试卷 山西省晋中市祁县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

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山西省晋中市祁县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________  一、单选题1．下列几何体中，三种视图完全相同的是（    ）A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．五棱柱2．下列一元二次方程没有实数根的是（    ）A． B． C． D．3．在中，，则的值是（    ）A． B．2 C． D．4．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ）A． B． C． D．5．反比例函数图象上有三个点，其中，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．6．同一坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能为（    ）A． B． C． D．7．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．A．2 B．3 C．4 D．58．如图，已知，那么下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．9．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ）A．12 B．10 C．8 D．610．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）其中正确结论的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题11．把二次函数的图象向左平移1个单位后经过点，则平移后所得到的抛物线表达式是________．12．顶点的坐标分别为，以坐标原点O为位似中心，画出放大的，使得它与的位似比等于2∶1，则点C的对应点坐标为________．13．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝32°，则∠AEO的度数____．14．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝6m，已知木箱高BE＝，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为_____m．15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D，双曲线y=(x＞0)经过C、D两点，双曲线y= (x＞0)经过点B，则平行四边形OABC的面积为________． 三、解答题16．（1）计算：（2）解方程：17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．18．为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．测量数据BC＝60m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°．BD＝20m，∠ABH＝70°，∠BCD＝35°．BC＝101m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）19．如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，分别交于点D，E，．（1）求证：；（2）若，求的长．20．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？21．阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形内接于．求证：下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作，交于点E．∵∴（依据1）∴（依据2）∴∴∵∴∵∴即∴∴∴∴任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：____________________________________________．依据2：____________________________________________．（2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长．22．综合与实践﹣四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．（1）请直接写出CG的长是______．（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．      23．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 
参考答案1．A【分析】球无论从哪个方向看，得到的视图都是相同的，而其它几个几何体，可通过分别画出它们的三视图即可作出判断．【详解】解：球的三种视图都是圆形，圆柱的三种视图分别是长方形、长方形、圆，圆锥的三种视图分别是三角形、三角形、含圆心的圆，五棱柱的三种视图分别是长方形（内含棱线）、长方形（内含棱线）、五边形，因此三种视图完全相同的只有球，故选：Ａ．【点睛】本题考查了三视图的概念以及对一些常见几何体的认识，要求学生能正确理解相关概念和了解相关几何体的特征，同时考查了学生对图形的感知能力和想象能力．2．A【分析】先看方程是否是一般式，再利用判别式计算值，是否大于0即可．【详解】A、，△=1-4=-3<0，无实根，故选AB、，△=1+4=5>0,有实根C、，△=4+4=8>0，有实根D、，△=4-4=0，有等根．故选择：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程在一般式的情况下，会利用判别式识别方程是否有根是关键．3．A【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义解答即可．【详解】解：由勾股定理得，，则，故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角B的对边b与邻边a的比叫做∠B的正切．4．B【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得．故选：B．【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．5．D【分析】根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．【详解】解：∵k>0，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，又∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且，∴0＜y3＜y2，∵A（x1，y1）在第四象限，∵y1＜0，∴．故选：D．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．6．D【分析】分k＞0和k＜0，结合两个函数的图象特征分类讨论即可．【详解】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、 三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在原点的下方，四个选项都不符合；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、 四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在原点的上方，只有D选项符合，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图象，熟练掌握两个函数的图象特征是解题的关键．7．B【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【详解】∵AD∥BE∥CF，∴，，故A、D、C错误，B正确，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．9．C【分析】根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．【详解】解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，∵DE=CF=2，∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．10．C【分析】由抛物线的对称轴为： 可得①不符合题；由抛物线的顶点为： 可得 把代入可得②符合题意；由抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点与之间，结合图像可得：当时，＜ 可得③符合题意；由抛物线的顶点坐标为，图像开口向下，当时，函数值最大，此时 当时， 可得④符合题意；从而可得答案．【详解】解：由抛物线的对称轴为： 故①不符合题；由抛物线的顶点为： 故②符合题意； 抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在点与之间，结合图像可得：当时，＜ 故③符合题意； 抛物线的顶点坐标为，图像开口向下， 当时，函数值最大，此时 当时， 故④符合题意；故选：【点睛】本题考查的是抛物线的各项系数与代数式的值的关系，二次函数的图像与性质，掌握利用二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（或）【分析】根据平移规律得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，然后将点（0，2）代入列出方程求得a的值即可．【详解】解：把二次函数y=ax2的图象向左平移1个单位后得到新抛物线解析式为y=a（x+1）2，将点（0，2）代入，得a（0+1）2=2，解得：a=2．所以该抛物线解析式是y=2（x+1）2，故答案为：y=2（x+1）2（或）．【点睛】主要考查了函数图象的平移，二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．12．或【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】解：如图所示：
