试卷 2021年陕西师大附中中考数学二模试卷

这是一份试卷 2021年陕西师大附中中考数学二模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西师大附中中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣7
3．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
4．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差为S，乙10次成绩的方差为S，根据折线图判断下列结论中正确的是（　　）

A．S＞S B．S＜S
C．S＝S D．无法判断
5．（3分）下列整式运算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）若点M（1，2）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x+k的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣
8．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）

A． B． C．2 D．4
9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．4
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）分解因式：m3﹣m＝　 　．
12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为　 　．

13．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝（k＜0）的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，且△AOD的面积为1，则k的值为　 　．

14．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为　 　．

三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|﹣2|．
16．（5分）
17．（5分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC＝∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：AB＝AC．

19．（7分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
b
7
八年级
a
8
c
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

20．（7分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．

21．（7分）小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中的线段AB所示，在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示．
（1）小芳骑行的速度为　 　km/h，小亮骑行的速度为　 　km/h；
（2）求线段DE所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人出发后1.5h两人之间的距离．

22．（7分）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小芳先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小亮再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后将小球放回瓶中．
（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，求这15次中摸出标有数字5的球的频率；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小芳贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小亮赢，此游戏公平吗？请说明理由．

23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点D，＝2，连接AE，DE．
（1）求证：∠ADC＝∠E；
（2）若sinC＝，BD＝6，求AE的长．

24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点C是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题探究：
（1）如图1，已知△ABC中，BC＝6，∠A＝120°，则△ABC面积的最大值＝　 　．
（2）如图2，已知△ABC中，AB＝4，∠BAC＝105°，∠C＝45°，D为边BC的中点，求△ABD的面积．
问题解决：
（3）如图3，某市打算在一处空地规划一个正方形的大型新兴商业区ABCD，Q是AD边上的正门，且DQ＝3AQ，E、F分别为AB边上的两个安全出口，且AF＝BE，其中BD与CE的交点G是服务台，DF与AG的交点P是母婴室．按相关政策规定正门距母婴室的距离QP不超过50m，试求在符合政策规定的前提下，亲子区域即△ADP面积的最大值．


2021年陕西师大附中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000009＝9×10﹣8．
故选：C．
3．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
【分析】由平行线的性质得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得三角形ACD是直角三角形，进而得出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
4．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差为S，乙10次成绩的方差为S，根据折线图判断下列结论中正确的是（　　）

A．S＞S B．S＜S
C．S＝S D．无法判断
【分析】利用折线统计图可判断乙运动员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得乙运动员的成绩波动较大，所以S＞S．
故选：A．
5．（3分）下列整式运算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
【分析】直接利用合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项错误；
C、（﹣a3b）2＝a6b2，故此选项正确；
D、a2b3÷a＝ab3，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】过点A作AE⊥BC,垂足为E．根据等腰三角形的性质先求出DE，再在直角△ABE中求出BE,求BE与DE的差可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC,垂足为E．
∵AD＝AC,AE⊥BC,
∴DE＝CE＝DC＝2．
在Rt△ABE中，
∵AB＝10，cos∠ABC＝，
又∵cos∠ABC＝,
∴BE＝6．
∴BD＝BE﹣DE＝6﹣2＝4．
故选：C．

7．（3分）若点M（1，2）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x+k的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】根据M的坐标可得它关于y轴对称点的坐标（﹣1，2），再把（﹣1，2）代入关系式可得k的值．
【解答】解：M（1，2）关于y轴的对称点是（﹣1，2），
把（﹣1，2）代入可得：2＝﹣（3k+2）+k，
解得：k＝﹣2．
故选：A．
8．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）

A． B． C．2 D．4
【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
由折叠得，∠EFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝5，
由折叠得，
FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．4
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中

∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．

10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）分解因式：m3﹣m＝　m（m+1）（m﹣1）　．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：m3﹣m，
＝m（m2﹣1），
＝m（m+1）（m﹣1）．
故答案为：m（m+1）（m﹣1）．
12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为　6　．

【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，由扇形面积公式可求得正六边形的边长，过F作FH⊥AE于H，解Rt△AFH即可求得AH，进而得到AE．
【解答】解：设正六边形的边长为r，
正六边形的内角为＝120°，
∵阴影部分的面积为24π，
∴＝24π，
解得r＝6，
则正六边形的边长为6，
连接AE，过F作FH⊥AE于H，
∵FA＝FE，
∴∠AFH＝AFE＝60°，AH＝EH，
∴AH＝AF•sin60°＝6×＝3，
∴AE＝6，
故答案为：6．

13．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝（k＜0）的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，且△AOD的面积为1，则k的值为　﹣　．

