题主要考查整式的化简求值和根与系数的关系，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及根与系数的关系是解题的关键．
21．（1）8，12，30%；（2）40名，补图见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；
补全条形图如图所示；

（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，

A
B
a
b
A

（A，B）
（A，a）
（A，b）
B
（B，A）

（B，a）
（B，b）
a
（a，A）
（a，B）

（a，b）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）

∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）4.2米；（2）14米
【分析】
（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，

∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
【点睛】
本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
23．（1）300件；（2）①；②3900元；
【分析】
（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；
（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.
【详解】
（1）设3月份购进T恤x件，
由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，
∴4月份购进T恤300件；
（2）①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，
∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，
∴用含a的代数式表示b为：；
②乙店利润函数式为，
结合①可得，
因为，，
∴，∴=3900，
即最大利润为3900元.
【点睛】
本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解．
24．（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°；
（2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可．
【详解】
（1）

（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是的直径，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∵AB是的直径，
∴直线BF是的切线．
（2）解：过点C作于点H．
∵，的直径为4，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
∴，．
∴．
∴．

【点睛】
本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
25．（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△DEP为等腰直角三角形．
【详解】
试题分析：(1)、根据正方形性质得出BC=DC，根据旋转图形的性质得出CP=CQ以及∠PCB=∠QCD，从而得出三角形全等；(2)、①、根据全等得出∠PBC＝∠QBC，设BE和CD交点为M，根据对顶角得出∠DME=∠BMC，从而说明BE⊥QD；②、根据等边三角形的性质得出PB=PC=BC，∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°，则∠PCD=30°，根据BC=DC，CP=CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP=90°，从而得出答案.
试题解析：(1)、∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC
又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，∴CP=CQ,∠PCQ＝90°∴∠PCD+∠QCD＝90°
又∵∠PCB+∠PCD=90° ∴∠PCB=∠QCD
在△BCP和△DCQ中 BC=DC，CP=CQ，∠PCB=∠QCD ∴△BCP≌△DCQ
(2)、①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC＝∠QBC
设BE和CD交点为M ∴∠DME=∠BMC ∠MED=∠MCB=90°∴BE⊥QD
②△DEP为等腰直角三角形，
∵△BOP为等边三角形 ∴PB=PC=BC ∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°
∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°
又∵BC＝DC CP=CQ∴PC＝DC DC＝CQ ∴△PCD是等腰三角形
△DCQ是等边三角形 ∴∠CPD＝∠CDP＝75°∠CDQ＝60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°
∠EDP=180°-75°-60°="45" °∴∠EPD=∠EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°
∴△DEP是等腰直角三形
考点：(1)、正方形的性质；(2)、三角形全等的判定；(3)、等腰直角三角形的判定.
26．（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．
【分析】
（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；
（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；
（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得
，，根据，即，解出t值，即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意，将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式，
当时，，得点，又点，
设线段所在直线的表达式，
∴，解得，
∴所在直线的表达式；
（2）∵轴，轴，
∴，

只要，此时四边形即为平行四边形，
由二次函数，
得点，
将代入，即，得点，
∴，
设点的横坐标为，则，，

由，得，
解之，得（不合题意舍去），，
当时，，
∴；
（3）由（2）知，，
∴，

又与有共同的顶点，且在的内部，
∴，
∴只有当时，，
由，，，
利用勾股定理，可得，，
由（2）以及勾股定理知，，
，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标是．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．