 以坐标原点O为位似中心，放大的△A1B1C1，它与△ABC的位似比等于2: 1，点C的坐标为(3，-4)∴点C的对应点C1坐标为(3×2，-4×2) 或(-3×2，4×2)即(6，-8)或(-6，8)，故答案为: (6，-8)或(-6，8)．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．13．48°；【分析】可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【详解】∵，∠COD=32°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°-84°）=48°．故答案为48°．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．14．【分析】设AB、EF交于点D，在Rt△BDE中，利用三角函数即可求得DE的长，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得DF的长，继而即可求解．【详解】解：设AB、EF交于点D，∵∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°， 在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴，解得，DE＝2（m），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝5（m），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝（m），∴EF＝DE+DF＝（m），故答案为：．【点睛】本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．15．6【分析】根据平行四边形的性质得到，设的坐标是，得到的坐标是，的纵坐标是求得，把代入得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：平行四边形的对角线交于点，，设的坐标是，的坐标是，的纵坐标是，把代入得：，即的横坐标是：，，平行四边形的面积点的纵坐标，故答案为：6．【点睛】本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，根据点的坐标表示出的长度是解题的关键．16．（1）0；（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先整理原方程，再根据方程特点，可选用公式法或因式分解法解此一元二次方程．【详解】（1）解：原式；（2）解：原方程可化为：，方法一：这里，∴．∴，∴．方法二：，∴或，∴．本题考查特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法步骤并灵活运用是解答的关键．17．（1）；（2）.【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．【点睛】本题考查的知识点是概率的求法，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．18．（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键．19．（1）见解析；（2）【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CAE=∠BAE，∠AEB=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABC=∠C，然后根据等腰三角形的判定得到结论；（2）证明△CAE∽△CBD，然后利用相似比可求出CD的长．【详解】（1）证明：连接∵，∴，∵为直径，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴∵∴∵，∴，∴，∵∴∴【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．20．（1）20%；（2）销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元【分析】（1）设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得到关于x的一元二次方程，解得x的值，并根据问题的实际意义作出取舍即可；（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质解题．【详解】（1）设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意，得，解得：，（舍去）．答：平均每年的增长率为．（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得：∴当时，．答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，其中涉及配方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2）【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．（2）首先证明，由托勒密定理，构建方程求出即可．【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角对应相等的两个三角形相似．故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似．（2）∵为的直径，∴，∵点D为的中点，∴，∴，∴在中，∵∴在中，∵∴，∴【点睛】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．22．5【分析】（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，作FP⊥AD于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；（3）成立．连接AG、AC．只要证明△ADF∽△ACG，可得 即可解决问题；（4）在图4中，通过计算即可解决问题；【详解】（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，GH=DF=4，CH=DH=AE=3，∴CG= =5．故答案为：5．（2）如图2中，作FP⊥AD于P．在矩形AEGF中，∵AE=3，EG=4，∴AG=5，BG=AB-AG=1，在Rt△CBG中，CG= ，由△APF∽△AEG，可得 ，∴ ，∴AP= ，PF= ，DP=AD﹣AP=8﹣，在Rt△PDF中，DF= ，∴DF=CG．（3）成立．理由如下：连接AG、AC．由旋转可知：∠DAF=∠CAG，由勾股定理可知：AC=，AG=5，∵ ，，∴，∴△ADF∽△ACG，∴，∴DF=CG．（4）如图4中，延长EG交CD于H，作CK⊥GH于K．由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，∴DF=GH=4，DH=FG=AE=3，CH=3，∠CHG=∠D=60°，在Rt△CHK中，HK=，CK=，GK=GH﹣KH=，在Rt△CGK中，CG= ，∴CG=DF．在图5中，连接AG、AC．同法可证：△ACG∽△ADF，可得：=，可得CG=DF．【点睛】本题考查了四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形是解题关键23．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点E的坐标为（，），S△ABF＝；（3）存在，P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，．．．8分∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝；（3）存在，∵y＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x=1，设P（1，m），分三种情况：①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，解得：m=8，∴P（1，8）；②点A为直角顶点时，由勾股定理得：∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4﹣1）2+（m﹣52，解得：m=﹣2，∴P（1，﹣2）；③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（1+1）2+m2=（4+1）2+52，解得：m=6或m=﹣1，∴P（1，6）或P（1，﹣1）综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．