2023年吉林省长春市经开区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年吉林省长春市经开区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数，，，中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，一个由个相同小正方体组成的几何体的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数轴上，与表示的点最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一台起重机的侧面示意图，起重臂的最底部到墙的水平距离，起重臂与水平线形成的夹角为，起重臂底座的高度下列式子中，能够表示起重臂顶部处与地面的距离单位：的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，的直径上有一个动点，为的弦，若，，则线段的
长度不可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在我国古典数学著作孙子算经中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列出方程组(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，均在函数的图象上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  一种细胞的直径为厘米，将写成小数为______ ．

11.  如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是______ ．

12.  如图，将一副三角尺摆放在一起，含角的三角尺的斜边与含角的三角尺的较长直角边恰好重合，作于点，连结，则的大小为______ ．

13.  如图是以点为圆心的两个半圆，、分别为两个半圆的直径，点在大半圆上，切小半圆于点若，，则图中阴影部分图形的面积为______ 结果保留
 

14.  已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
一个袋中装有个红球和个黄球，它们除了颜色以外完全相同，随机取出一个小球后放回，再随机取出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次取出的小球颜色相同的概率．

17.  本小题分
为了锻炼身体，榕榕每周日骑自行车去图书馆，图书馆距榕榕家千米，在相同的路线上，乘车的速度是骑自行车速度的倍，所以榕榕要比乘车时提前出发分钟，才能和乘车到达图书馆的时间相同，求榕榕骑自行车的速度．

18.  本小题分
如图，图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，在图、图、图中，分别画一个等腰三角形，要求点在格点上，三个图形中的等腰三角形位置不相同，但均为锐角三角形．

 

19.  本小题分
如图，点、、都在上，求证：≌．

20.  本小题分
一队运动员在等电梯，他们的体重如下：单位：
，，，，，，，，，，．
这队运动员共有______ 人，他们体重的平均数是______ ，中位数是______ ．
在等电梯时，又来了位女士，她们的平均体重是，若这部电梯的定员为人，安全载重为，请通过计算说明：这队运动员和这位女士能否一起安全地搭乘这部电梯？

21.  本小题分
李老师驾车从甲地去乙地取一个重要文件，到达乙地后立刻返回到甲地取文件时间忽略不计设李老师的车与乙地的路程为千米，离开甲地的时间为时，与的函数关系如图象所示．
从甲地前往乙地时，李老师的车速为______ 千米时．
求李老师从乙地返回甲地过程中与的函数关系式．
在甲、乙两地之间有一座收费站，老师从去时通过收费站，到返回时通过收费站，间隔时间为小时分，直接写出甲地与收费站之间的路程为______ 千米．

22.  本小题分
【问题背景】如图，在中，，，点为的中点，交直线于点，连结，求证：．
【分析解决】，点为的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系
请你延续以上思路，完成本题结论的证明．
【变式探究】如图，将【问题背景】中的改为，其余条件不变判断是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由．
【结论应用】在图中，若，则 ______
在图中，若，则 ______

 

23.  本小题分
如图，在中，，，于点，点从点出发，沿折线向终点运动，点在上以每秒个单位长度的速度匀速运动，在上以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点不与点、重合时，作，与射线交于点，以为一边向左侧作正方形设点的运动时间为．
直接写出 ______ ．
求的值．
当正方形与重叠部分图形是四边形时，直接写出的取值范围．
连结，直接写出时的值．

24.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过点，点，并与轴有另一交点．
依题，点的坐标是______ ，点的坐标是______ ．
求抛物线的解析式．
在直线下方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值．
在轴上有一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段直接写出线段与抛物线只有一个公共点时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正数负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大．
可得，
所以在，，，中，最大的数是．
故选：．
根据正数负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大解答即可．
此题主要考查了正、负数、及正数之间的大小比较．正数负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示的立体图形的俯视图如下：
．
故选：．
根据从上面看得到俯视图即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
表示的点最接近的整数是．
故选：．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
，
在中，，
起重臂顶部处与地面的距离为：．
故选：．
在中，，则起重臂顶部处与地面的距离为，计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，
是的直径，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
即点到的距离为，此时最小，
当移动到点时，最大，即，
即，
故选：．
利用圆周角定理以及勾股定理可求出，再根据三角形面积可求出，即的最小值为，再求出的最大值，最后再进行判断即可．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
时，，随着的增大而增大；时，，随着的增大而增大，
，
，
，
，
即，
故选：．
根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是平行四边形，
，且．
，即．
，即．
，，
．
故答案为：．
设，根据平行四边形的对边平行且相等得到：
本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，根据平行四边形的性质得到“，”是解题的突破口．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，
在中，，
在中，，
，


