2021年高考艺术生数学基础复习 考点25 空间几何体的体积及表面积(学生版)
展开考点25 空间几何体的体积及表面积
一.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
| 圆柱 | 圆锥 | 圆台 |
侧面展开图 | |||
侧面积公式 | S圆柱侧=2πrl | S圆锥侧=πrl | S圆台侧=π(r+r′)l |
二.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱体(棱柱和圆柱) | S表面积=S侧+2S底 | V=Sh |
锥体(棱锥和圆锥) | S表面积=S侧+S底 | V=Sh |
台体(棱台和圆台) | S表面积=S侧+S上+S下 | V=(S上+S下+)h |
球 | S=4πR2 | V=πR3 |
考向一 空间几何的体积
【例1】(2021·陕西咸阳市·高三一模)如图,在三棱锥中,平面平面是的中点.
(1)求证:平面;
(2)设点N是的中点,求三棱锥的体积.
【举一反三】
1.(2020·江西吉安市·高三其他模拟)在四棱锥中,平面,底面四边形是边长为1的正方形,侧棱与底面成的角是,,分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
2.(2021·内蒙古赤峰市·高三月考)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,其中,,面面,且,点在棱上.
(1)证明:当时,直线平面;
(2)当平面时,求的体积.
3.(2021·安徽芜湖市·高三期末)如图,三棱柱的各棱的长均为2,在底面上的射影为的重心.
(1)若为的中点,求证:平面;
(2)求四棱锥的体积.
考向二 空间几何的表面积
【例2-1】(2020·全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为,其底面是边长为的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .
【例2-2】(2020·全国高三专题练习)某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥,下半部分是长方体.正四棱锥的高为,,,则该组合体的表面积为( )
A.20 B. C.16 D.
【举一反三】
1.(2020·湖南高三月考)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,,.
(1)证明:直线平面;
(2)若四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
2.(2020·全国高三专题练习)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,BD1⊥B1D,四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,E,F分别是线段AB的两个三等分点.
(1)求证:D1F//平面A1DE;
(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积.
3.(2020·上海闵行区·高三一模)如图,在圆柱中,是圆柱的母线,是圆柱的底面的直径,是底面圆周上异于、的点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求圆柱的侧面积.
考向三 点面距
【例3】(2021·河南信阳市·高三月考)如图,在长方体中,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,求点到平面的距离.
【举一反三】
1.(2021·安徽蚌埠市·高三二模)如图,已知四边形和均为直角梯形,∥,∥,且,,.
(1)求证:∥平面;
(2)求点到平面的距离.
2.(2021·河南高三期末)如图,直四棱柱的底面为平行四边形,是的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
3.(2021·河南驻马店市·高三期末)如图,该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成,其中正方形的边长为,是线段上(不含端点)的动点,.
(1)证明:平面;
(2)求到平面的距离.
1.(2021·安徽高三期末)如图,在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱)中,底面是边长为2的菱形,且,,点E,F分别为,的中点,点G在上.
(1)证明:平面ACE.
(2)求三棱锥B-ACE的体积.
2.(2021·安徽六安市·高三一模)如图,在四棱锥中,平面ABCD.,,,E是PD的中点.
(1)证明:平面PBC;
(2)若,求三棱锥的体积.
3.(2021·陕西西安市·高三一模)如图在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面分别是的中点.
(1)证明:;
(2)若M是棱上一点,三棱锥与三棱锥的体积相等,求M点的位置.
4.(2021·安徽池州市·高三期末)已知正方体,棱长为2,为棱的中点,为面对角线的中点,如下图.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求证:平面.
5.(2021·六盘山高级中学高三期末)如图,四边形为矩形,且,,平面,,为的中点.
(1)求证:;
(2)若为的中点,求三棱锥的体积.
6.(2020·江西吉安市·高三其他模拟)如图,在三棱锥中,已知是正三角形,为的重心,,分别为,的中点,在上,且.
(1)求证:平面;
(2)若平面平面,,,求三棱锥的体积.
7.(2021·陕西宝鸡市·高三一模)如图三棱柱中,底面是边长2为等边三角形,,分别为,的中点,,.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积.
8.(2021·全国高三专题练习)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,E在AB上,且BA=3BE,G在AA1上,且AA1=3GA1.
(1)求三棱锥A1ABC1的体积;
(2)求证:AC1⊥EG.
9.(2020·洛阳市教育局中小学教研室高三月考)如图,在三棱柱中,侧面底面,,,.
(1)求证:;
(2)求三棱柱的侧面积.
10.(2020·全国高三专题练习)如图所示,在直三棱柱中,为的中点,,,.
(1)求证:平面;
(2)若三棱锥的体积为,求直三棱柱的表面积.
11.(2020·全国高三专题练习)如图,正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3.
(1)求正三棱锥的表面积;
(2)求正三棱锥的体积.
12.(2021·山西吕梁市·高三一模)棱长为的正方体,为中点,为的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求点到平面的距离.
13.(2021·江西新余市·高三期末)在四棱锥中,四边形为正方形,平面平面为等腰直角三角形,.
(1)求证:平面平面;
(2)设为的中点,求点到平面的距离.
14.(2020·全国高三专题练习)如图,已知为等边三角形,D,E分别为,边的中点,把沿折起,使点A到达点P,平面平面,若.
(1)求与平面所成角的正弦值;
(2)求直线到平面的距离.
15.(2020·上海高三专题练习)如图,立方体的棱长为,,,分别是,,的中点,求:
(1)到截面的距离;
(2)点到截面的距离.
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