2021年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷

这是一份2021年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）化简的正确结果是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．4
2．（4分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m2）2＝6m4B．m2•m3＝m5
C．3m﹣m＝2D．（m+1）2＝m2+1
5．（4分）在2021年3月8日当天，由贾玲导演并主演的电影《你好，李焕英》，收获约46120000元票房，将46120000用科学记数法表示是（ ）
A．4612×104B．4.612×108C．46.12×106D．4.612×107
6．（4分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
8．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．30°B．50°C．70°D．80°
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（ ）
A．∠DCB＝∠BB．BC＝BD
C．AD＝BDD．∠ACD＝∠BDC
10．（4分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是 ．
12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝ ．
13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是 ．
14．（4分）如图：将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是 ．
15．（4分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是 人．
16．（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为 ．
18．（4分）抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
21．（8分）在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
22．（10分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．
（1）求AC的长度；
（2）求DE的长度．
23．（10分）据新浪网调查，2019年全国网民最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图1所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求出图1中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；
（2）为了深度了解网民对政府工作报告的想法，新浪网邀请5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表．请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是丙和丁的概率．
（3）据统计，2017年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2017年到2019年的年平均增长率约为多少？（≈3.16）
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以点B，C，M，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）化简的正确结果是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．4
【解答】解：＝2．
故选：C．
2．（4分）下面四个图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、B、C中的图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3．（4分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m2）2＝6m4B．m2•m3＝m5
C．3m﹣m＝2D．（m+1）2＝m2+1
【解答】解：A、原式＝9m4，故A不符合题意．
B、原式＝m5，故B符合题意．
C、原式＝2m，故C不符合题意．
D、原式＝m2+2m+1，故D不符合题意．
故选：B．
5．（4分）在2021年3月8日当天，由贾玲导演并主演的电影《你好，李焕英》，收获约46120000元票房，将46120000用科学记数法表示是（ ）
A．4612×104B．4.612×108C．46.12×106D．4.612×107
【解答】解：46120000＝4.612×107．
故选：D．
6．（4分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：袋子中球的总数为2+3+5＝10，而白球有5个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为＝．
故选：B．
7．（4分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
8．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．30°B．50°C．70°D．80°
【解答】解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（ ）
A．∠DCB＝∠BB．BC＝BD
C．AD＝BDD．∠ACD＝∠BDC
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴A正确，故A不符合题意；
∵∠BDC≠∠BCD，
∴BD≠BC，
∴B错误，故B符合题意；
∵∠B＝∠BCD，
∴BD＝DC，
∴AD＝BD，
∴C正确，故C不符合题意；
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∴D正确，故D不符合题意；
故选：B．
10．（4分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．
∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝CD，BC＝CF，
∵CA＝CD，CB＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴△DCF≌△ACB（SAS），
∴∠DFC＝∠ABC，DF＝AB＝5，
∵AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∵PM∥AI，DE∥AF，
∴∠PDE＝∠PFJ，∠PED＝∠PJF＝∠JAI，
∵∠JAI+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠JAI＝∠ABC，
∴∠PJF＝∠PFJ，
∴∠PED＝∠PDE，
∴PD＝PE，
∵PK⊥DE，
∴EK＝DK＝2，
∵∠PKD＝∠DCF＝90°，∠PDK＝∠DFC，
∴△PKD∽△DCF，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
同法可证，FW＝WG＝1.5，△QFW∽△FDC，
∴＝，
∴＝，
∴QF＝，
∴PQ＝PD+DF+FQ＝+5+＝，
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（4分）因式分解：3y2﹣12＝ 3（y+2）（y﹣2） ．
【解答】解：3y2﹣12，
＝3（y2﹣4），
＝3（y+2）（y﹣2）．
13．（4分）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是 1 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，
∴（﹣2）2+k×（﹣2）﹣2＝0，
解得，k＝1，
故答案为：1．
14．（4分）如图：将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是 75° ．
【解答】解：如图所示：
∵∠D＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