，
故答案为：．
根据勾股定理以及直角三角形的边角关系求出的度数即可．
本题考查的是三角形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及三角形内角和等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，
与小半圆相切于，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，扇形的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积扇形的面积．
故答案为：．
连接，，由与小半圆相切于，得到，由锐角的余弦求出的度数，即可求出的长，求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，关键是求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，即可求出阴影的面积．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，时取最大值，此时；
当时，时取最大值，此时；
当时，时取最大值，此时．
综上所述：的最小值为．
故答案为：．
根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，分、及三种情况考虑，利用二次函数的性质结合的取值范围即可找出的取值范围，取其最小值即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分、及三种情况考虑是解题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次取出的小球颜色相同的结果有种，
两次取出的小球颜色相同的概率为． 

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次取出的小球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设榕榕骑自行车的速度为千米小时，则榕榕乘车的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：榕榕骑自行车的速度为千米小时． 

【解析】设榕榕骑自行车的速度为千米小时，则榕榕乘车的速度为千米小时，利用时间路程速度，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示：
 

【解析】根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：，，，
，
，
又，．
≌． 

【解析】根据圆周角定理可得，进而得到，再有同圆的半径相等得出，，进而得出两个三角形全等．
本题考查圆周角定理，全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法以及圆周角定理是正确解答的前提．
 

20.【答案】     

【解析】解：这队运动员共有人，
体重的平均数为：千克，
把数据按从小到大的顺序排序：
，，，，，，，，，，，
中位数为．
故答案为：，，；
，
，
人数不超；
，总重不超．
可以安全搭乘这部电梯．
根据平均数和中位数的定义分析计算即可；
根据人数和体重的千克数进行判断即可．
本题考查了平均数以及中位数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的计算方法．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象可得，
从甲地前往乙地时，李老师的车速为：千米小时，
故答案为：；
设李老师从乙地返回甲地过程中与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即李老师从乙地返回甲地过程中与的函数关系式为；
设甲地与收费站之间的路程为千米，
由题意可得：，
解得，
即甲地与收费站之间的路程为千米，
故答案为：．
根据函数图象中的数据，可以计算出从甲地前往乙地时，李老师的车速；
先设出李老师从乙地返回甲地过程中与的函数关系式，然后根据点，在该函数图象上，即可求得该函数的解析式；
先设出甲地与收费站之间的路程，然后根据函数图象中的数据，即可计算出甲地与收费站之间的路程．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】   

【解析】【分析解决】证明：，点为的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
，
，

，
，
，
，
，
；
【变式探究】解：仍然成立．
，点为的中点，
，
，
，
，

，
，
，
，
；

【结论应用】解：如图中，，，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【分析解决】利用等角对等边证明即可；
【变式探究】仍然成立．证明，可得结论；
【结论应用】利用三角形内角和定理求出，再求出，利用三角形的外角的性质求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
．
在中，根据勾股定理得：．
故答案为：．
如图，作于点．

 分别以、为底表示的面积两式相等，可得：；
．
正方形与重叠部分图形随着的变化而变化．
如图，当点与点重合时，正方形与重叠部分图形，由四边形变为五边形．

，
，
此时：．
如图：当经过点时，正方形与重叠部分图形，由五边形变为四边形．

，
；
，，
．
此时，，即，
解得：．
如图：当与重合时，正方形与重叠部分图形，由四边形变为三角形．

此时，．
综上：的取值范围为：，．
由可知时，经过点时；
另外当在上时，也会出现，如图．

，；
，
∽∽．
：：：：：：，即：：：：：：：；
得：．
；
．
故B时的值为：．
等腰三角形中三线合一，用勾股定理可求．
构造含有的直角三角形，按定义求解．
观察运动过程中图形的变化，求出图形发生变化时的时间分界点，确定的取值范围．
因，若，则在直线上，这是个特殊位置，画图求解．
本题第一、二问考查勾股定理及直角三角形相关知识；第三问的关键是找到图形变化的时间邻界点，再用相似、三角函数等知识求解．
 

24.【答案】   

【解析】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，．
当时，，，
点的坐标是，点的坐标是．
故答案为：，．

抛物线经过点，点，
依题得，
解得．
．

，
作轴于点，交直线于点，
设点横坐标为，
，
，
则，
抛物线上，，，，，
．
．
．
当时，四边形面积最大值为．
四边形面积最大值为．

如图：
，
点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
当点在抛物线上时，，
解得．
当点在抛物线上时，，
解得或．
当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标．用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点，恰好在抛物线上时的值，从而得到的取值范围．
此题是基础题型，不规则图形的面积利用割补法是难点．图形的旋转结合坐标特征，比较新颖，培养学生综合代数几何的综合运用能力．