第22讲 平面向量综合问题-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

这是一份第22讲 平面向量综合问题-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则，∴=，
2. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A．B．C．D．
解析,若函数
的图象是一条直线，即其二次项系数为0， 0
3. 已知，，，若P点是ΔABC所在平面内一点，且，的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，t))，eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以，，因此因为 所以的最大值等于13，当，即时取等号．
4. 如图，在四边形ABCD中，
，则的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
解析：


二、填空题
5. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．
解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，
6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
解析 设
，即
∴
三、解答题
7. 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值
解: (1)
由 得
(2)

8.已知向量满足条件，，求证：是正三角形
解：令O为坐标原点，可设
由，即
①
②
两式平方和为，，
由此可知的最小正角为，即与的夹角为，
同理可得与的夹角为，与的夹角为，
这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.
9..已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.
解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴·=2(1+x), ·=x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0)
10. 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
， .
若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
证明：（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，

11.在中，，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
解 (1)由余弦定理知：，又，
所以，又即为的取值范围；
（Ⅱ），因为
，所以，因此，.

B组
一、选择题
1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A．B．C．D．
解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。
2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为（）
A.(2,14)B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)
解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|csθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,结合图形可知选B
3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是( )
A.B.C.D.
解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.
4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【解析】解法一：
（1） 若A为直角，则；
（2） 若B为直角，则；
（3） 若C为直角，则。
所以 k 的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B
二、填空题
5. 如图，在中，是边上一点，则.
【分析】法一：由余弦定理得可得，
又夹角大小为，，
所以.
法二：
根据向量的加减法法则有:
,此时
.
6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则 ， .
图2
解析 作,设，,
由解得故
三、解答题
7.已知点是
且试用
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
8.已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求及的值。
（I）解；
得到的单调递增区间为
（II）

9.已知 SKIPIF 1 < 0 是x,y轴正方向的单位向量，设 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,且满足| SKIPIF 1 < 0 |+| SKIPIF 1 < 0 |=4.
⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.
⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 , | SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 ,且| SKIPIF 1 < 0 |+| SKIPIF 1 < 0 |=4.
SKIPIF 1 < 0 点P(x,y)到点( SKIPIF 1 < 0 ,0)，(- SKIPIF 1 < 0 ,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
(2)设A( SKIPIF 1 < 0 ),B( SKIPIF 1 < 0 )依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 m, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
因此， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，即m= SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
10.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解 （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，则，
11.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
求关于θ的表达式;
求的值域。
解：（1）由正弦定理，得


（2）由，得
∴，即的值域为.
C组
一、选择题
1. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【解析】： ，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.
2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9(B)6(C) 4 (D) 3
解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，
∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。
3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.
4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析
二、填空题
5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq \r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．
解析 设D(x，y)，由eq \(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y)及|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又Oeq \(A,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝(－1,0)＋(0，eq \r(3))＋(x，y)＝(x－1，y＋eq \r(3))，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \r(x－12＋y＋\r(3)2).
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－eq \r(3))间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－eq \r(3))之间的距离为eq \r(3－12＋0＋\r(3)2)＝eq \r(7)，故eq \r(x－12＋y＋\r(3)2)的最大值为eq \r(7)＋1.
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))最小值是_______________________________________．
解析 因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＋(eq \(BP,\s\up6(→)))2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝|eq \(BP,\s\up6(→))|cs 120°＝－eq \f(1,2)|eq \(BP,\s\up6(→))|.所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(BP,\s\up6(→))|＋|eq \(BP,\s\up6(→))|2＝(|eq \(BP,\s\up6(→))|－eq \f(1,4))2－eq \f(1,16)≥－eq \f(1,16).故当且仅当|eq \(BP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))最小值是－eq \f(1,16).
三、解答题
7.已知向量m＝(sin x，cs x)，n＝(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，x∈R，函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最大值；
(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－eq \f(π,6))，求角C的大小．
解 (1)f(x)＝eq \f(3,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \r(3)sin(x＋eq \f(π,6))，
所以f(x)的最大值为eq \r(3).
(2)因为b＝2af(A－eq \f(π,6))，由(1)和正弦定理，得sin B＝2eq \r(3)sin2A.
又B＝2A，所以sin 2A＝2eq \r(3)sin2A，即sin Acs A＝eq \r(3)sin2A，
而A是三角形的内角，所以sin A≠0，故cs A＝eq \r(3)sin A，tan A＝eq \f(\r(3),3)，
所以A＝eq \f(π,6)，B＝2A＝eq \f(π,3)，C＝π－A－B＝eq \f(π,2).
8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cs B,2cs2eq \f(C,2)－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2eq \r(3)，S△ABC＝2eq \r(3)，求a，b的值．
解 (1)∵m＝(cs B，cs C)，n＝(2a－b，c)，m∥n，
∴ccs B＝(2a－b)cs C，∴sin Ccs B＝(2sin A－sin B)cs C，
sin A＝2sin Acs C，∴cs C＝eq \f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcs C，∴a2＋b2－ab＝12，①
∵S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝2eq \r(3)，∴ab＝8，②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4,b＝2)).
9.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(5,11)eq \(DB,\s\up6(→)).
(1)求|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AC,\s\up6(→))，y＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，令k＝x·y，求k的最小值．
解 (1)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(5,11)eq \(DB,\s\up6(→))，且A，B，D三点共线，可知|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5,11)|eq \(DB,\s\up6(→))|.
又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝14.
(2)由(1)，知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝16，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝14.
由余弦定理，得cs A＝eq \f(102＋162－142,2×10×16)＝eq \f(1,2).
由x＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AC,\s\up6(→))，y＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
知k＝x·y＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AC,\s\up6(→)))·(teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝t|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋(t2＋1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋t|eq \(AC,\s\up6(→))|2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×eq \f(1,2)＋100t＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.
10.已知向量eq \(OP,\s\up6(→))＝(cs x，sin x), eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)sin x，sin x))，定义函数f(x)＝eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→)).
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))时，求锐角x的值．
解析：(1)f(x)＝－eq \f(\r(3),3)sin xcs x＋sin 2x＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x＋\f(\r(3),2)cs 2x))
＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，即kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．
(2)当eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))时，f(x)＝0，即eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0, sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
又eq \f(π,3)