2021年高考艺术生数学基础复习 考点30 周期性和对称性（学生版）

考点30  周期性和对称性

一．函数的周期性

1.周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

二．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

考向一 对称性

【例1】(2021·广东揭阳市·高三一模)已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【举一反三】

1(2021·浙江)已知函数，且，则下列不等式中成立的是(    )

A． B．

C． D．

2.(2019·福建师大二附中)函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

考向二 周期性

【例2】(2021·曲靖市第二中学)已知函数是定义在上的奇函数，，且，则(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·山东聊城市)已知定义在R上的奇函数满足，若，则(    )

A． B． C．0 D．2

2．(2021·安徽合肥市·)已知是R上的奇函数且，当时，，(    )

A． B．2 C． D．98

3．(2021·江西南昌市)若在上是奇函数，且有，当时，则(    )

A．242 B．-242 C．2 D．-2

考向三 函数性质的综合运用

【例3】(2021·上海松江区)已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．

【举一反三】

1．(2021·广东高考模拟)已知是定义在上的奇函数，满足，且，则(    )

A．0 B． C． D．

2．(2021·安徽亳州二中)定义在上的函数满足，且，则=__________。

3.(2021·四川高考模拟)已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则(  )

A． B． C． D．

4.(2019·永安市第一中学高考模拟)已知是定义在上的奇函数，满足,若，则(   )

A．1    B．0    C．1    D．2019

1．(2021·四川资阳市)定义在R上的偶函数满足,，则(    )

A． B． C．2 D．4

2．(2021·重庆九龙坡区)已知函数的定义域为R且满足，，若，则(    )

A．6 B．0 C． D．

3．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)定义在R上的奇函数满足，且时，，则(    )

A．2 B．1 C．0 D．

4．(2021·河南驻马店市·高三期末(文))已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则(   )

A． B． C． D．

5．(2021·湖北武汉市)已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

6．(2021·江苏南通市)已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则(    )

A． B． C． D．

7．(2021·江苏扬州市·扬州中学)已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是(    )

A． B．

C． D．

8．(2021·邵阳市第十一中学)已知函数满足，且，则下列结论正确的是(    )

A． B． C． D．

9．(2020·全国课时练习)已知函数是周期函数，10是的一个周期，且，则________.

10．(2021·浙江金华市)设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，，则______．

11．(2021·上海市西南位育中学)已知函数，对任意，都有(为非零实数)，且当时，，则___________.

12．(2021·陕西咸阳市·高三一模(文))若偶函数满足，则____________．

13．(2021·浙江绍兴市)已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.

14．(2021·上海市杨浦高级中学已知函数，满足，且当时，，则_______________.

15．(2021·福建福州三中高一期末)已知是定义在上的偶函数，且满足，当，，则_____________．

16．(2021·湖北荆州市·沙市中学)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________．

17．(2021·长宁区·上海市延安中学)奇函数的图像关于直线对称，，则_________.