第三章　三角恒等变换(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于(　　)

A．0        B.        C.        D．1

2．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为π的偶函数

3．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于(　　)

A.        B．7        C．－        D．－7

4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)

A．[－π，－]           B．[－，－]

C．[－，0]              D．[－，0]

5．化简：的结果为(　　)

A．1        B.        C.        D．tan θ

6．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于(　　)

A．3－cos 2x        B．3－sin 2x

C．3＋cos 2x        D．3＋sin 2x

7．若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a等于(　　)

A．1        B.        C．2        D．3

8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)

A．[－，]        B．[－＋，＋]

C．[－，]        D．[－－，－]

9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于(　　)

A．－        B.        C．－        D.

10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为(　　)

A．±4        B．4        C．－4        D．1

11．若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为(　　)

A．7x＋24y＝0        B．7x－24y＝0

C．24x＋7y＝0        D．24x－7y＝0

12．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ的值为(　　)

A．－        B．－        C.        D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．

14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.

15．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________.

16．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．

(1)求的值；

(2)求cos(2α－)的值．

18．(12分)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；

(3)求函数f(x)的单调增区间．

19．(12分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

20．(12分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．

(1)求角B；

(2)求sin(B＋θ)．

21．(12分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.

(1)求ω的值；

(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．

22．(12分)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．

(1)求φ的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．

第三章　三角恒等变换(B)

答案

1．D　[原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]

2．D　[f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)＝－cos 2x，

∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]

3．A　[∵α∈(，π)，sin α＝，∴cos α＝－，

tan α＝＝－.∴tan(α＋)＝＝＝.]

4．D　[f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．

令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

令k＝0得－≤x≤.

由此可得[－，0]符合题意．]

5．B　[原式＝＝＝sin 60°＝.]

6．C　[f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，

∴f(x)＝2x2＋2，

∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.]

7．B　[f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)＝sin(x＋)－acos(＋x)＝sin(x＋－φ)

∴f()＝sin ＋asin ＝a＋＝.

解得a＝.]

8．B　[y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，

∵x∈R，

∴－1≤sin(2x－)≤1，

∴y∈[－＋，＋]．

9．B　[∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.

cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝

＝＝＝.]

10．C　[3cos(2α＋β)＋5cos β

＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，

∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，

∴tan(α＋β)tan α＝－4.]

11．D　[cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，∴tan θ＝＝＝.

∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]

12．D　[∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0.

∴tan θ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．

∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x.

∵f(x)在[－，0]上为减函数，

∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝.]

13.

解析　∵f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin 4x  ∴T＝＝.

14．1

解析　∵sin αcos β＝1，

∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，

∴cos α＝sin β＝0.

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.

15.

解析　cos β＝－，sin β＝，

sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，

故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－)×(－)＋×＝.

16．1

解析　令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，

∴y＝sin α＋cos(α＋30°)

＝sin α＋cos αcos  30°－sin αsin 30°

＝sin α＋cos α

＝sin(α＋60°)．

∴ymax＝1.

17．解　(1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.

＝＝－.

(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－.

cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.

18．解　(1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )

＝2sin(2x＋)．

∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.

当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.

(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

19．解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，

|a＋b|＝＝＝2|cos x|，

∵x∈[－，]，∴cos x>0，

∴|a＋b|＝2cos x.

(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.

∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，

∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.

20．解　(1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.

又B为△ABC的内角，∴B＝60°.

(2)∵cos θ＝＝－，∴sin θ＝.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.

21．解　(1)由题意，得m·n＝0，所以

f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.

根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.

又ω>0，所以ω＝.

(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，

所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝.

解得cos α＝.

因为α是第一象限角，故sin α＝.

所以＝＝＝＝－.

22．解　(1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，

所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ

＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ

＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)

＝cos(2x－φ)．

又函数图象过点(，)，

所以＝cos(2×－φ)，

即cos(－φ)＝1，

又0<φ<π，所以φ＝.

(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，

因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，

因此4x－∈[－，]，

故－≤cos(4x－)≤1.

所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.