【分析】首先过点C作CH⊥x轴，根据相似得到△OCM的面积，然后根据等积变形得到四边形DBHM的面积，然后根据相似得到△OBD的面积，最后根据k的几何意义即可得到结果．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴，交OD于M，
∵AB⊥x轴，
∴CH∥AB，
∴△OCM∽△AOD，
∵OC＝2AC，
∴，
∴，
又∵△AOD的面积为1，
∴，
∵△OCH与△OBD的公共部分为△OMH，
∴S△OCM＝S四边形BHMD，
∵CH∥AB，
∴△OMH∽△OBD，
∴，
∴，
∴S△OBD＝，
∴根据k的几何意义和函数过第二象限可得，
k＝﹣．
故答案为：﹣．


14．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为　或　．

【分析】分两种情况画出图形，如图1，连接BD，证明△ADB≌△AEC，求得∠BDC＝90°，在Rt△BDC中利用勾股定理求出BD长度，最后利用三角形中位线性质求解FG长度，如图2，同理可求出BD的长，则可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD，

∵∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，
∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，
∴DE＝2，BC＝3．
设BD＝x，则DC＝2+x，
在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，
∴x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．
∵点F、G分别为DE、BE的中点，
∴FG＝BD＝．

如图2，同理，设BD＝CE＝a，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴＝18，
解得a＝（舍去），a＝+，
∴FG＝BD＝，
故答案为：或．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|﹣2|．
【分析】根据二次根式的乘法法则、负整数指数幂和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式＝﹣﹣2﹣（﹣2）
＝﹣2﹣2﹣+2
＝﹣3．
16．（5分）
【分析】直接将括号里面通分，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝×
＝．
17．（5分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC＝∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】先在直线m上截取CD＝CA，则AD平分∠BAC，再截取DP＝AB，则证明BP∥AD，所以∠BPC＝∠BAC，然后以B点为圆心，BP为半径画弧交直线m于P′，则∠BP′C＝∠BAC．
【解答】解：如图，点P、P′为所作．

18．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：AB＝AC．

【分析】先证△BDF≌△CEF，得到BF＝CF，由全等三角形的性质得到∠FBC＝∠FCB，进而得出∠ABC＝∠ACB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AC．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABE+∠FBC＝∠ACD+∠FCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
19．（7分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
b
7
八年级
a
8
c
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝　7.5　，b＝　7　，c＝　7.5　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法求解即可得出a、b、c的值；
（2）从中位数、众数的角度调查结论即可；
（3）求出七、八年级的总体合格率即可．
【解答】解：（1）a＝＝7.5（分），
七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即b＝7；
八年级学生成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5（分），因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即c＝7.5；
故答案为：7.5，7，7.5；
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由为：八年级的学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高；
（3）1100×＝990（人），
答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格大约有990人．
20．（7分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．

【分析】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可．
【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
即，
∴CD＝，
由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，
∴△BCG∽△EDG，
∴，
即，
∴6.5BC＝4（CD+6.5），
∴6.5BC＝4×，
∴BC＝14，
∴这座建筑物的高BC为14米．
21．（7分）小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中的线段AB所示，在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示．
（1）小芳骑行的速度为　16　km/h，小亮骑行的速度为　20　km/h；
（2）求线段DE所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人出发后1.5h两人之间的距离．

【分析】（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解；
（2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小亮从甲地到乙地的时间，点E纵坐标为小芳这个时间段走的路程，根据D，E的坐标即可求解；
（3）根据1≤1.5≤1.8以及（2）中求得的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：小芳速度＝＝16（km/h），
设小亮速度为xkm/h，
由题意得：1×（16+x）＝36，
∴x＝20，
答：小亮的速度为20km/h，小芳的速度为16km/h；
故答案为：16，20；
（2）由图象可得：点E表示小亮到了甲地，此时小芳没到，
∴点E的横坐标＝＝，
点E的纵坐标＝×16＝，
∴点E（，），
，设线段DE所表示的函数关系式为：s＝kt+b，
将D（1，0），E（，）代入得：
，解得：，
∴线段DE所表示的函数关系式为：s＝36t﹣36，
∵小亮速度较快，
∴相遇后小亮前往甲地的时间为：＝0.8（h），
∴自变量的取值范围为：1≤t≤1.8；
（3）∵t＝1.5，1≤1.5≤1.8，
∴t＝1.5时，s＝36×1.5﹣36＝18（km），
答：两人出发后1.5h两人之间的距离是18km．
22．（7分）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小芳先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小亮再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后将小球放回瓶中．
（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，求这15次中摸出标有数字5的球的频率；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小芳贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小亮赢，此游戏公平吗？请说明理由．

