北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形知识点教案设计

专题14 简单的轴对称图形

知识网络

重难突破

知识点一  等腰三角形性质

1、等腰三角形

有两条边相等的三角形称为等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角．

特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形．

2、等腰三角形性质

(1)等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”．

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)．

注意：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴．

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

4、等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：(1)有三条对称轴；(2)每个内角都等于60°，三条边都相等．

判定：(1)三个角相等的三角形是等边三角形；

(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形；

(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

典例1

(2019春•福田区期末)等腰三角形的一个外角是，则这个等腰三角形的底角为　　．

典例2

(2019秋•盐都区期末)等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为　　  ．

典例3

(2019春•雁塔区校级期末)如图，在中，，点是边上的中点，，则的大小为　　

A． B． C． D．

知识点二  线段垂直平分线

1、线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．

2、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

3、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

注：

对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．

4、作图

已知：线段．

求作：的垂直平分线．

作法：

(1)分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．

(2)作直线．

直线就是线段的垂直平分线．

典例1

(2019春•高新区期末)如图，中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，，则　　

A． B． C． D．

典例2

(2019春•高新区期末)如图，在中，，，的垂直平分线交、于点、．则的周长为　   　．

典例3

(2019春•天桥区期末)在中，，，、分别垂直平分、．则　　     ．

知识点三  角平分线

1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．

2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

如图，已知平分，，，则．

3、利用尺规，作的平分线．

求作：射线，使．

作法：

(1)在和上分别截取，，使．

(2)分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．

(3)作射线．

就是的平分线．

典例1

(2019春•长清区期末)如图，在中，，平分，若，则点到的距离是　　

A．4 B．3 C．2 D．5

典例2

(2019春•南山区期末)如图，中，，，平分，于，则下列结论：

①平分，

②，

③平分，

④，

其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

典例3

(2019春•南山区期末)如图所示，在中，是平分线，的垂直平分线分别交、延长线于点、．

求证：．

证明：

平分

　　    　  　(角平分线的定义)

垂直平分

　　　　(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)

(等量代换)

知识点四  折叠问题

典例1

(2019春•简阳市 期末)正方形纸按图中的①的方式折叠，要得到图中的②需要折叠　　次．

典例2

(2019春•简阳市 期末)如图所示，在等腰中，，，将中的沿向下翻折，使点落在点处．若，则的长是　　．

知识点五  等腰三角形综合

等腰三角形的性质与其他知识的综合

(1)等腰三角形与线段垂直平分线相结合

线段垂直平分线的性质常用来说明线段相等，比较常见的就是与等腰三角形的性质结合考虑，一般要结合具体图形及条件，理解该性质满足的条件，得出相应的结论．

(2)等腰三角形与角平分线相结合

利用角平分线可以得到两个角相等，若这两个角可转化到一个等腰三角形中，则可运用等腰三角形的“三线合一”得到其他的结论．

典例1

(2019秋•东莞市期末)已知：如图，在等腰三角形中，，且，于，交的延长线于．

(1)求证：；

(2)如果连结，请写出与的关系并证明．

典例2

如图1，点、分别是等边边、上的动点(端点除外)，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．

(1)求证：；

(2)当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

(3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

典例3

(2019•济南模拟)已知是等腰直角三角形，，点是的中点，延长至点，使，连接．

(1)如图①，求证：；

(2)已知点是的中点，连接．

①如图②，求证：；

②如图③，延长至点，使，求证：．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019春•简阳市期末)如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是　　

A． B． 

C． D．

2．(2019春•青羊区期末)若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为(   )

A． B． C．或 D．或

3．(2019春•天桥区期末)如图在的网格中，点、在格点处：以为一边，点在格点处，则使为等腰三角形的点有　　个．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．(2019春•市中区期末)等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是　　

A． B． C．或 D．或

5．(2019秋•遂宁期末)如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为　　

A．32 B．29 C．38 D．36

6．(2019春•平阴县期末)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④边上的高等于．其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(共5小题)

7．(2019春•金牛区期末)等腰三角形的一个底角为，则顶角的度数是　   　度．

8．(2019春•莲湖区期末)如图，点关于、的对称点分别为、，连接，交于，交于，若的周长厘米，则为　   　厘米．

9．(2019春•商河县期末)如图，中，，，，平分，于，则的周长为　   　．

10．如图，在中，，是的角平分线，垂直平分，垂足为，若，，则　  　，　　，　　．

11．(2019秋•惠安县期末)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角为　    　度．

三、解答题(共2小题)

12．(2019春•光明区期末)如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点，

(1)由题意可知，射线是______________；

(2)若，求的度数；

(3)若，垂直为，试说明：．

13．(2019秋•苍溪县期末)已知：为等边三角形，点为射线上一点，点为射线上一点，．

(1)如图1，当在的延长线上且时，是的中线吗？请说明理由；

(2)如图2，当在的延长线上时，等于吗？请说明理由；

(3)如图3，当在线段的延长线上，在线段上时，请直接写出、、的数量关系．