2023年湖南省娄底市直学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省娄底市直学校中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  没有稳固的国防，就没有人民的安宁，年，中国国防预算约为亿元，将亿元用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  据统计，某班个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：，，，，，，关于这组数据，下列说法错误的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

6.  如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，直线，直线，若，则(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，的内切圆圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，一块砖的，，三个面的面积比是：：如果，，面分别向下放在地上，地面所受压强为，，，压强的计算公式为，其中是压强，是压力，是受力面积，则，，，的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在面积为的正方形中，是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，下列结论：≌；∽；四边形的面积为；其中结论正确的序号有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  因式分解：          ．

14.  已知是一元二次方程的一个根，则的值为______ ．

15.  如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为______

16.  实数，在数轴上的位置如图所示，化简 ______ ．

17.  如图，已知点是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，则与的大小关系为______ ．

18.  定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫作图形的变换如图，等边的边长为，点在第一象限，点与原点重合，点在轴的正半轴上，就是经变换后所得的图形，若经变换后得到，经变换后得到，经变换后得到，依此类推，经变换后得到，点的坐标为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．
求抛物线的解析式；
点是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值及此时点的坐标；
若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
共有        名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是        度；
补全调查结果条形统计图；
小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

23.  本小题分
已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
当起重臂长度为，云梯消防车最高点距离地面的高度为，求张角的大小；
已知该小区层高约为，若某楼居民家突发险情，请问云梯能否将消防员送达该楼层进行救援？请说明理由．
 

24.  本小题分
为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴已知件产品价格比件产品价格少元，元购买产品件数与元购买产品件数相同．
产品和产品每件分别是多少元？
深圳该对口单位动员职工采购该乡、两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买件，的数量不少于的倍，当采购、两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．

25.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，菱形的面积为求菱形的周长．

26.  本小题分
已知为圆的直径，为圆上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交圆于点．

如图，求证：平分；
如图，若，，过作交圆于点，连接，求圆半径和．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为亿，
所以亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，逐项判断，即可求解．
本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故A符合题意．
B.根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，中的图形不是中心对称图形但是轴对称图形，故B不符合题意．
C.根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故C不符合题意．
D.根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，中图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义解决此题．
本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形以及轴对称图形的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、把这些数从小到大排列为：，，，，，，，则中位数是，故本选项不符合题意；
B、出现了次，出现的次数最多，所以众数是，故本选项不符合题意；
C、平均数是，故本选项不符合题意；
D、方差为：，故本选项符合题意．
故选：．
根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
 

6.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，

∽，
，
，
，，
∽，且：，
，，
，
故选：．
作轴于，轴于，由∽，得，从而得出，的长．
本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到．
【解答】
解：直线，，
，
直线，
．
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的垂直平分线．先判断出是的垂直平分线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为，即可得出答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
的周长．  

9.【答案】 

【解析】解：连接、，
分别与、相切于点、点，
，，
，
，
，
，
故选：．
连接、，由切线的性质得，再根据圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
随的增大而减小，
，，三个面的面积比是：：，
，，的大小关系是：．
故选：．
直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．根据勾股定理的逆定理可以证明；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知：的最小值即等于直角三角形斜边上的高．
【解答】
解：在中，，，，
，
即．
又于，于，
四边形是矩形，
．
是的中点，
．
因为的最小值即为直角三角形斜边上的高，即等于，
的最小值是．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
故正确；
，
点，，，四点共圆，
，，
∽，
故正确；
≌，
，
，
故正确；
≌，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
故正确，
故选：．
首先利用证明≌，可知正确；由，得点，，，四点共圆，则，，可知正确；由≌，得，则，可知正确；首先说明∽，得，而是等腰直角三角形，则，再利用，，从而判断正确．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明∽是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．

【解答】
解：原式，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，

．
故答案为：．
将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
利用反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
【解答】
解：轴，
，
而，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：由题可得，，，
，，，




，
故答案为：．
依据数轴即可得到，，，即可化简．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
又表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
，，
．
故答案为．
根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到．
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据图形的变换的定义可知：
对图形变换，就是先进行向右平移个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
经变换后得，坐标，
经变换后得，坐标，
经变换后得，坐标，
经变换后得，坐标，
经变换后得，坐标，
依此类推，
可以发现规律：纵坐标为：，
当是奇数，横坐标为：，
当是偶数，横坐标为：，
时，是奇数，横坐标是，纵坐标为，
故答案为：
分析图形的变换的定义可知：对图形变换，就是先进行向右平移个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移个单位变换就是横坐标加，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究．
 

19.【答案】解：，，
点坐标为，点坐标为，
将，代入，
得，
解得
抛物线的解析式为
在函数中，令得，
解得，，
点坐标为，
，
如图，连接，

设点坐标为，且，



，
当时，的面积有最大值，
则此时点的坐标为
存在，理由如下：
，，
，
若为菱形的边长，如图，

当，，且，
设点坐标为，
，
，
，
当，，且，
点与点关于轴对称，
则点与点关于点轴对称，
，
若为菱形的对角线，如图，

则，，
设，
则，
解得，
，
综上所述，点坐标为，，，或． 

【解析】由，得到，，用待定系数法即可求得抛物线解析式；
设点横坐标为，由即可得到的面积与之间的函数关系式，从而根据二次函数的性质即可得到答案；
分别以为菱形的边和对角线进行分类讨论并画出图形，根据菱形的性质确定点的坐标．
本题考查二次函数综合，以及菱形的性质．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
本题主要考查了实数运算，掌握实数的运算法则是关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式

． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则选修“厨艺”的人数为名，
则选修“手工”的人数为名，
则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
补全条形统计图如下：

把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；
补全条形统计图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，如图：

，
四边形为矩形，
米，，
米，
米，
在中，米，
，
，
，
张角为；
该消防车不能实施有效救援，理由：
当，时，能达到最高高度，
，
，
在中，，
，
，
，
该消防车不能实施有效救援． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得米，，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的度数，从而求出的度数；
当，时，能达到最高高度，从而可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设产品每件元，则产品每件元，
由题意得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：产品每件元，则产品每件元；
设购买产品件，则购买产品件，所需费用为元，
，
的数量不少于的倍，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
当购买产品件，则购买产品件，购买总费用最大，最大值为元．
答：购买产品件，则购买产品件，购买总费用最大，最大值为元． 

【解析】设产品每件元，则产品每件元，然后根据元购买产品件数与元购买产品件数相同列出方程求解即可；
设购买产品件，则购买产品件，所需费用为元，根据总费用的费用的费用，列出关于的一次函数关系，再结合，的数量不少于的倍，求出的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
菱形的面积的面积，
，
，，
设，则，
，
负根已经舍去，
，，
，
，
菱形的周长为． 

【解析】利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
利用的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；


解：如图连接，，
，，，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
的半径长是；
是圆的直径，
，

，
，
，

，
，
，
，
，
．
的长是，半径长是． 

【解析】连接，根据切线的性质得出，结合可证，进而得出，根据等边对等角可得，进而得出，即可得证；
连接，，利用勾股定理求出，利用圆内接四边形的性质可证，利用圆周角定理，余角的性质等可证，进而得出，证明∽，再利用相似三角形的性质求出即可．
本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解第问的关键．