试卷 2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试卷

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2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试卷
一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分，每小题只有一个正确选项)
1．（3分）已知＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）有下列图形：
①正三角形；②平行四边形；③矩形；④等腰三角形．
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②④ B．③ C．③④ D．②④
4．（3分）若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣3＝0有实数根，则字母k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
7．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过bA，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（　　）

A．R≥0 B．R≥a C．0＜R≤a D．0＜R≤b
8．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（　　）

A．4 B．3 C．3.5 D．2.5
9．（3分）如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4π+8 B．4π﹣8 C．8π D．8π+8
10．（3分）如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象，上，第二象限内的点B在反比例函数y＝k≠0）的图象上，且OA⊥OB，sinA＝，则k的值为　　）

A．﹣ B．﹣4 C．﹣ D．﹣3
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11．（3分）若关于x的方程x2+2mx+n＝0的一个根为1，则代数式2m+n的值为　 　．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是　 　．

13．（3分）已知a，b（a≠b）取﹣2，﹣1，1中的任意一个值，则直线y＝ax+b经过第二象限的概率是　 　．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣2，0），B（0，2），⊙O（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　 　．

三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16．（8分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
17．（9分）某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．
（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是　 　．
（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．
18．（9分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接写出关于x的不等式ax+b﹣＜0的解集为　 　．

19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若EB＝6，CD＝20，求⊙O的直径．

20．（9分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A'B'O，记旋转角为α．
（1）如图1，当α＝30°时，求点B'的坐标．
（2）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图2，当α＝90°时，求点M的坐标．

21．（10分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

22．（10分）（1）如图1，在等边△ABC中，M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边向右作等边△AMN，连接CN．求证：BM＝CN．
[类比探究]
（2）如图2，在等边△ABC中，M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图3，在等腰OABC中，BA＝BC，CM＝2BM，连接AM，以AM为边向右作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连接CN，请直接写出CN与AC之间的数量关系．

23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．
①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．


2021年河南省安阳市安阳县中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分，每小题只有一个正确选项)
1．（3分）已知＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】因为已知＝，所以可以设：a＝2k，则b＝3k，将其代入分式即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
∴＝＝，
故选：A．
2．（3分）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层右边有1个正方形，第二层最有3个正方形．
故选：C．
3．（3分）有下列图形：
①正三角形；②平行四边形；③矩形；④等腰三角形．
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．①②④ B．③ C．③④ D．②④
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：正三角形和等腰三形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：B．
4．（3分）若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±
【分析】利用二次函数定义可得m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，
解得：m＝3，
故选：C．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣3＝0有实数根，则字母k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【分析】一元二次方程首先二次项系数不为0，其次有实根的条件是△≥0，列出不等式即可求解．
【解答】解：∵kx2﹣2x﹣3＝0有实根，
∴k≠0且△≥0，
即（﹣2）2﹣4k•（﹣3）≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
故选：D．
7．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过bA，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（　　）

A．R≥0 B．R≥a C．0＜R≤a D．0＜R≤b
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过bA列不等式，结合图象求出结论．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（a，b）代入得：k＝ab，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤b时，则≤b，
∴R≥a，
故选：B．
8．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（　　）

A．4 B．3 C．3.5 D．2.5
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断；
【解答】解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝4，
在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，
∴OM＝＝＝3．
∴3≤OP＜5，
故选：D．

9．（3分）如图，半圆O的直径AB＝8，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4π+8 B．4π﹣8 C．8π D．8π+8
【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由已知可得，AB＝8，∠OBO′＝45°，
弓形PB的面积是：﹣＝4π﹣8，
阴影部分的面积是：﹣（4π﹣8）＝8π﹣4π+8＝4π+8，
故选：A．
10．（3分）如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象，上，第二象限内的点B在反比例函数y＝k≠0）的图象上，且OA⊥OB，sinA＝，则k的值为　　）

A．﹣ B．﹣4 C．﹣ D．﹣3
【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝，再根据sinA＝＝，设OB＝m，AB＝3m，利用勾股定理求得OA＝m，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝，所以•|k|＝，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×1＝，
在Rt△AOB中，sinA＝＝，
∴设OB＝m，AB＝3m，
∴OA＝＝m，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△OBC＝2S△AOD＝，
∴•|k|＝，
而k＜0，
∴k＝﹣．
故选：A．

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11．（3分）若关于x的方程x2+2mx+n＝0的一个根为1，则代数式2m+n的值为　﹣1　．
【分析】把x＝1代入已知方程，通过移项求得代数式2m+n的值．
【解答】解：把x＝1代入x2+2mx+n＝0，得1+2m+n＝0，
解得2m+n＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是　（9，9）　．

【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形OAC为正方形，点A的坐标为（6，0），
∴点B的坐标为（6，6），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴点E的坐标是（6×，6×），即（9，9），
故答案为：（9，9）．
13．（3分）已知a，b（a≠b）取﹣2，﹣1，1中的任意一个值，则直线y＝ax+b经过第二象限的概率是　　．
【分析】先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数y＝kx+b的图象经过第二象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限的有（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣2）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（1，2）共7种情况，
∴函数y＝kx+b的图象经过二象限的概率为，
故答案为：．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　x1＝﹣2，x2＝5　．
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣2，0），B（0，2），⊙O（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　　．

