吉林省长春市经开区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份吉林省长春市经开区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
2．下列事件是随机事件的是（　　）
A．只买一张彩票，就中了大奖
B．长春市某天的最低气温为﹣150℃
C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球
D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上
3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C． D．x＝﹣1
4．式子2cos30°﹣tan45°的值是（　　）
A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣
5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5 B．9 C．10 D．12
6．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
0.02
0.01
0.02
0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
7．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　 　．
10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为　 　．
11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为　 　．
12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是　 　．

13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．

17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：
（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是　 　；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 　；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是　 　．

18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．
19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】

20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．
（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．

22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．
（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1　 　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段QC的长．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．
24．已知函数y＝（k为常数）．
（1）当k＝﹣2时，
①写出此函数的表达式．
②求此函数图象与x轴的交点的坐标．
③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为　 　．
（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．
（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．


2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故选：B．
2．下列事件是随机事件的是（　　）
A．只买一张彩票，就中了大奖
B．长春市某天的最低气温为﹣150℃
C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球
D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、只买一张彩票，就中了大奖，是随机事件；
B、长春市某天的最低气温为﹣150℃，是不可能事件；
C、口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球，是必然事件；
D、抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上，是不可能事件；
故选：A．
3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C． D．x＝﹣1
【分析】利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝1．
故选：B．
4．式子2cos30°﹣tan45°的值是（　　）
A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】把30°的余弦值、45°的正切值代入，计算即可．
【解答】解：2cos30°﹣tan45°
＝2×﹣1
＝﹣1，
故选：C．
5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5 B．9 C．10 D．12
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF、EF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
6．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
0.02
0.01
0.02
0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
【分析】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根．
【解答】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，
故选：D．
7．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【解答】解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．
A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴，
解得k＞0且k≠2，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　2　．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，所以△＝b2﹣4ac＝0，列出关于k的不等式求解即可．
【解答】解：因为关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，
所以△＝b2﹣4ac＝0，即42﹣4×2×k＝0，
解这个方程得k＝2．
10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为　2：5　．
【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”进行解答．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，
∴△ABC与△DEF的相似比为＝，
∴△ABC与△DEF的周长比为，即2：5．
故答案是：2：5．
11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为　　．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3＝6（个），
从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是3÷6＝．
故答案为．
12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是　（x﹣3）（x﹣2）＝20　．

【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝20．
13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为　　．

【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．
【解答】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，
AD＝3，BD＝4，
∴AB＝5，
∴cos∠ABC＝，
故答案为：．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　．

【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
三．解答题
15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
【分析】移项，方程两边都加上16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4＝±
，．
16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．

【分析】利用小华有3张卡片，小明有2张卡片，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，根据题意画出树状图，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知共有6种等可能结果，其中数字之和为6的有2种，
则抽取的两张卡片上的数字和为6的概率为．
17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：
（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是　x＝0或x＝2　；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是　0＜x＜2　；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1　．

【分析】（1）根据图象与x轴的两个交点坐标，可得出方程的根；
（2）由图象可知当图象下方时的对应的x的范围，可得出不等式的解集；
（3）相当于二次函数图象与y＝k有交点时的k的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝0或x＝2，
故答案为x＝0或x＝2；
（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0解集为0＜x＜2，
故答案为0＜x＜2；
（3）关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，相当于抛物线与y＝k有一个或两个不同的交点，
∴k≥﹣1，
故答案为k≥﹣1．
18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．
【分析】设这两年投资的年平均增长率为x，根据2016年投资2000万元，得出2017年投资2000（1+x）万元，2018年投资2000（1+x）2万元，而2018年投资2420万元．据此列方程求解即可．
【解答】解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：这两年投资的平均年增长率为10%．
19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】

【分析】根据BE⊥CD于E，利用正切的概念求出ED的长，结合图形计算即可．
【解答】解：由题意得，BE⊥CD于E，
BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，
在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），
CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），
答：旗杆的高CD约为15.1米．
20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．
（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义作出图形即可．
（2）取格点M，N，连接MN交AD于点E，连接BE，△ABE即为所求作．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作．S△ABC＝××＝．
（2）如图②中，△ABE即为所求作．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．

