第15讲 古典概型与几何概型-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

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 第15讲  古典概型与几何概型A组一、选择题1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数是0的概率为（     ）A．              B．                C．            D．【答案】：D【解析】：根据计数原理，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有个，其中个位数是0的两位数有个，因此由古典概型可知个位数是0的概率。2、锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率为（    ）A．             B．             C．             D．【答案】：C【解析】：本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为：，而所求事件可分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆，豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率。3、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)                                        A．1－   B.－C.   D.【答案】：A【解析】：本题考察几何概型以及面积的相关计算。如图设阴影部分两块的面积分别为，，OA＝R，则，=，故而所求概率。4、（2016重庆二诊理5）在区间[1，4]上任取两个数，则所取两个数的和大于3的概率为（     ）A.               B.             C.              D.【答案】：D【解析】：在区间[1，4]上任取两个数记作（x，y），则基本事件构成集合，面积，满足条件的事件，如图阴影面积；故所求概率。二、填空题5、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为___________。【答案】：【解析】：从0到9十个数字中任取七个不同的数有种取法，要使七个数字的中位数是6，则6，7，8，9必须取，然后再从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，有种取法，故所求概率。6、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为        。【答案】：【解析】：投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合。因为，则它为实数的等价条件是，又m、n均为正整数，从而m＝n。故所求事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共6个，Ω中共有36个基本事件，则P＝＝。7、已知正方体内有一个内切球O，则在正方体内任取点M，点M在球O内的概率是        。【答案】：【解析】：设正方体棱长为a，则正方体的体积，内切球的体积为，故点M在球O内的概率为。8、若区域，在区域M内的点的坐标为，则的概率是________。【答案】：【解析】：本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图，区域M是以(－2，0)，(2，0)，(0，－2)，(0，2)为顶点的正方形，其中满足的是直线y＝x和y＝－x所夹的如图所示的阴影部分，显然阴影部分的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为。三、解答题9、某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校。求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的概率。【答案】：【解析】：因为每名学生都有3种报考方法，所以5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为种。三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形：（1）三所学校报名人数为3，1，1，共有种； （2）三所学校报名人数为2，2，1，共有种；所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为60+90=150种，故所求概率。10、某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.【解析】：本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用.（1）样本均值；（2）样本中优秀工人为2名，频率为，由此估计该车间12名工人中有名优秀工人；（3）由于12名工人中有4名优秀工人，任取2人恰有1名优秀工人的概率。                               B组一、选择题1、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（    ） A．          B．             C．             D．【答案】：B【解析】：10位同学参赛演讲顺序共有种；（1）一班有3位同学恰好被排在一起有种方法；（2）将一班的同学捆在一起与其他的5位同学共6个对象排成一列有种方法；（3）二班的2位同学插入以上6个对象所形成的7个间隙有种方法；根据分布计数原理：一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起共有种方法；故所求概率。2、10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（    ）A.                 B.               C.                D.【答案】：D【解析】：方法一（直接法）：本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有基本事件数为，至少有一人中奖包括：一人中奖，两人中奖，三人中奖，其基本事件数为。则所求概率。方法二（正难则反）：所求事件的对立事件是没有人中奖，其基本事件数为。则至少有1人中奖的概率。3、已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（    ）A.                 B.                 C.               D.【答案】：D【解析】：本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件。如图，在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E、F为CD的四等分点，设，则在直角三角形ADF中， ，所以。4、（2016全国卷12）从区间随机抽取个数构成个数对其中两数的平方和小于的数共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（     ）               B.                 C.                D.【答案】：C【解析】：由题意得在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影部分中，由几何概型知；故而有，即。二、填空题5、某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为          。【答案】：【解析】:6位乘客进入车厢的方案共有种，6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的方案有种，从而所求概率。6、在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|1成立的概率为__________。【答案】：【解析】：设，则；由，解得，即当时，；由几何概型公式得所求概率为。7、连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量与向量的夹角为θ，则的概率是________。【答案】：【解析】：由题目条件可，因为，则有。满足条件的概率，显然的概率与的概率相等，从而的概率为，因此满足的概率为。8、已知关于x的二次函数。设集合P＝{－1，1，2，3，4，5}，Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________。【答案】：【解析】：抛物线的对称轴为。