2023年四川省自贡市中考数学试卷

这是一份2023年四川省自贡市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）

A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
2．（4分）自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约110000人．人数110000用科学记数法表示为（　　）
A．1.1×104 B．11×104 C．1.1×105 D．1.1×106
3．（4分）如图中六棱柱的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）如图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与CD方向相同，∠1＝128°，则∠2＝（　　）

A．52° B．118° C．128° D．138°
5．（4分）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）

A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3）
6．（4分）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2＝4，S乙2＝14，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
8．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　）

A．41° B．45° C．49° D．59°
9．（4分）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
10．（4分）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
11．（4分）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
12．（4分）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：7a2﹣4a2＝　 　．
14．（4分）请写出一个比小的整数 　 　．
15．（4分）化简：＝　 　．
16．（4分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 　 　．
17．（4分）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 　 　cm2．

18．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y＝﹣x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 　 　．

三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．

21．（8分）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
22．（8分）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．

（1）补全学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．
23．（10分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．

（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
24．（10分）如图，点A（2，4）在反比例函数y1＝图象上．一次函数y2＝kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．

25．（12分）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）

A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约110000人．人数110000用科学记数法表示为（　　）
A．1.1×104 B．11×104 C．1.1×105 D．1.1×106
【分析】利用科学记数法的法则解答即可．
【解答】解：110000＝1.1×105．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．
3．（4分）如图中六棱柱的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左往右看水平放置的六棱柱，所得的图形进行判断即可．
【解答】解：由题可得，六棱柱的左视图是两个相邻的长相等的长方形，如图：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：从左往右看几何体所得的图形是左视图．
4．（4分）如图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与CD方向相同，∠1＝128°，则∠2＝（　　）

A．52° B．118° C．128° D．138°
【分析】依据题意，AB与CD方向相同，可得AB∥CD，从而可得解．
【解答】解：由题意得，AB∥CD，
∴∠2＝∠1＝128°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”性质，解题时需要熟练掌握，本题属于简单题．
5．（4分）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）

A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3）
【分析】由正方形的性质可得DC＝BC＝3，而点C在第一象限，所以C的坐标为（3，3）．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴DC＝BC＝3，
∵点C在第一象限，
∴C的坐标为（3，3）．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质和坐标与图形的性质，求出DC、BC的长即可解答．
6．（4分）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
【解答】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
7．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2＝4，S乙2＝14，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
【分析】根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵4＜14，∴，∴甲的成绩更稳定，故本选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买100张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式2（x﹣1）＞3的解集是x＞2.5，∴x＝3是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
8．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　）

A．41° B．45° C．49° D．59°
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
9．（4分）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据正多边形内角的嗯就是方法列方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
设这个正多边形为正n边形，则＝150°，
解得n＝12，
经检验n＝12是原方程的解，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．
10．（4分）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【分析】根据图象逐个分析即可．
【解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．
11．（4分）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【分析】根据二次函数的性质可知＝﹣，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值．
12．（4分）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
【解答】解：作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．

∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝TB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK＝＝＝2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM＝＝＝2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴＝＝＝＝，
设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，
∴y＝+x①，y＝3﹣x，
解得，x＝，y＝，
∴ML＝y＝，
∴sin∠OAM＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：7a2﹣4a2＝　3a2　．
【分析】根据合并同类项法则，合并同类项即可．
【解答】解：7a2﹣4a2＝（7﹣4）a2＝3a2，
故答案为：3a2．
【点评】本题考查同类项，合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．
14．（4分）请写出一个比小的整数 　4（答案不唯一）　．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜23＜25，
∴4＜＜5，
∴比小的整数有4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
15．（4分）化简：＝　x﹣1　．
【分析】将分子因式分解后，利用分式的基本性质约分即可．
【解答】解：原式＝
＝x﹣1．
故答案为：x﹣1．
【点评】本题主要考查了分式的约分，利用因式分解法将分子变形是解题的关键．
16．（4分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把2个蛋黄粽分别记为A、B，3个鲜肉粽分别记为C、D、E，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，
即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（4分）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 　　cm2．

【分析】求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2＝4π（cm），
设弧AC所对的圆心角为n°，则
即＝4π，
解得n＝90，
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°﹣90°＝10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是＝（cm2），
故答案为：．

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
18．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y＝﹣x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 　　．

【分析】作出点C（3，﹣2），作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
【解答】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴B（0，2），A（6，0），
作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣2），把点B'向右平移3个单位得到C（3，﹣2），
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB是平行四边形，

此时，B'E＝BE＝CF，
∴BE+DF＝CF+DF＝CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，则CP＝2，OP＝3，
∵∠CFP＝∠AFD，
∴∠FCP＝∠FAD，
∴tan∠FCP＝tan∠FAD，
∴，
即 ，
则 ，
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣11，
联立，
解得，
即D（，），
过点D作DG⊥y轴于点G，

直线 与x轴的交点为，则，
∴sin∠OBQ＝＝＝，
∴，
∴3BH+5DH＝5（HG+DH）＝5（HG+DH）＝5DG，
即3BH+5DH的最小值是5DG＝5×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．
【分析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则化简运算即可．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣4
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．

