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2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（ ）
A．0.52×107 B．5.2×105 C．5.2×106 D．52×105
3．下列各式的计算结果正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x﹣3x＝2x
C．7y2﹣5y2＝2 D．9a2b﹣4ab2＝5a2b
4．点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣6） D．（0，6）
5．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.018
0.020
0.021
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，EA平分∠CEB，若∠BED＝40°，则∠A大小为（ ）
A．80° B．70° C．50° D．40°
8．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
9．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是（ ）
A．38° B．40° C．36° D．42°
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．4
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立； ③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：y2﹣y＝ ．
14．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是 边形．
15．分式方程＝的解是 ．
16．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+﹣+|1﹣|．
18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3．
19．（6分）东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多．近年来，全市各中小学开展丰富多彩的志愿服务活动．在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：
组别
工时数x/小时
人数
A
0≤x＜2.5
16
B
2.5≤x≤5
40
C
5≤x＜7.5
50
D
7.5≤x＜10
m
E
10≤x≤12.5
24
（1）共抽取了 名学生；
（2）图②中“E”所对应的圆心角度数为 ，补全频数分布直方图；
（3）根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？
（4）现有D组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
21．（8分）某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元．
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元？
（2）该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购买多少副围棋？
22．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是 ；
②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
24．（9分）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）求∠DCB的正切值；
（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，，是无理数，
故选：C．
2．据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（ ）
A．0.52×107 B．5.2×105 C．5.2×106 D．52×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：5200000＝5.2×106，
故选：C．
3．下列各式的计算结果正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x﹣3x＝2x
C．7y2﹣5y2＝2 D．9a2b﹣4ab2＝5a2b
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．
【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.5x﹣3x＝2x，故本选项符合题意；
C.7y2﹣5y2＝2y2，故本选项不合题意；
D.9a2b与﹣4ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：B．
4．点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣6） D．（0，6）
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（﹣2+2，﹣3﹣3），计算即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的点的坐标为（﹣2+2，﹣3﹣3），
即（0，﹣6）．
故选：C．
5．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形，
故选：C．
6．甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.018
0.020
0.021
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，
∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙．
故选：B．
7．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，EA平分∠CEB，若∠BED＝40°，则∠A大小为（ ）
A．80° B．70° C．50° D．40°
【分析】根据邻补角性质可得∠BEC＝180°﹣40°＝140°，然后算出∠AEC的度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案．
【解答】解：∵∠BED＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣40°＝140°，
∵EA是∠CEB的平分线，
∴∠AEC＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC＝70°，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
【分析】根据全面调查和抽样调查、众数和中位数、随机事件、方差的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
9．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设函数解析式为I＝，由于点（4，6）在函数图象上，故代入可求得k的值．
【解答】解：设所求函数解析式为I＝，
∵（4，6）在所求函数解析式上，
∴k＝4×6＝24．
故选：A．
10．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是（ ）
A．38° B．40° C．36° D．42°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠D＝43°，然后再利用三角形内角与外角的关系可得答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝40°，
∵∠APD＝76°，
∴∠B＝76°﹣40°＝36°，
故选：C．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．4
【分析】由等腰三角形的性质得BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，PD＝PB＝1，BD＝PD＝，则BC＝2BD＝2，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥BC于D，如图：
∵BP＝CP，
∴BD＝CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝30°，
∵PD⊥BC，
