高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步达标检测题

专题强化练6　三角恒等变换

一、选择题

1.(2019浙江高一期末,★★☆)在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

2.(2018福建龙岩六校高一下期中,★★☆)已知cos+cos α=,则sin的值为(　　)

A.- B. C.- D.

3.(2019江西高三期末,★★☆)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x,给出下列四个结论:

①函数f(x)的最小正周期是2π;

②函数f(x)的图象关于直线x=对称;

③函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位得到.

其中正确结论的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

4.(2018河南名校联盟高三上期中,★★☆)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若有且仅有两个不同的实数x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=f(x2)=2,则实数ω的值不可能为(　　)

A.π B.3π C.π D.π

5.(2018四川资阳高三诊断,★★☆)若函数f(x)=asin x+cos x在上为单调函数,则实数a的取值范围是　(　　)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]

C.[1,+∞) D.[-1,1]

6.(2020湖南长郡中学高一上期末,★★☆)如图,圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆,若P,Q是圆O上的两个动点,则·的最小值为(　　)

A.-6 B.-3-2 C.-3- D.-4

二、填空题

7.(2019甘肃兰州一中高一下期末,★★☆)在平面直角坐标系中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若cos α=,则cos(α-β)=　　　　. 

8.(2020广东惠州高三调研,★★☆)函数f(x)=sin x+cos x在[0,π]上的单调递减区间为　　　　. 

9.(2019广东东莞高一下期末,★★☆)已知y=sin θ+2cos θ,且θ∈(0,π),则当y取得最大值时,sin θ=　　　　. 

三、解答题

10.(2020湖北武昌高一上期末,★★☆)(1)求4cos 50°-tan 40°的值;

(2)已知3tan α=-2tanα+,求cos2α+的值.

11.(2019云南云天化中学高一期末,★★☆)已知函数f(x)=cos xsin-cos2x+,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若f +f =,且α∈,求α的值.

答案全解全析

专题强化练6　三角恒等变换

一、选择题

1.A　∵A+B+C=π,∴cos2=+cos C=+cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B,

∴sin Asin B=-cos Acos B+sin A·sin B,∴cos(A-B)=1.∵0<A<π,0<B<π,

∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B,∴△ABC为等腰三角形.无法判断∠C是不是直角,故选A.

2.C　由cosα-+cos α=,

得cos α+sin α+cos α=,

即sin α+cos α=,

∴sinα+=,

∴sinα+=-sinα+=-.

3.B　由题意得,f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x+cos 2x-1=sin-1,则T==π,故①不正确;将x=代入y=sin2x+,y取得最大值,所以直线x=是f(x)图象的对称轴,故②正确;将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位得到函数y=sin2x+-1的图象,得不到函数f(x)的图象,故③不正确.故只有1个结论正确,故选B.

4.D　函数f(x)=sin ωx+cos ωx

=2sinωx+.

由x∈[0,1],可得ωx+∈.

因为有且仅有两个不同的实数x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=f(x2)=2,

所以在[0,1]上f(x)有且仅有两个最大值,

所以≤ω+<,

所以≤ω<.

所以实数ω的值不可能为,故选D.

5.A　令a=,则f(x)=sin x+cos x

=2sin x+cos x=2sinx+,

当x∈时,x+∈,

f(x)单调递增,即a=符合题意,排除B,D.令a=-,则f(x)=-sin x+cos x=2-sin x+cos x=2cosx+,当x∈-,时,x+∈,,f(x)单调递减,即a=-符合题意,排除C,故选A.

6.B　以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则P,Q在以O为圆心的单位圆上.

设P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),

又A(-1,-1),C(1,1),

∴=(cos α+1,sin α+1),=(cos β-1,sin β-1).

∴·=(cos α+1)·(cos β-1)+(sin α+1)·(sin β-1)

=cos αcos β+cos β-cos α-1+sin αsin β+sin β-sin α-1

=(cos αcos β+sin αsin β)+(sin β+cos β)-(sin α+cos α)-2

=cos(α-β)+sinβ+-sinα+-2.

当cos(α-β)=-1,sinβ+=-1,且sinα+=1时,·有最小值,

此时α-β=(2k+1)π,β=π+2kπ,且α=+2kπ(k∈Z).

∴·能取到最小值-3-2,故选B.

二、填空题

7.答案　-

解析　由题意有cos β=cos α,sin β=-sin α,

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos2α-sin2α=2cos2α-1=-1=-.

8.答案　,π

解析　由题意得f(x)=2sin x+cos x=2sinx+,令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,因为x∈[0,π],所以函数的单调递减区间为,π.

9.答案　

解析　令y=sin θ+2cos θ=sin(θ+φ),其中tan φ=2.

当y取得最大值时,θ+φ=2kπ+,k∈Z,

则φ=2kπ+-θ,k∈Z,

所以tan2kπ+-θ=2,k∈Z,

即tan-θ=2,

∴=2,∴tan θ=.

∵θ∈(0,π),∴sin θ=.

三、解答题

10.解析　(1)4cos 50°-tan 40°

=

=

=

=

==.

(2)因为3tan α=-,所以tan α=2或tan α=-.

cos2α+=(cos 2α-sin 2α)

=·

=·.

将tan α=-或tan α=2分别代入上式,得cos2α+=±.

11.解析　(1)f(x)=cos x·sin-cos2x+=cos x-cos2x+=sin xcos x+cos2x-cos2x+=sin 2x-+=sin 2x-cos 2x=sin,

∴f(x)的最小正周期T=π.

(2)∵f+f=,

∴sin α-cos α=,

∴sin=,

∴sin=.

∵α∈,

∴<α-<,∴α-=,∴α=.