【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证BM＝DN，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴DM＝BN．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明BM＝DN是解题的关键．
21．（8分）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【分析】设该客车的载客量为x人，根据去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该客车的载客量为x人，
根据题意得：4x+30＝5x﹣10，
解得：x＝40．
答：该客车的载客量为40人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．（8分）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．

（1）补全学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；
（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．
【分析】（1）根据题意直接画图；
（2）根据（1）直接写出即可；
（3）先求课外读书数量不少于3本的学生人数所占的比例，再乘以600．
【解答】解：（1）
，
（2）本次所抽取学生课外读书数量的众数为4本，
中位数为（本），
平均数为＝（本），
（3）（名），
答：本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．
【点评】本题主要考查了学生平均数、众数、中位数、条形统计图等统计的知识，难度不大，认真作答即可．
23．（10分）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．

（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
【分析】（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，由等腰直角三角形的性质，推出CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，M1是DE中点，CM1＝DE＝×2＝1，即可求出M、N距离的最小值和最大值；
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，由等腰直角三角形的性质推出CN＝AB＝2，CM＝DE＝1，由旋转的性质得到∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，由直角三角形的性质得到CH＝CN＝1，NH＝CH＝，由勾股定理即可求出MN＝＝．
【解答】解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1＝DE＝×2＝1，
∴M、N距离的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距离的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN＝AB＝2，
同理：CM＝DE＝1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CH＝CN＝1，
∴NH＝CH＝，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN＝＝．

【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以C为圆心，CM的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．
24．（10分）如图，点A（2，4）在反比例函数y1＝图象上．一次函数y2＝kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．

【分析】（1）由△OAC与△OBC的面积比为2：1，即可求得B（1，0）或（﹣1，0），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）两解析式联立，解方程组求得交点坐标，观察图象即可求得y1≥y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y1＝图象上，
∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数为y1＝，
∵△OAC与△OBC的面积比为2：1，A（2，4），
∴B（1，0）或B（﹣1，0），
把A（2，4），B（1，0）代入y2＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y2＝4x﹣4，
把A（2，4），B（﹣1，0）代入y2＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y2＝x+，
综上，一次函数的解析式为y2＝4x﹣4或y2＝x+；

（2）当y2＝4x﹣4时，联立，解得或，
由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围x≤﹣1或0＜x≤2；
当y2＝x+时，联立，解得或，
由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围x≤﹣3或0＜x≤2；
综上，当y2＝4x﹣4时，x的取值范围x≤﹣1或0＜x≤2；当y2＝x+时，x的取值范围x≤﹣3或0＜x≤2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
25．（12分）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
【分析】（1）根据铅直线与水平线垂直解答即可；
（2）利用正弦函数定义，得到Rt△ABH和Rt△KTS中24°角所对的直角边与斜边的比相等，即可求出BH，再分别在Rt△CBQ和Rt△DCR中求出CQ，DR，从而可求出山高DF；
（3）用a1，b1表示出β1的正切，用a2，b2表示出β2的正切，进而可用DL表示出NL和N′L，利用NL﹣NL′＝NN′列方程求出DL，进而求出山高DF．
【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，
∴α+β＝90°，
故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；
（2）在Rt△ABH中，
∵AB＝40米，∠BAH＝24°，
sin∠BAH＝，
∴sin24°＝，
在Rt△TKS中，
∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，
sin∠TKS＝，
∴sin24°＝，
∴＝，
解得BH＝16米，
在Rt△CBQ中，
∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，
∴CQ＝CB＝25米，
在Rt△DCR中，
∵CD＝40米，∠DCR＝45°，
sin∠DCR＝，
∴DR＝CD•sin∠DCR＝40•sin45°＝（米），
∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+≈69（米），
答：山高DF约为69米；
（3）由题意，得tanβ1＝，tanβ2＝，
在Rt△DNL中，
∵tanβ1＝，
∴，
∴NL＝，
在Rt△DCR中，
∵tanβ2＝，
∴，
∴N'L＝，
∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），
∴＝﹣＝40，
解得DL＝，
∴山高DF＝DL+LF＝+1.6（米），
答：山高DF为（+1.6）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题中还可利用相似，熟练运用三角函数表示直角三角形中边之间的关系是解题的关键．
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标．
（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．
（3）分两种情况，点E在直线AC上方和下方，利用等角的正切值相等求出线段的长，在转化成点的坐标．
【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），
设点D的坐标为（a，b），则有
解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），
③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），
综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO＝＝＜1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，
当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：

根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H，
∴点H（﹣1，），HC＝，
∵EH∥y轴，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝∠HCO＝＝，
∴EM＝HM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，
解得HM＝，
∴EM＝，
在Rt△EMH中，EH＝，
解得EH＝，
∴E的纵坐标为＝，
∴点E的坐标为（﹣1，）．
【点评】本题综合考查了二次函数和几何图形的性质，充分运用性质解题是关键．
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