【分析】作AD⊥BC，然后根据等腰三角形的性质，可以得到BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，然后根据锐角三角三角函数可以得到sin∠BAD的值，再根据∠BPC＝∠BAC，可以得到∠BPC＝∠BAD，从而可以得到sin∠BPC的值．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，
∵∠ADB＝90°，
∴sin∠BAD＝，
又∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAD，
∴sin∠BPC＝．

22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．
（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1　＜　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0），
∴
解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为
（2）因为，该抛物线开口向下．
顶点坐标为（3，）．
（3）∵x1＞x2＞4，对称轴为x＝3，a＝﹣
∴y1＜y2
故答案为：＜．
23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段QC的长．
（2）当PQ⊥AC时，求t的值．
（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．
【分析】（1）分0≤t≤3、3＜t≤6两种情况，根据题意、结合图形解答；
（2）根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案；
（3）作QH⊥AB于H，根据直角三角形的性质用t表示出QH，根据三角形的面积公式解答；
（4）分△APQ的面积＝△PCQ的面积、△APQ的面积＝△PCB的面积、△APQ的面积＝△PCB的面积三种情况计算．
【解答】解：（1）由题意得，点Q的运动路程为2t，
当0≤t≤3时，QC＝6﹣2t，
当3＜t≤6时，QC＝2t﹣6；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
当PQ⊥AC时，∠QPA＝30°，
∴AQ＝AP，即t＝2×（12﹣2t），
解得，t＝；
（3）作QH⊥AB于H，
如图①，在Rt△QBH中，QH＝BQ•sinB＝t，
则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×t＝﹣t2+3t；
如图②，在Rt△QAH中，QH＝AQ•sinA＝×（12﹣2t）＝6﹣t，
则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝（6﹣t）2；
（4）当点Q为AC的中点时，△APQ的面积＝△PCQ的面积，即12﹣2t＝3，
解得，t＝，
如图①，作CE⊥AB于E，
则CE＝AC•sinA＝×6＝3，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9，
＝，
∴△BPC的面积＝9﹣t，
∴△APC的面积＝t，
＝，
∴△APQ的面积＝3t﹣t2，
∴△PCQ的面积＝t2﹣t，
当△APQ的面积＝△PCB的面积时，9﹣t＝3t﹣t2，
整理得，t2﹣t+4＝0，
△＝1﹣16＝﹣15＜0，方程无解，
当△CPQ的面积＝△PCB的面积时，t2﹣t＝9﹣t，
解得，t1＝3，t2＝﹣3（舍去），
综上所述，在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中的某两个三角形面积相等时，t＝或t＝3．


24．已知函数y＝（k为常数）．
（1）当k＝﹣2时，
①写出此函数的表达式．
②求此函数图象与x轴的交点的坐标．
③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为　﹣2＜x＜2　．
（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．
（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）①把k＝﹣2代入解析式即可．
②当k＝﹣2时，函数图像如图1所示：利用图像法解决问题即可．
③利用图像法解决问题即可．
（2）利用待定系数法解决问题即可．
（3）分k≤0和k＞0两种情形，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，当k＝﹣2时，函数图像如图所示：

①y＝．
②观察图像可知，函数与x轴的交点为（﹣2，0）或（2，0）．
③观察图像可知，函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜2．
故答案为：﹣2＜x＜2．

（2）∵函数经过点（1，2），
∴﹣1+2k﹣k2＝2或1﹣2k+k2＝2，
解得，k＝1±．

（3）当k≤0时，k2＝5，解得k＝﹣或（舍弃），
由题意，当﹣≤k≤0时，点C与原点的距离不大于5．
当k＞0时，k2＝5，解得k＝或﹣（舍弃），
由题意，当0＜k≤时，点C与原点的距离不大于5．
综上所述，满足条件的k的值为﹣≤k≤．