∴PD＝PB＝1，BD＝PD＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：A．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立； ③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由图象可知，当x＝1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用二次函数的性质可对②进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点可对③进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对④进行判断．
【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：y2﹣y＝ y（y﹣1） ．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：y2﹣y＝y（y﹣1）．
故答案为：y（y﹣1）．
14．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是 十 边形．
【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．
【解答】解：∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°＝10．
故答案为：十．
15．分式方程＝的解是 x＝6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故答案为：x＝6
16．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 2π ．
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长＝＝2π．
故答案为：2π
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣2+﹣1
＝4﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3．
【分析】先对多项式化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣2x2+4y2
＝﹣x2+3y2．
当x＝1，y＝﹣3时，
原式＝﹣12+3×（﹣3）2
＝﹣1+27
＝26．
19．（6分）东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多．近年来，全市各中小学开展丰富多彩的志愿服务活动．在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：
组别
工时数x/小时
人数
A
0≤x＜2.5
16
B
2.5≤x≤5
40
C
5≤x＜7.5
50
D
7.5≤x＜10
m
E
10≤x≤12.5
24
（1）共抽取了 200 名学生；
（2）图②中“E”所对应的圆心角度数为 43.2° ，补全频数分布直方图；
（3）根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？
（4）现有D组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率．
【分析】（1）根据题意列算式40÷20%＝200即可得到结论；
（2）用360°×E组所占的百分比即可得到结论；根据题意补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意列式即可得到全校学生中志愿服务工时少于5小时学生数；
（4）根据题意画出树状图，得到共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E组的有4种，然后根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）共抽取的学生数有：40÷20%＝200（名）．
故答案为：200；
（2）“E”所对应的圆心角度数为360°×＝43.2°；
D组的人数有：200×35%＝70（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有1500×＝420（名）；
答：估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有420名；
（4）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E组的有4种，
则抽取两名学生都在E组的概率是＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
【分析】（1）根据已知条件求得四边形EADB是平行四边形，根据角平分线定义得到∠EAB＝∠DAB，根据平行线的性质得到∠EAB＝∠DBA，于是得到结论；
（2）解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，
∴四边形EADB是平行四边形，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD．
∴四边形EADB是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，
∴tan60°＝＝，
∴AC＝2，
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2，
∵AE∥BC，
∴S△ECB＝S△ACB＝2．
21．（8分）某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元．
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元？
（2）该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购买多少副围棋？
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据“购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m副围棋，则购买中国象棋（30﹣m）副，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
依题意得：，
解得：．
答：每副围棋15元，每副中国象棋10元．
（2）设可以购买m副围棋，则购买中国象棋（30﹣m）副，
依题意得：15m+10（30﹣m）≤400，
解得：m≤20．
答：最多可以购买20副围棋．
22．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是 点A，B ；
②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①先求出点A，B，C关于点O的对称点A'，B'，C'进而求出AA'，BB'，CC'，再判断即可得出结论；
②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；
（2）先求出点E，F坐标，进而求出∠EFO＝60°，进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵A（0，1），
∴点A关于点O的对称点为A'（0，﹣1），
∴AA'＝1﹣（﹣1）＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A是⊙O的称心点，
∵B（2，0），
∴点B关于点O的对称点为B'（﹣2，0），
∴BB'＝2﹣（﹣2）＝4，
∵⊙O的半径为2，
∴2＜BB'＜6，
∴点B是⊙O的称心点，
∵C（3，4），
∴点C关于点O的对称点为C'（﹣3，﹣4），
∴CC'＝＝25＞3r，
∴点C不是⊙O的称心点，
故答案为：点A，B；
②∵点D在直线y＝x上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为（m，m），
∴点D关于点O的对称点D'的坐标为（﹣m，﹣m），
∴DD'＝＝4|m|，
∵点D是⊙O的称心点，且⊙O的半径为2，
∴2≤4|m|≤6，
∴﹣≤m≤﹣或≤m≤，
∴点D的横坐标m的取值范围是﹣≤m≤﹣或≤m≤；
（2）如图，
针对于直线y＝x+1，
令x＝0，
∴y＝1，F（0，1），
∴OF＝1，
令y＝0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴OE＝，
在Rt△EOF中，tan∠EFO＝＝，
∴∠EFO＝60°，
过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，且⊙T的半径为2，
∴TG最小＝1，
在Rt△FGT中，sin∠EFO＝，
∴FH＝＝，
∴OH＝FH﹣OF＝﹣1，
