试卷 2021年湖南省娄底市中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年湖南省娄底市中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省娄底市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．1
2．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x16÷x4＝x4 B．（a5）2＝a10
C．2a2+3a2＝5a4 D．b3•b3＝2b3
4．（3分）如图，AB∥CD，FG平分∠CFE．若∠α＝130°，则∠EGF的度数为（　　）

A．45° B．50° C．65° D．70°
5．（3分）在线段、等边三角形、平行四边形、圆、正六边形这五类图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．2类 B．3类 C．4类 D．5类
6．（3分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是（　　）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．跑步过程中，两人相遇一次
C．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D．乙在跑前300米时，速度最慢
7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．四边都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
8．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C． D．
9．（3分）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
10．（3分）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
11．（3分）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝90°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．27.5° C．30° D．35°
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（3分）将点P（2，﹣3）向右平移2个单位得到点P1，点P2与点P1关于x轴对称，则P2的坐标是　 　．
15．（3分）一个暗箱里装有5个黑球，3个白球，2个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　 　．
16．（3分）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是　 　．

17．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…依据图形所反映的规律，S2020＝　 　．

三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：|﹣1|+2cos30°+（）﹣2﹣（）0．
20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．
22．（8分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某工厂计划购买A，B两种型号的机器人加工零件．已知A型机器人比B型机器人每小时多加工30个零件，且A型机器人加工1000个零件用的时间与B型机器人加工800个零件所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别加工多少零件；
（2）该工厂计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时加工零件不得少于2800个，则至少购进A型机器人多少台？
24．（9分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．

六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA＝CF；
②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

26．（10分）已知：如图一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．


2021年湖南省娄底市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．1
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵|﹣|＝，
∴﹣的绝对值为．
故选：C．
2．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据组合体的形状即可求出答案．
【解答】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x16÷x4＝x4 B．（a5）2＝a10
C．2a2+3a2＝5a4 D．b3•b3＝2b3
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识即可解答．
【解答】解：A、x16÷x4＝x12，故A错误，不符合题意．
B、（a5）2＝a10，故B正确，符合题意．
C、2a2+3a2＝5a2，故C错误，不符合题意．
D、b3•b3＝b6，故D错误，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CD，FG平分∠CFE．若∠α＝130°，则∠EGF的度数为（　　）

A．45° B．50° C．65° D．70°
【分析】由平行线的性质得出EGF＝∠CFG，∠CFE＝∠α＝130°，由角平分线定义求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE＝65°，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠CFG，∠CFE＝∠α＝130°，
∵FG平分∠CFE，
∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE＝65°，
∴∠EGF＝65°；
故选：C．
5．（3分）在线段、等边三角形、平行四边形、圆、正六边形这五类图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．2类 B．3类 C．4类 D．5类
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有3类．
故选：B．
6．（3分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是（　　）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．跑步过程中，两人相遇一次
C．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D．乙在跑前300米时，速度最慢
【分析】根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：A、两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误；
B、跑步过程中，两人相遇两次，错误；
C、起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确；
D、乙在跑后200米时，速度最慢，错误；
故选：C．
7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．四边都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】根据矩形的判定定理、菱形的性质定理、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A是真命题；
B、菱形的对角线互相垂直，B是假命题；
C、四边都相等的平行四边形是矩形，C是假命题；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D是假命题；
故选：A．
8．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
9．（3分）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A．
10．（3分）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
11．（3分）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝90°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【分析】由∠ADC＝∠A+∠B，∠A＝60°，∠ADC＝90°，推出∠B＝30°，两点∠AOC＝2∠B＝60°，再根据∠ADC＝∠AOC+∠C，即可求出∠C．
【解答】解：∵∠ADC＝∠A+∠B，∠A＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵∠ADC＝∠AOC+∠C，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
故选：C．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣3　．
【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
则x的取值范围是：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
14．（3分）将点P（2，﹣3）向右平移2个单位得到点P1，点P2与点P1关于x轴对称，则P2的坐标是　（4，3）　．
【分析】直接利用平移的性质得出P1的坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵将点P（2，﹣3）向右平移2个单位得到点P1，
∴P1（4，﹣3）
∵点P2与点P1关于x轴对称，
∴P2的坐标是：（4，3）．
故答案为：（4，3）．
15．（3分）一个暗箱里装有5个黑球，3个白球，2个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　　．
【分析】根据题意让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：从中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸到红球的有2种结果，
∴摸到红球的概率是＝，
故答案为：．
16．（3分）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是　（）　．

【分析】根据A点坐标可知∠AOB＝30°，因此旋转后OA在y轴上．如图所示．作B′C′⊥y轴于C′点，运用三角函数求出B′C′、OC′的长度即可确定B′的坐标．
【解答】解：将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，位置如图所示，
作B′C′⊥y轴于C′点，
∵A的坐标为，
∴OB＝，AB＝1，∠AOB＝30°，
∴OB′＝，∠B′OC′＝30°，
∴B′C′＝，OC′＝，
∴B′（，）．