【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短，由勾股定理求解即可．
【解答】解：连接OP、OQ，如图：
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝OA＝4，
∴OP＝AB＝2，
∴PQ＝＝＝，
故答案为：．

三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16．（8分）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】此题可以采用配方法：首先将常数项3移到方程的左边，然后再在方程两边同时加上4，即可达到配方的目的，继而求得答案；
此题也可采用公式法：注意求根公式为把x＝，解题时首先要找准a，b，c；
此题可以采用因式分解法，利用十字相乘法分解因式即可达到降幂的目的．
【解答】解法一：移项得 x2﹣4x＝﹣3，（1分）
配方得 x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，（2分）
即 x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1，（3分）
∴x1＝3，x2＝1；（5分）

解法二：∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，（1分）
∴，（3分）
∴x1＝3，x2＝1；（5分）

解法三：原方程可化为 （x﹣1）（x﹣3）＝0，（1分）
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，（3分）
∴x1＝1，x2＝3．（5分）
17．（9分）某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．
（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是　　．
（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，
∴杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率为＝．
18．（9分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接写出关于x的不等式ax+b﹣＜0的解集为　0＜x＜2或x＞4　．

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，

∵点B（4，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵B（4，2），
∴EN＝2，
∵BD⊥y轴，OC＝CA，
∴AE＝EN＝AN，
∴AN＝4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（2，4），
∴4a+b＝2，2a+b＝4，
∴a＝﹣1 b＝6，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）观察函数图象知，不等式ax+b﹣＜0的解集为：0＜x＜2或x＞4，
故答案为：0＜x＜2或x＞4．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若EB＝6，CD＝20，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【解答】（1）证明；∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣EB＝R﹣6，
CE＝CD＝×20＝10，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣6）2+102，
解得R＝．
答：⊙O的直径为．

20．（9分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），把△ABO绕原点O顺时针旋转，得到△A'B'O，记旋转角为α．
（1）如图1，当α＝30°时，求点B'的坐标．
（2）设直线AA'与直线BB′相交于点M，如图2，当α＝90°时，求点M的坐标．

【分析】（1）记A′B′与x轴交于点H．只要求出OH，B′H即可解决问题；
（2）作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题；
【解答】解：（1）记A′B′与x轴交于点H．

∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′•cos30°＝，B′H＝OB′•cos30°＝，
∴B′（，）．

（2）∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，

∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝，
∴MN＝AN＝，ON＝，
∴M（，）．
21．（10分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝，求出即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26． 解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．

（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，
解得x＝，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．

22．（10分）（1）如图1，在等边△ABC中，M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边向右作等边△AMN，连接CN．求证：BM＝CN．
[类比探究]
（2）如图2，在等边△ABC中，M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图3，在等腰OABC中，BA＝BC，CM＝2BM，连接AM，以AM为边向右作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，连接CN，请直接写出CN与AC之间的数量关系．

【分析】（1）根据等边三角形的性质可证明△ABM≌△ACN，可证得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由条件可证明△ABC∽△AMN，再证明△ABM∽△ACN，利用相似三角形的性质可求得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴BM＝CN；
（2）解：成立，理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠CAM＝∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴BM＝CN；
（3）AC＝3CN．
理由如下：
∵AB＝BC，AM＝MN，
∴，
∵∠AMN＝∠ABC，
∴△ABC∽△AMN，
∴，即，
∵∠AMN＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴，
又∵CM＝2BM，
∴AB＝BC＝3BM，
∴AC＝3CN．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．
①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别令x＝0和y＝0代入y＝x+2中可得点A和点B的坐标．
（2）利用待定系数法求抛物线的函数解析式；
（3）①过点D作DF⊥x轴于G，交AB于点F，证明△DFE∽△OBE，设点D（m，﹣+2），F（m，m+2），根据相似三角形性质建立方程求解即可；
②过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，先证明∠DBH＝∠HBA＝∠BAC，然后设点D（m，﹣+2），应用三角函数定义建立方程求解．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0时，x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）；
（2）把A（﹣4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（3）①如图1，过点D作DF⊥x轴于G，交AB于点F，设点D（m，﹣+2），F（m，m+2），
∴DF＝﹣+2﹣（m+2）＝﹣﹣2m，
∵DF⊥x轴，
∴∠DGA＝∠BOA＝90°，
∴DF∥OB，
∴△DFE∽△OBE，
∴＝，
∵DE：OE＝3：4，
∴＝＝，即：＝，
∴﹣m2﹣4m＝3，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣3，
∵点D为直线AB上方抛物线上的点，
∴D的坐标为（﹣1，3）或（﹣3，2）；
②存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC，理由如下：
如图2，过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，
∴∠BAC＝∠HBA，
∵∠DBA＝2∠BAC，
∴∠DBH＝∠HBA＝∠BAC，
在Rt△AOB中，OB＝2，OA＝4，
∴tan∠DBH＝tan∠BAC＝＝，
∴tan∠DBH＝＝，
设点D（m，﹣+2），则DN＝﹣，BN＝﹣m，
∴＝，
解得：m＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）；
∴存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC，此时点D（﹣2，3）．