模块综合检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知sin α＝，则cos 2α的值为(　　)

A．－        B．－        C.        D.

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于(　　)

A．－10        B．－6        C．0        D．6

3．设cos(α＋π)＝(π<α<)，那么sin(2π－α)的值为(　　)

A.        B.        C．－        D．－

4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)

A．－        B.        C.        D．－

5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)

A．y＝sin　　　　B．y＝sin

C．y＝sin         D．y＝sin

6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

7．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|等于(　　)

A．－2或0        B．2

C．2或2        D．2或10

8．函数f(x)＝sin2－sin2是(　　)

A．周期为π的偶函数         B．周期为π的奇函数

C．周期为2π的偶函数        D．周期为2π的奇函数

9．把函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象，则g等于(　　)

A．－        B.        C．－1        D．1

10．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－，]，则|a＋b|的取值范围是(　　)

A．[0，]          B．[0，)

C．[1,2]              D．[，2]

11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)

A.         B.

C.        D.

12．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于(　　)

A.        B．－        C.        D．－

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.

14．已知α为第二象限的角，sin α＝，则tan 2α＝________.

15．当0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是________．

16. 如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

①＋＝2；

②＝2＋2；

③·＝·；

④(·)＝(·)．

其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知0<x<，化简：lg(cos x·tan x＋1－2sin2)＋lg[cos(x－)]－lg(1＋sin 2x)．

18．(12分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求tanθ的值；

(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

19．(12分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P点的坐标为(－，)．

(1)求的值；

(2)若·＝0，求sin(α＋β)．

20．(12分)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b＋.

(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；

(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．

21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的解析式；

(3)若f(α＋)＝，求sin α.

22．(12分)已知a＝(cos ωx，sin ωx)，b＝(2cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，x∈R，ω>0，记f(x)＝a·b，且该函数的最小正周期是.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

模块综合检测(B)

答案

1．C　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝.]

2．A　[∵a∥b，∴1×(－4)－2x＝0，x＝－2.∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，

∴a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.]

3．A　[∵cos(α＋π)＝－cos α＝，∴cos α＝－，∵π<α<，∴α＝，

∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin π＝.]

4．A　[tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.]

5．B　[∵T＝π，∴ω＝＝2，排除C、D.把x＝分别代入A、B，知B选项函数y＝sin(2x－)取到最大值1，故选B.]

6．A　[∵cos α＝－，α是第三象限角．∴sin α＝－，∴sin(α＋)＝(sin α＋cos α)＝－.]

7．D　[∵a·b＝2x＋3－x2＝0.∴x1＝－1或x2＝3.a－b＝(－2x－2,2x)．当x＝－1时，a－b＝(0，－2)，|a－b|＝2；当x＝3时，a－b＝(－8,6)，则|a－b|＝10.]

8．B　[f(x)＝sin2－sin2＝sin2(x＋)－cos2(＋x)＝－cos＝sin 2x.

∴T＝π，且f(－x)＝－f(x)，奇函数．]

9．D　[f(x)＝sin(－2x＋)向右平移个单位后，图象对应函数解析式为f(x－)＝sin[－2(x－)＋]＝sin(－2x＋π)＝sin 2x.∴g(x)＝sin 2x，g()＝sin ＝1.]

10．D　[|a＋b|＝＝.

∵θ∈[－，]，∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．]

11．B　[Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.

∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．∴≤〈a，b〉≤π.]

12．D　[f(x)＝2[cos(3x－θ)－sin(3x－θ)]＝2cos(3x－θ＋)．

若f(x)为奇函数，则－θ＋＝kπ＋，k∈Z，∴θ＝－kπ－，k∈Z.∴tan θ＝－tan(kπ＋)＝－.]

13．0

解析　∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.

14．－

解析　由于α为第二象限的角，且sin α＝，

∴cos α＝－.

∴tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝－＝－.

15．k≤1

解析　设t＝，0≤x≤1，

则x＝，0≤t≤，

则sin t≥t在0≤t≤上恒成立．

设y＝sin t，y＝t，图象如图所示．

需y＝sin t在上的图象在函数y＝t的图象的上方，∴·≤1，∴k≤1.

16．①②④

解析　在正六边形ABCDEF中，＋＝＋＝＝2，①正确；

设正六边形的中心为O，则2＋2＝2(＋)＝2＝，②正确；

易知向量和在上的投影不相等，即≠.∴·≠·，③不正确；

∵＝－2，

∴(·)＝(·)⇔(·)＝－2(·)⇔·＝－2·

⇔·(＋2)＝0.∵＋2＝－＝0，∴·(＋2)＝0成立．

从而④正确．

17．解　∴0<x<，∴原式＝lg(cos x·＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)

＝lg(sin x＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)

＝lg(sin x＋cos x)2－lg(1＋sin 2x)

＝lg(1＋sin 2x)－lg(1＋sin 2x)＝0.

18．解　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.

(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，

于是sin＝－.又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.

19．解　(1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，

∴原式＝＝＝2cos2α＝2·(－)2＝.

(2)∵·＝0，∴α－β＝，

∴β＝α－，

∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，

cos β＝cos(α－)＝sin α＝.

∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋(－)×＝.

20．解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋

＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋

＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．

所以f(x)的最小正周期为π.

令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，∴x＝＋，k∈Z.

故所求对称中心的坐标为(＋，0)，(k∈Z)．

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－，1]．

21．解　(1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝，

即f(x)的最小正周期为.

(2)∵当x＝时，f(x)有最大值4，∴A＝4.

∴4＝4sin，∴sin＝1.

即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∵0<φ<π，∴φ＝.

∴f(x)＝4sin.

(3)∵f＝4sin＝4sin＝4cos 2α.

由f＝，得4cos 2α＝，∴cos 2α＝，

∴sin2α＝(1－cos 2α)＝，

∴sin α＝±. 

22．解　(1)f(x)＝a·b＝cos ωx·(2cos ωx＋sin ωx)＋sin ωx·cos ωx

＝2cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＝2·＋sin 2ωx

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1

＝sin(2ωx＋)＋1.

∴f(x)＝sin(2ωx＋)＋1，其中x∈R，ω>0.

∵函数f(x)的最小正周期是，可得＝，

∴ω＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝sin(8x＋)＋1.

当8x＋＝＋2kπ，

即x＝＋(k∈Z)时，sin(8x＋)取得最大值1，

∴函数f(x)的最大值是1＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．