试卷 2021年江苏省盐城市东台市第五教育联盟中考数学第一次质检试卷

这是一份试卷 2021年江苏省盐城市东台市第五教育联盟中考数学第一次质检试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省盐城市东台市第五教育联盟中考数学第一次质检试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）下列标志是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a•a4＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a2＝a3
5．（3分）2019年10月1日国庆阅兵式上首次亮相了我国自主研发的洲际导弹“东风41号”，它的射程可以达到12000公里，数字12000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×103 B．1.2×104 C．12×103 D．0.12×104
6．（3分）中学篮球队13名队员的年龄情况如下，则这个队队员年龄的众数和中位数为（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
3
2
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
7．（3分）一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）
A．36 πcm2 B．24πcm2 C．18πcm2 D．12 πcm2
8．（3分）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）一组数1、2、3、4、5的方差是S12与另一组数3、4、5、6、7的方差S22的大小比较S12　 　S22（填写：大于、等于、小于）．
10．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　 　．

11．（3分）分解因式：3x2﹣3y2＝　 　．
12．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是　 　．
14．（3分）抛物线经过坐标系（﹣1，0）和（0，3）两点，对称轴x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝　 　．

16．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是　 　．

三、解答题（本大题共有12小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
18．（6分）解分式方程：+1＝．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
20．（8分）小涵和小悦商定来玩一种“摸字组词”游戏．一个不透明的口袋里装有分别标有“奋”“发”“图”“强”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀再摸球．如果摸一次同时取出2个球上的汉字恰能组成“奋发”或“图强”则小涵赢，否则小悦赢．
（1）用列表或树状图列出摸字的所有可能出现的情况．
（2）请判断该“摸字组词”游戏对小涵和小悦双方是否公平？并说明理由．
21．（8分）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

22．（10分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

23．（10分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生1800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
24．（10分）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
25．（10分）如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AB＝20，sin∠EBA＝0.6，求CF的长．

26．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．

27．（14分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2时，则S1•S2＝　 　；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1•S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．


2021年江苏省盐城市东台市第五教育联盟中考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣的倒数是﹣3．
故选：C．
2．（3分）下列标志是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看下层是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a•a4＝a5 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a2＝a3
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：a2+a2＝2a2，故选项A不合题意；
a•a4＝a5，故选项B符合题意；
（a3）2＝a6，故选项C不合题意；
a6÷a2＝a4，故选项D不合题意．
故选：B．
5．（3分）2019年10月1日国庆阅兵式上首次亮相了我国自主研发的洲际导弹“东风41号”，它的射程可以达到12000公里，数字12000用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×103 B．1.2×104 C．12×103 D．0.12×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将12000用科学记数法表示为：1.2×104．
故选：B．
6．（3分）中学篮球队13名队员的年龄情况如下，则这个队队员年龄的众数和中位数为（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
3
2
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
【分析】根据中位数、众数的意义进行解答即可．
【解答】解：这13名队员的年龄出现次数最多的是15岁，共出现4次，因此年龄的众数是15岁；
将这13名队员的年龄从小到大排列后，处在中间位置的一个数是16岁，因此中位数是16岁，
故选：C．
7．（3分）一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）
A．36 πcm2 B．24πcm2 C．18πcm2 D．12 πcm2
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，
所以这个圆锥的侧面积＝×6×2π×3＝18π（cm2）．
故选：C．
8．（3分）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在将（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）进行适当的变形，即可求出结果．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）
＝（1+2017α+α2+2α）（1+2017β+β2+2β）
＝4αβ
＝4，
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）一组数1、2、3、4、5的方差是S12与另一组数3、4、5、6、7的方差S22的大小比较S12　等于　S22（填写：大于、等于、小于）．
【分析】由第2组数据是在第1组数据的基础上每个数据都加上2的知第2组数据的波动性与第1组数据的波动性相同，从而得出答案．
【解答】解：由题意知，第2组数据是在第1组数据的基础上每个数据都加上2的，
∴第2组数据的波动性与第1组数据的波动性相同，即S12＝S22，
故答案为：等于．
10．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　　．

【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值＝＝，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是；
故答案为：．
11．（3分）分解因式：3x2﹣3y2＝　3（x+y）（x﹣y）　．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
12．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥6　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则x﹣6≥0，
解得：x≥6．
故答案为：x≥6．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是　（0，﹣3）　．
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣3，
∴抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是：（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
14．（3分）抛物线经过坐标系（﹣1，0）和（0，3）两点，对称轴x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是　x＜﹣1或x＞3　．

【分析】函数的对称轴为x＝1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣1，0），则抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），进而求解．
【解答】解：∵函数的对称轴为x＝1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图象，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝　25°　．

【分析】根据平行线的性质得到＝，得到∠PBC＝∠PCB，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴＝，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵∠APB＝50°，
∴∠PBC＝25°，
故答案为：25°．
16．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是　3.5　．

【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三、解答题（本大题共有12小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．
18．（6分）解分式方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3+x2﹣x＝x2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
20．（8分）小涵和小悦商定来玩一种“摸字组词”游戏．一个不透明的口袋里装有分别标有“奋”“发”“图”“强”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀再摸球．如果摸一次同时取出2个球上的汉字恰能组成“奋发”或“图强”则小涵赢，否则小悦赢．
（1）用列表或树状图列出摸字的所有可能出现的情况．
（2）请判断该“摸字组词”游戏对小涵和小悦双方是否公平？并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；
（2）根据概率公式先求出小涵赢的概率，从而得出小悦赢的概率，然后进行比较，即可得出游戏对小涵和小悦双方是不公平的．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：