当点T从H向下移动时，GH，FH，EH越来越长，直到点G和E重合，HF取最大值，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH＝1﹣t≤3，
∴t≥﹣2，
EH≤3，
∴≤3，
∴t≥﹣，
∴﹣2≤t≤1﹣，
当点T从点H向上移动时，点T在FH上时，T到EF的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，ET≥EF，
即：ET≥2，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH≥1，EH≤3，
∴t﹣1≥1，≤3，
∴2≤t≤，
且t的取值范围是﹣2≤t≤1﹣或2≤t≤．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
24．（9分）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3）的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝＝，把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2，c＝或b＝﹣，c＝，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）的值是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝，
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）求∠DCB的正切值；
（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．
【分析】（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出则点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝，CE＝3，则CH＝，即可求解；
（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，
则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，
将点B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36﹣6b﹣3，解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或﹣2，
即点A（2，0），则点D（4，1）；
（2）过点E作EH⊥BC交于点H，
C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），
直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），
tan∠OBC＝＝＝，则sin∠OBC＝，
则EH＝EB•sin∠OBC＝，
CE＝3，则CH＝，
则tan∠DCB＝＝；
（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），
则BC＝3，
∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，
tan∠DBE＝＝，
故：∠DBE＝∠OBC，
则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，
①当点F在y轴负半轴时，
过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，
则∠GFC＝∠OBC＝α，
设：GF＝2m，则CG＝CGtanα＝m，
∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，
即：3+m＝2m，解得：m＝3，
CF＝＝m＝15，
故点F（0，﹣18）；
②当点F在y轴正半轴时，
同理可得：点F（0，2）；
故：点F坐标为（0，2）或（0，﹣18）．
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（ ）
A．0.52×107 B．5.2×105 C．5.2×106 D．52×105
3．下列各式的计算结果正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x﹣3x＝2x
C．7y2﹣5y2＝2 D．9a2b﹣4ab2＝5a2b
4．点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣6） D．（0，6）
5．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.018
0.020
0.021
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，EA平分∠CEB，若∠BED＝40°，则∠A大小为（ ）
A．80° B．70° C．50° D．40°
8．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
9．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是（ ）
A．38° B．40° C．36° D．42°
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．4
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立； ③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：y2﹣y＝ ．
14．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是 边形．
15．分式方程＝的解是 ．
16．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+﹣+|1﹣|．
18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3．
19．（6分）东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多．近年来，全市各中小学开展丰富多彩的志愿服务活动．在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：
组别
工时数x/小时
人数
A
0≤x＜2.5
16
B
2.5≤x≤5
40
C
5≤x＜7.5
50
D
7.5≤x＜10
m
E
10≤x≤12.5
24
（1）共抽取了 名学生；
（2）图②中“E”所对应的圆心角度数为 ，补全频数分布直方图；
（3）根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？
（4）现有D组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
21．（8分）某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元．
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元？
（2）该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购买多少副围棋？
22．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是 ；
②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
24．（9分）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）求∠DCB的正切值；
（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．
2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，，是无理数，
故选：C．
2．据人民日报海外网消息：截至北京时间2020年5月23日7时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾520万例，将5200000用科学记数法表示为（ ）
A．0.52×107 B．5.2×105 C．5.2×106 D．52×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：5200000＝5.2×106，
故选：C．
3．下列各式的计算结果正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x﹣3x＝2x
C．7y2﹣5y2＝2 D．9a2b﹣4ab2＝5a2b
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．