17．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为　12　．

【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
【解答】解：设点A的坐标为（a，），则点B的坐标为（，），
∵AB∥x轴，AC＝2CD，
∴∠BAC＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴，
∴，
∵OD＝a，则AB＝2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a＝，
解得，k＝12，
故答案为：12．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上，设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…依据图形所反映的规律，S2020＝　　．

【分析】过点Pn作PnEn⊥x轴于点En，利用等腰直角三角形的性质可得出An﹣1An＝2PnEn，结合点P1的坐标可求出S1的值，设点Pn的坐标为（xn，yn），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y2，y3，…，yn的值，再利用三角形的面积公式即可得出S1，S2，…，Sn的值，代入n＝2020即可求出结论．
【解答】解：过点Pn作PnEn⊥x轴于点En，如图所示．
∵△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，
∴OA1＝2P1E1，A1A2＝2P2E2，A2A3＝2P3E3，…，An﹣1An＝2PnEn．
∵点P1的坐标为（3，3），
∴S1＝OA1•P1E1＝P1E12＝9；
设点Pn的坐标为（xn，yn），则点P2的坐标为（6+y2，y2）．
∵点P2在直线y＝﹣x+4上，
∴y2＝﹣（6+y2）+4，
∴y2＝，
∴S2＝A1A2•P2E2＝P2E22＝y22＝，
∴点P3的坐标为（6+2y2+y3，y3），即（9+y3，y3）．
∵点P3在直线y＝﹣x+4上，
∴y3＝﹣（9+y3）+4，
∴y3＝，
∴S3＝A2A3•P3E3＝P3E32＝y32＝．
∵y1＝3，y2＝，y3＝，…，
∴yn＝，
∴Sn＝An﹣1An•PnEn＝PnEn2＝yn2＝（）2＝，
∴S2020＝．
故答案为：．

三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：|﹣1|+2cos30°+（）﹣2﹣（）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2×+4﹣1
＝﹣1++4﹣1
＝++2．
20．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．
【分析】（1）根据B类有60人，占10%，据此即可求得抽查的总人数；
（2）利用总数减去其它各组的人数即可求得C类的人数，然后求得百分比即可；
（3）利用总数8000乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%＝600（人）；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是：×100%＝20%，
A类所占的百分比是：×100%＝30%．
；
（3）8000×40%＝3200（人）．
22．（8分）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．

【分析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD≈92×0.94＝86.48，
∵DE＝6，
∴AE＝AD+DE＝92.5，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）某工厂计划购买A，B两种型号的机器人加工零件．已知A型机器人比B型机器人每小时多加工30个零件，且A型机器人加工1000个零件用的时间与B型机器人加工800个零件所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别加工多少零件；
（2）该工厂计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时加工零件不得少于2800个，则至少购进A型机器人多少台？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x个零件，则A型机器人每小时搬运（x+30）个零件，根据A型机器人搬运1000个零件所用的时间与B型机器人搬运800个零件所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
（2）设至少购进A型机器人a台，由每小时加工零件不得少于2800个，列出不等式可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的机器人每小时分别加工（x+30）个，x个零件，
根据题意得：，
解得x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
∴x+30＝120+30＝150，
答：A型号机器人每小时加工150个零件，B型号机器人每小时加工120个零件；
（2）设购进A型机器人a台，
根据题意可得：150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥．
∵a是整数，
∴a≥14．
答：至少购进A型机器人14台．，
24．（9分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．

【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，
∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，
∵O为AC中点，M在BO上，
∴BO⊥AC，时，AM＝MC，
在△BOA与△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SAS），
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故△ABC为等腰三角形时，四边形AMCN是正方形．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA＝CF；
②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得出∠ADB＝90°，由三角形内角和定理得出∠DBA+∠DAB＝90°，由圆周角定理得出∠DEA＝∠DBA，求出∠DBA＝∠DAC，则∠CAB＝90°，即可得出结论；
（2）①由圆周角定理得出∠BAE＝∠DAE，由三角形外角性质得出∠CFA＝∠DBA+∠BAE，求出∠CFA＝∠CAF，即可得出结论；
②设CA＝CF＝x，则BC＝CF+BF＝x+2，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠DEA＝∠DBA，∠DAC＝∠DEA，
∴∠DBA＝∠DAC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DBA＝∠DAC，
∴∠CFA＝∠CAF，
∴CA＝CF；
②解：设CA＝CF＝x，
则BC＝CF+BF＝x+2，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，CA2+AB2＝BC2，
即：x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
∴AC＝8．
26．（10分）已知：如图一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得．
（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC＝90°，则△BPO∽△CPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，
得：，
得解析式y＝x2﹣x+1．

（2）设C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），
则有
解得，
∴C（4，3）
由图可知：S四边形BDEC＝S△ACE﹣S△ABD，又由对称轴为x＝可知E（2，0），
∴S＝AE•y0﹣AD×OB＝×4×3﹣×3×1＝．

（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，
∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．