根据树状图可得：共有12种等情况数；

（2）∵共有12种等情况数，其中两个球上的汉字恰能组成“奋发”或“图强”的有4种，
∴小涵赢的概率是＝，
∴小悦赢的概率是．
∵＜，
∴游戏对小涵和小悦双方是不公平的．
21．（8分）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

【分析】（1）将点A坐标代入y＝可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC＝2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y＝，得：m＝8，
则反比例函数解析式为y＝，
当x＝﹣4时，y＝﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝x+2；

（2）由题意知BC＝2，
则△ACB的面积＝×2×6＝6．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC＝DA，结合AD∥BC，从而可得，∠ACB＝∠DAC，根据AAS证出△ABE≌△CDF，从而得出BE＝DF．
（2）证得BE∥DF且BE＝DF即可证得四边形BEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．

（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
23．（10分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生1800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
（3）用该校的总人数乘以在线阅读所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90（人），
在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全统计图如下：


（2）扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝96°．

（3）根据题意得：
1800×＝480（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生人数有480人．
24．（10分）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润1932元”即可得到结论；
（3）根据题意得到w＝﹣（x﹣35）2+2112.5，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝﹣x+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（30+x）（﹣x+50）＝1932，
解得：x1＝54，x2＝16，
∵每件利润不能超过50元，
∴x＝16，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元；
（3）根据题意得，w＝（30+x）（﹣x+50）＝﹣x2+35x+1500＝﹣（x﹣35）2+2112.5，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜35时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大＝2000，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元．
25．（10分）如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AB＝20，sin∠EBA＝0.6，求CF的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C＝∠AEB＝90°，求得∠D＝∠AFD，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBF，求得∠DAB＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠CBF＝∠CAE＝∠EBA，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝∠AEB＝90°，
∵DE＝FE，
∴AD＝AF，
∴∠D＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFC，
∴∠D＝∠BFC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBF，
∴∠CBF+∠BFC＝∠ABD+∠D＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：∵∠CBF＝∠CAE＝∠EBA，
∴sin∠EBA＝sin∠CBF＝sin∠CAE＝＝0.6，
∵AB＝20，
∴AE＝12，
∵＝0.6，AF2＝AE2+EF2，
∴AF2＝122+（0.6AF）2，
∴AF＝15，
∴EF＝9，
∵BE＝＝＝16，
∴BF＝BE﹣EF＝16﹣9＝7，
∵＝0.6，
∴CF＝0.6×7＝4.2．

26．（12分）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段AD上从点A至点D运动，同时动点Q在线段AC上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．

【分析】（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式；
（2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论；
②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可．
【解答】解：（1）∵A，C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴的交点，
在一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（0，3），C（3，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴OC＝OB＝3，B（﹣3，0），
∵四边形ABCD能构成平行四边形，
∴AD＝BC＝6，D（6，3），
∵点B、D在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴，解得b＝﹣，c＝﹣17，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣17；
（2）①设运动时间是t秒，则AQ＝AC﹣CQ＝3﹣t，AP＝t，
∵A（0，3），C（3，0），∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝45°，
若△APQ是直角三角形，则△APQ是等腰直角三角形，
分两种情况：
（一）∠APC＝90°，如答图1：

∴AQ＝AP，
∴3﹣t＝t，解得t＝6﹣3，
∴P（6﹣3，3），
（二）∠AQP＝90°，如答图2：

∴AP＝AQ，
∴t＝（3﹣t），解得t＝6﹣6，
∴P（6﹣6，3），
综上所述，当△APQ是直角三角形时，P的坐标是（6﹣3，3）或（6﹣6，3），
（3）过Q作QM⊥AD于M，如答图3：

∵A（0，3），B（﹣3，0），C（3，0），ABCD是平行四边形，
∴S△ACD＝S△ABC＝×6×3＝9，
而CM＝AC•sin45°＝（3﹣t）•＝3﹣t，
∴S△APQ＝×t×（3﹣t）＝﹣t2+t，
∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△APQ＝9﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+9，
当t＝＝时，S四边形PDCQ最小为，
此时P（，3）．
27．（14分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2时，则S1•S2＝　12　；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1•S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．

【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1＝•22＝，S2＝•（4）2＝4，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM＝x，BN＝y．首先证明△AMD∽△BDN，可得＝，推出＝，推出xy＝8，由S1＝•AD•AM•sin60°＝x，S2＝DB•BN•sin60°＝y，可得S1•S2＝x•y＝xy＝12；
（3）Ⅰ如图3中，设AM＝x，BN＝y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab，由S1＝•AD•AM•sinα＝axsinα，S2＝DB•BN•sinα＝bysinα，可得S1•S2＝（ab）2sin2α．
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
【解答】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°，
∵DE∥BC，∠EDF＝60°，
∴∠BND＝∠EDF＝60°，
∴∠BDN＝∠ADM＝60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S1＝•22＝，S2＝•（4）2＝4，
∴S1•S2＝12，
故答案为12．

（2）如图2中，设AM＝x，BN＝y．

∵∠MDB＝∠MDN+∠NDB＝∠A+∠AMD，∠MDN＝∠A，
∴∠AMD＝∠NDB，∵∠A＝∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴＝，
∴＝，
∴xy＝8，
∵S1＝•AD•AM•sin60°＝x，S2＝DB•BN•sin60°＝y，
∴S1•S2＝x•y＝xy＝12．

（3）Ⅰ如图3中，设AM＝x，BN＝y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab，
∵S1＝•AD•AM•sinα＝axsinα，S2＝DB•BN•sinα＝bysinα，
∴S1•S2＝（ab）2sin2α．

Ⅱ如图4中，设AM＝x，BN＝y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy＝ab，
∵S1＝•AD•AM•sinα＝axsinα，S2＝DB•BN•sinα＝bysinα，
∴S1•S2＝（ab）2sin2α．