因为y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，则有且，即且。①若a＝1，则b＝－2，－1；②若a＝2，则b＝－2，－1，1；③若a＝3，则b＝－2，－1，1；④若a＝4，则b＝－2，－1，1，2；⑤若a＝5，则b＝－2，－1，1，2，从而该事件包含基本事件数为16，所有基本事件数为6×6=36；因此所求概率。三、解答题9、一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?【解析】：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则，解得；         设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，化简得，解得或(舍)．  从而红球的个数为(个)．  故随机变量的取值为0，1，2，分布列是012的数学期望．     （2）设袋中有黑球个，则…）设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则；当时，最大，最大值为。10、某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。【解析】：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为。（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3。，，综上知，的分布列为：123 从而有 C组一、选择题1、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　 　)A.           B.            C.              D. 【答案】：C【解析】：由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积。如图所示，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是。2、在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（   ）A.  　　        B. 　　       C. 　　           D. 【答案】：D【解析】：因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，其通项公式为，当时，项为有理项，展开式的9项全排列为种，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，所以有理项互不相邻的概率为。3、以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（    ）A． B．   C．       D．【答案】：A【解析】：已平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中取出两个三角形共有种，其中两个三角形共面的结果有种，故两个三角形不共面的概率。4、向边长分别为的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（  ）A．　　　　　　B. 　　　　  C. 　　　　    D. 　【答案】：A【解析】：设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=，根据余弦定理可得，，则，所以△ABC的面积；而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为。二、填空题5、连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量与向量的夹角记为，则的概率为        。【答案】：【解析】：连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量，共有36个，因为与的夹角，则，即，从而有n<m；又满足要求的向量有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(51)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)共15个，故所求概率。6、某中学早上8点开始上课，若学生小张与小王均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为         。【答案】：【解析】：设设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y。(x，y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400；则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图象，如图，符合题意的区域为△ABC，联立解得C(55，60)；联立得B(40，35)，则，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率。 7、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)。【答案】：【解析】：基本事件总数为，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类：第一类：三节艺术课各不相邻有；第二类：有两节艺术课相邻有；第三类：三节艺术课相邻有.由古典概型概率公式得所求概率为。8、已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是        。【答案】：[0，1]【解析】：如图，不难发现直线恒过定点(−2，0)，平面区域为如图所示的上半圆，直线过(−2，0)，(0，2)时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，此时，当直线与x轴重合时，；故实数m的取值范围是[0，1]。三、解答题9、美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；（Ⅲ）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋“回暖”。若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，买入某只股票1000股（10手），且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%（涨停）的概率为0.6，持平的概率为0.2，否则将下跌10%（跌停），求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金，印花税等交易费用）。【解析】：（1）四人恰好买到同一只股票的概率；                （2）（方法1）四人中有两人买到同一只股票的概率；四人中每人买到不同的股票的概率；所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率（方法2）四人中有三人恰好买到同一只股票的概率所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率； （3）每股今天获利钱数ξ的分布列为：ξ20－2P0.60.20.2所以，10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为1000＝1000×[2×0.6＋0×0.2＋(－2)×0.2]＝800。                            10、某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x。（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整数m。【解析】（1）因为事件A=“学生甲收到李老师所发信息”与事件B=“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以相互独立，由于P(A)=P(B)=，则，故所求概率。（2）当k=n时，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1；当k<n时，整数m满足，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为，当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k，由乘法计数原理知：事件{X=m}所包含基本事件数为，此时，当时，P(X=m) ，假如成立，则当能被n+2整除时，，故P（X=m）在和处取得最大值；当不能被n+2整除时，处达最大值。（注：[x]表示不超过x的最大整数）下面证明。因为，所以，而，故，显然，因此。