又∵∠E＝45°，
∴∠F＝45°，
又∵AB∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
又∵∠A＝30°，
∴∠ACF＝30°，
又∵∠ACF+∠F+∠1＝180°，
∴∠1＝105°，
又∵∠1+∠DOC＝180°，
∴∠DOC＝75°，
故答案为75°．
15．（4分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是 400 人．
【解答】解：根据题意得：1000×＝400（人），
答：该校1000名九年级学生一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是400人；
故答案为：400．
16．（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40° ．
【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，
∴360°÷9＝40°．
故答案为：40°．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连接PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为 6 ．
【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴S矩形APBO＝|k|＝6，
在△PBC与△DOC中，
，
∴△PBC≌△DOC，
∴S△APD＝S矩形APBO＝6．
故答案为：6．
18．（4分）抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为 ．
【解答】解：设B点的坐标为（x，0），
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣，
∴点B的横坐标为，
∴x＝2，即B（2，0），
∴AO＝5 BO＝2．
∵△ACO∽△CBO，
∴，
∴，
∴OC＝．
∴∠CAB的正切值＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝
＝1﹣1+5
＝5．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．（8分）在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴DE＝BF，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BF＝BC＝5，
∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．
22．（10分）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．
（1）求AC的长度；
（2）求DE的长度．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，AB＝2m，∠PBE＝45°，
则AC＝AB•sin∠PBE＝2×＝（m），
答：AC的长度为m；
（2）由题意得：DF＝AC＝m，
在Rt△FDE中，tan∠PEB＝，
则DE＝＝＝（m），
答：DE的长度为m．
23．（10分）据新浪网调查，2019年全国网民最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图1所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求出图1中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；
（2）为了深度了解网民对政府工作报告的想法，新浪网邀请5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表．请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是丙和丁的概率．
（3）据统计，2017年网民最关注教育问题的人数所占百分比约为10%，则从2017年到2019年的年平均增长率约为多少？（≈3.16）
【解答】解：（1）1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%＝20%，
所以x＝20，
总人数为：140÷10%＝1400（人）
关注教育问题网民的人数1400×25%＝350（人），
关注反腐问题网民的人数1400×20%＝280（人），
关注其它问题网民的人数1400×15%＝210（人），
如图2，补全条形统计图，
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次所选代表恰好是丙和丁的有2种结果，
所以一次所选代表恰好是丙和丁的概率为＝；
（3）设2017年到2019年的年平均增长率为x，
由题意得 10%（1+x）2＝25%，
解得x1＝0.58＝58%，x2＝﹣2.58（不合题意，舍去）．
答：从2017年到2019年的年平均增长率为58%．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝8，AC＝6，求∠BAE的正切值．
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵AC切⊙O于点A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°
∵点E是的中点，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B．
∵∠CAD+∠DAE＝∠B+BAE，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴AC＝CF；
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵AD•BC＝AC•AB，
∴AD＝＝，
∵CF＝AC＝6，
∴BF＝4，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝，
∴DF＝BD﹣BF＝﹣4＝，
在Rt△ADF中，tan∠DAF＝＝＝，
∴∠BAE的正切值为．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【解答】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝＝＝，
∴DE∥AC；
（3）当点F在点C的下方时，点G在点F的右方时，如图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cs∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当点F在点C的上方时，同理可得：点G（1，3），
此时，点G也在反比例函数上，
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）均反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以点B，C，M，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），
∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵PG∥OC，
∴＝＝＝﹣（p﹣）2+，
∴当p＝时，的值有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在，满足条件的点M的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣，0）．理由如下：
设点M的坐标为（m，0），
当BC是平行四边形BCMF的边时，如图1，
点C（0，3）平移到点B（3，0），先向下平移3个单位，再向右平移3个单位，
则点M1（m，0），平移到F1（m+3，﹣3），
令﹣x2+2x+3＝﹣3，可得m+3＝1±；
∴m＝﹣2±；
∴M1（﹣，0），M2（，0）．
当BC是平行四边形BCFM的边时，如图2，
∴点B（3，0）平移到点C（0，3），先向上平移3个单位，再向左平移3个单位，
则点M1（m，0），平移到F1（m﹣3，3），
令﹣x2+2x+3＝3，可得m﹣3＝0或2；
∴m＝3（舍）或m＝5；
∴M3（5，0）．
当BC是平行四边形BMCF的对角线时，BM∥CF，且BM＝CF，
由上可知，点F4的坐标为（2，3），
∴M4的坐标为（1，0），
综上所述：满足条件的点M的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣，0）．