【分析】（1）由频率公式求解即可；
（2）画树状图，求出小芳贏的概率＝小亮赢＝，即可得出结论．
【解答】解：（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，这15次中摸出标有数字5的球的频率为＝；
（2）此游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种等可能的结果，即（2，1）（2，3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；
得到的两数字之和是3的倍数的有3个，得到的两数字之和是7的倍数有3个，
∴小芳贏的概率＝小亮赢＝＝，
∴此游戏公平．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点D，＝2，连接AE，DE．
（1）求证：∠ADC＝∠E；
（2）若sinC＝，BD＝6，求AE的长．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和圆周角定理即可证明结论；
（2）根据sinC＝，BD＝6，设OD＝x，则OC＝3x，证明△ADC∽△DBC对应边成比例可得AD的长，根据勾股定理可得AB的长，根据＝2，AB是直径，可得∠BAE＝30°，利用特殊角三角函数值即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵CD与⊙O相切与点D，
∴∠CDO＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ADC＝∠OBD，
∵∠OBD＝∠E，
∴∠ADC＝∠E；
（2）解：在Rt△COD中，sinC＝＝，
设OD＝x，则OC＝3x，
∴CD＝＝2x，
∴AC＝OC﹣OA＝OC﹣OD＝3x﹣x＝2x，
∴BC＝AC+AB＝2x+2x＝4x，
∵∠ADC＝∠E，∠E＝∠B，
∴∠ADC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴＝，
∵BD＝6，
∴＝，
∴AD＝3，
∴AB＝＝＝3，
连接BE，

∵＝2，AB是直径，
∴∠BAE＝30°，
∴AE＝AB•cos30°＝3×＝．
答：AE的长为．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点C是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分BC为矩形的边、矩形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得
，
解得 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；

（2）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，
故点C（﹣1，﹣4）．
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为矩形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，
故点E（﹣3，﹣4+）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为矩形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．

25．（12分）问题探究：
（1）如图1，已知△ABC中，BC＝6，∠A＝120°，则△ABC面积的最大值＝　3　．
（2）如图2，已知△ABC中，AB＝4，∠BAC＝105°，∠C＝45°，D为边BC的中点，求△ABD的面积．
问题解决：
（3）如图3，某市打算在一处空地规划一个正方形的大型新兴商业区ABCD，Q是AD边上的正门，且DQ＝3AQ，E、F分别为AB边上的两个安全出口，且AF＝BE，其中BD与CE的交点G是服务台，DF与AG的交点P是母婴室．按相关政策规定正门距母婴室的距离QP不超过50m，试求在符合政策规定的前提下，亲子区域即△ADP面积的最大值．

【分析】（1）如图1中，作△ABC的外接圆⊙O，过点O作OH⊥BC于H，交⊙O于D，A′，连接OB，DB＝DC，A′B，A′C．求出HA′，当点A与点A′重合时，△ABC的面积最大．
（2）如图2中，过点A作AT⊥BC于T，解直角三角形求出BD，AT，即可解决问题．
（3）证明∠APD＝90°，推出点P在以AD为直径的圆上运动，因为QP不超过50m，推出PQ⊥AD时，△APD的面积最大，利用相似三角形的性质求出AQ，QD可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，作△ABC的外接圆⊙O，过点O作OH⊥BC于H，交⊙O于D，A′，连接OB，DB＝DC，A′B，A′C．

∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴DB＝DC，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠OBH＝∠OBD＝∠DBC＝30°，
∴OH＝BH•tan30°＝，OB＝OA′＝2OH＝2，
∴A′H＝，
∵点A的运动轨迹是，
∴当点A与点A′重合时，△ABC的面积最大，最大值＝×6×＝3．
故答案为：3．

（2）如图2中，过点A作AT⊥BC于T．

∵∠ATC＝∠ATB＝90°，∠C＝45°，
∴∠TAC＝∠C＝45°，
∴AT＝TC，
∵∠BAC＝105°，
∴∠BAT＝60°，∠B＝30°，
∴AT＝TC＝AB＝2，BT＝AT＝2，
∴BC＝2+2，
∵BD＝DC，
∴BD＝+1，
∴S△ABD＝•BD•AT＝+1．

（3）如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠ABG＝∠CBG＝45°，∠DAF＝∠CBE＝90°，
∵AF＝BE，
∴△DAF≌△CBE（SAS），
∴∠ADF＝∠BCE，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∴∠BAG＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠BAG+∠AFD＝90°，
∴∠APF＝∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
∵QP不超过50m，
∴PQ⊥AD时，△APD的面积最大，
∵∠APQ+∠DPQ＝90°，∠DPQ+∠PDQ＝90°，
∴∠APQ＝∠PDQ，
∵∠AQP＝∠PQD＝90°，
∴△PQA∽△DQP，
∴＝，
∴502＝AQ•DQ，
∵DQ＝3AQ，
∴AQ＝（m），DA＝50（m），
∴△ADP面积的最大值＝×（+50）×50＝（m2）．