第20讲 三角函数的图象及性质-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

这是一份第20讲 三角函数的图象及性质-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知曲线C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
2.函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A．0 B． C． D．
答案A
解析：由图知，，所以，所以．由正弦函数的对称性知，所以＝，故选A．
3．如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选C.
4．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案A
解析：由图可知，，即，所以由可得，，所以函数
，又因为函数图像过点，所以，即
，又因为，所以，故应选．
5．关于函数，下列命题正确的是（ ）
A．由可得是的整数倍 B．的表达式可改写成
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
答案C
解析：A中，令，则，即，所以若有是的整数倍，故A不正确；B中，＝＝，故B不正确；C中，令，得（），所以函数的图象的对称点为，故C正确；D中令＝（）可得，所以函数图象的对称轴为直线，故D不正确，故选C．
二、填空题
6．如图，已知分别是函数在轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且则该函数的周期是 ．
答案
解析：由题意可设，又所以
7．函数的部分图象如图所示，则函数解析式 ．
答案
解析：由图可知，所以，所以．把代入，得，结合，得，所以．
三、解答题
8．设函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值．
解析：（1）由题意可知，，
由，所以的单调递增区间是和．
（2）由，可得，由题意知为锐角，所以，
由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立，因此，所以面积的最大值为．
9．设函数，其中，，若且图像的两条对称轴间的最近距离是．
（1）求函数的解析式；
（2）若是△的三个内角，且，求的取值范围．
解析：（1）由条件，．
∵，∴，∴，∴．
又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，∴，∴．
（2）由，知，∵是的内角，∴，∴，
∴，∴，从而．由，
∵，∴，∴，即．
10．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数取得最大值和最小值时的值；
（Ⅱ）设锐角的内角的对应边分别是，且，若向量与向量平行，求的值．
解析：（Ⅰ），
∵，∴，
∴当时，即，得，取得最大值；
当时，即，得，取得最小值；
（Ⅱ）向量与向量平行，
所以，根据正弦定理的推论，得，
，由余弦定理
经检验符合三角形要求，的值为．
11．已知向量，，设函数．
（Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；
（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角．若，，求 的值。
解析:（Ⅰ）

要使取得最大值，须满足取得最小值．
当取得最大值时，取值的集合为
（Ⅱ）由题意，得．
，
B组
一、选择题
1．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析:将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，可得，求得的最小值为，故选：B．
2．如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．在上是增函数
答案C
解析:由图可知，又由，知函数的图象关于直线对称，所以．由五点法作图，得，，所以，则＝，即，所以，所以，在上，，所以在上是增函数，故选C．
3．在中，，若函数在上为单调递减函数，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析:由题在中，由，可得 从而可得，即，根据题意函数在上为单调递减函数，故，选D
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案B
解析:，将函数的图象向右平移个单位长度．故选B．
二、填空题
5．设函数，的值域是，则实数的取值范围是 ．
答案
解析:因为，所以，而函数的值域为，所以，所以，即实数的取值范围是.
6．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 ．
答案2
解析:（其中，）．将图象向右平移个单位长度得，所以，，解得．
三、解答题
7．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设时，函数的最小值是，求的最大值．
解析:（Ⅰ）
令，得，
的单调递减区间
（Ⅱ）
,令 得，
所以
8．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
解析：（1） 函数最小正周期是, 解得，
函数单调递增区间为
（2），∴的最小值，
由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为
9．已知函数,的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间．
解析:(1)由题设图象知，周期
因为点在函数图象上,所以
即又从而,即.
又点在函数图象上，所以故函数的解析式为.
(2)

,
由得
的单调递增区间是
10．已知函数
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)讨论在上的单调性.
解析：(1)
,因此的最小正周期为，最大值为.
(2)当时，，从而
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
综上可知，在上单调递增，在上单调递减.
C组
选择题
1．如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
答案C.
解析：由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.
2．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析：，沿轴向右平移个单位后得到为偶函数，因此，从而选C.
3．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
答案A
解析：这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.
4．函数的图像与函数的图像（ ）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
答案A
解析：函数的对称轴为
函数的对称轴为；当时，二者有相同的对称轴；同理，由三角函数的性质可得函数的对称中心为，函数的对称中心为，二者没有相同的对称中心
填空题
5．函数的最小正周期是___________.
答案
解析：因为函数
，所以最小正周期是，故答案为.
6．已知函数的图象关于直线对称，则的值为_______
答案
解析：方法一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：因为关于直线对称，
方法二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意
解答题
7．设函数，其中．
（I）若是函数的一条对称轴，求函数周期；
（II）若函数在区间上为增函数，求的最大值．
解析:由题意得，．
（I）因为是函数的一条对称轴，所以，即．
又，所以．所以函数，周期，
（II）函数的单调递增区间为，
整理得．依题意函数在区间上为增函数，故取，则有
即，所以， 又，所以的最大值为．
8．已知函数经过点，且在区间上为单调函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解析:（Ⅰ）由题可得，
解得，，，．
（Ⅱ）∵，数列的周期为．
前三项依次为，
∴，
∴．
9．设函数.
(1)写出的最大值，最小值，最小正周期；
(2)试求正整数的最小值，使得当自变量在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数至少有一个值是，一个值是.
解析：（1）
(2)由题意知在相邻两整数之间（包括整数本身）至少有一个和一个，
最小正周期，则，，又为正整数，正整数的最小值为.
10．已知函数 (其中)，对任意实数，在区间上要使函数值出现的次数不少于次且不多于次，求值．
解析：由，得.
∵函数在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间长度为，
为了使长度为的区间内出现函数值不少于次且不多于次，必须使不小于个周期长度且不大于个周期长度，即，且..又，故