【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.5x﹣3x＝2x，故本选项符合题意；
C.7y2﹣5y2＝2y2，故本选项不合题意；
D.9a2b与﹣4ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：B．
4．点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣4，0） C．（0，﹣6） D．（0，6）
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（﹣2+2，﹣3﹣3），计算即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的点的坐标为（﹣2+2，﹣3﹣3），
即（0，﹣6）．
故选：C．
5．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形，
故选：C．
6．甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.018
0.020
0.021
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，
∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙．
故选：B．
7．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，EA平分∠CEB，若∠BED＝40°，则∠A大小为（ ）
A．80° B．70° C．50° D．40°
【分析】根据邻补角性质可得∠BEC＝180°﹣40°＝140°，然后算出∠AEC的度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案．
【解答】解：∵∠BED＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣40°＝140°，
∵EA是∠CEB的平分线，
∴∠AEC＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC＝70°，
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
【分析】根据全面调查和抽样调查、众数和中位数、随机事件、方差的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
9．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，其函数图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设函数解析式为I＝，由于点（4，6）在函数图象上，故代入可求得k的值．
【解答】解：设所求函数解析式为I＝，
∵（4，6）在所求函数解析式上，
∴k＝4×6＝24．
故选：A．
10．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是（ ）
A．38° B．40° C．36° D．42°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠D＝43°，然后再利用三角形内角与外角的关系可得答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝40°，
∵∠APD＝76°，
∴∠B＝76°﹣40°＝36°，
故选：C．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．4
【分析】由等腰三角形的性质得BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，PD＝PB＝1，BD＝PD＝，则BC＝2BD＝2，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥BC于D，如图：
∵BP＝CP，
∴BD＝CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝30°，
∵PD⊥BC，
∴PD＝PB＝1，BD＝PD＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：A．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立； ③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由图象可知，当x＝1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用二次函数的性质可对②进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点可对③进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对④进行判断．
【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解：y2﹣y＝ y（y﹣1） ．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：y2﹣y＝y（y﹣1）．
故答案为：y（y﹣1）．
14．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是 十 边形．
【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．
【解答】解：∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°＝10．
故答案为：十．
15．分式方程＝的解是 x＝6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故答案为：x＝6
16．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 2π ．
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长＝＝2π．
故答案为：2π
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣2+﹣1
＝4﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝1，y＝﹣3．
【分析】先对多项式化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣2x2+4y2
＝﹣x2+3y2．
当x＝1，y＝﹣3时，
原式＝﹣12+3×（﹣3）2
＝﹣1+27
＝26．
19．（6分）东营市作为全国文明城市，做志愿服务的人越来越多．近年来，全市各中小学开展丰富多彩的志愿服务活动．在3月5日学习雷锋纪念日期间，某校打算表彰一批志愿服务先进个人，校团委从全校1500名学生中随机抽取部分学生对他们近两周志愿活动的工时进行统计，请根据下面尚未完成的统计图表，解答下列问题：
组别
工时数x/小时
人数
A
0≤x＜2.5
16
B
2.5≤x≤5
40
C
5≤x＜7.5
50
D
7.5≤x＜10
m
E
10≤x≤12.5
24
（1）共抽取了 200 名学生；
（2）图②中“E”所对应的圆心角度数为 43.2° ，补全频数分布直方图；
（3）根据本次抽查结果，请估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有多少名？
（4）现有D组，E组各两名学生，从这4名学生中随机抽取两名学生作为代表组织学生的志愿服务活动，请用列表法或画树状图法求出所抽取的两名学生都在E组的概率．
【分析】（1）根据题意列算式40÷20%＝200即可得到结论；
（2）用360°×E组所占的百分比即可得到结论；根据题意补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意列式即可得到全校学生中志愿服务工时少于5小时学生数；
（4）根据题意画出树状图，得到共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E组的有4种，然后根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）共抽取的学生数有：40÷20%＝200（名）．
故答案为：200；
（2）“E”所对应的圆心角度数为360°×＝43.2°；
D组的人数有：200×35%＝70（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有1500×＝420（名）；
答：估计全校学生中志愿服务工时少于5小时的学生约有420名；
（4）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的情况数，其中抽取两名学生都在E组的有4种，
则抽取两名学生都在E组的概率是＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．
【分析】（1）根据已知条件求得四边形EADB是平行四边形，根据角平分线定义得到∠EAB＝∠DAB，根据平行线的性质得到∠EAB＝∠DBA，于是得到结论；
（2）解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，
∴四边形EADB是平行四边形，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD．
∴四边形EADB是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，
∴tan60°＝＝，
∴AC＝2，
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2，
∵AE∥BC，
∴S△ECB＝S△ACB＝2．
21．（8分）某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元．
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元？
（2）该学校决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过400元，那么最多可以购买多少副围棋？
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据“购买3副围棋和4副中国象棋需用85元，购买5副围棋和8副中国象棋需用155元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m副围棋，则购买中国象棋（30﹣m）副，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
依题意得：，
解得：．
答：每副围棋15元，每副中国象棋10元．
（2）设可以购买m副围棋，则购买中国象棋（30﹣m）副，
依题意得：15m+10（30﹣m）≤400，
解得：m≤20．
答：最多可以购买20副围棋．
22．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是 点A，B ；
②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①先求出点A，B，C关于点O的对称点A'，B'，C'进而求出AA'，BB'，CC'，再判断即可得出结论；
②先求出点D的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；
（2）先求出点E，F坐标，进而求出∠EFO＝60°，进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分情况利用新定义，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵A（0，1），
∴点A关于点O的对称点为A'（0，﹣1），
∴AA'＝1﹣（﹣1）＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴点A是⊙O的称心点，
∵B（2，0），
∴点B关于点O的对称点为B'（﹣2，0），
∴BB'＝2﹣（﹣2）＝4，
∵⊙O的半径为2，
∴2＜BB'＜6，
∴点B是⊙O的称心点，
∵C（3，4），
∴点C关于点O的对称点为C'（﹣3，﹣4），
∴CC'＝＝25＞3r，
∴点C不是⊙O的称心点，
故答案为：点A，B；
②∵点D在直线y＝x上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为（m，m），
∴点D关于点O的对称点D'的坐标为（﹣m，﹣m），
∴DD'＝＝4|m|，
∵点D是⊙O的称心点，且⊙O的半径为2，
∴2≤4|m|≤6，
∴﹣≤m≤﹣或≤m≤，
∴点D的横坐标m的取值范围是﹣≤m≤﹣或≤m≤；
（2）如图，
针对于直线y＝x+1，
令x＝0，
∴y＝1，F（0，1），
∴OF＝1，
令y＝0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴OE＝，
在Rt△EOF中，tan∠EFO＝＝，
∴∠EFO＝60°，
过y轴上一点H作直线EF的垂线交线段EF于G，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，且⊙T的半径为2，
∴TG最小＝1，
在Rt△FGT中，sin∠EFO＝，
∴FH＝＝，
∴OH＝FH﹣OF＝﹣1，
当点T从H向下移动时，GH，FH，EH越来越长，直到点G和E重合，HF取最大值，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH＝1﹣t≤3，
∴t≥﹣2，
EH≤3，
∴≤3，
∴t≥﹣，
∴﹣2≤t≤1﹣，
当点T从点H向上移动时，点T在FH上时，T到EF的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，ET≥EF，
即：ET≥2，
∵线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，
∴FH≥1，EH≤3，
∴t﹣1≥1，≤3，
∴2≤t≤，
且t的取值范围是﹣2≤t≤1﹣或2≤t≤．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，可得∠DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
24．（9分）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3）的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝＝，把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2，c＝或b＝﹣，c＝，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）的值是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝，
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）求∠DCB的正切值；
（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．
【分析】（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出则点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝，CE＝3，则CH＝，即可求解；
（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，
则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，
将点B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36﹣6b﹣3，解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或﹣2，
即点A（2，0），则点D（4，1）；
（2）过点E作EH⊥BC交于点H，
C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），
直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），
tan∠OBC＝＝＝，则sin∠OBC＝，
则EH＝EB•sin∠OBC＝，
CE＝3，则CH＝，
则tan∠DCB＝＝；
（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），
则BC＝3，
∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，
tan∠DBE＝＝，
故：∠DBE＝∠OBC，
则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，
①当点F在y轴负半轴时，
过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，
则∠GFC＝∠OBC＝α，
设：GF＝2m，则CG＝CGtanα＝m，
∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，
即：3+m＝2m，解得：m＝3，
CF＝＝m＝15，
故点F（0，﹣18）；
②当点F在y轴正半轴时，
同理可得：点F（0，2）；
故：点F坐标为（0，2）或（0，﹣18）．
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