2021年山西省朔州市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山西省朔州市九年级上学期数学期中试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(   )
A.                   B.                   C.                   D. 
2.以下方程中，关于x的一元二次方程是〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
3.将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是〔    〕
A.               B.               C.               D. 
4.， ， 是抛物线 上的三点，那么 ， ， 的大小关系为〔　　〕
A.                      B.                      C.                      D. 
5.函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a〔a≠0〕在同一坐标系中的图象可能是〔　　〕
A.                                            B. 
C.                                             D. 
6.如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，那么∠BAE等于〔   〕

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°
7.设 、 、 是 三边，并且关于 的方程 有两个相等的实数根，判断 的形状，正确的结论是〔    〕
A. 等腰三角形                      B. 直角三角形                      C. 等腰直角三角形                      D. 正三角形
8.如图，四边形 内接于 ，假设 ，那么 的度数为〔    〕

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
9.如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于 ，抛物线的对称轴为直线 ，那么以下结论中：① ；②方程 的解为-1和3；③ ；④ ，其中正确的结论有〔    〕

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
10.欧几里得的?原本?记载，形如 的方程的图解法是：画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 .那么该方程的一个正根是〔   〕

A. 的长                            B. 的长                            C. 的长                            D. 的长
二、填空题
11.如果关于x的二次函数 与x轴只有1个交点，那么 ________.
12.假设 ，那么 ________．
13.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为 ，为保护廊桥的平安，在该抛物线上距水面 高为8米的点 ， 处要安装两盏警示灯，那么这两盏灯的水平距离 是________米．

14.如图，半径为5的圆O中，AB、DE是互相垂直的两条弦，垂足为P ， 且AB＝ED＝8，那么OP＝________．

15.如图，在 中， ， ， 为 边上的高，动点 在 上，从点 出发，沿 方向运动，设 ， 的面积为 ，矩形 的面积为 ， ，那么y与x的关系式是________．

三、解答题
16.  
〔1〕解方程：
〔2〕解方程： ．
17.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如下列图．

〔1〕作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1 ．
〔2〕将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2 ．
〔3〕在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标〔不写解答过程，直接写出结果〕
18.关于x的方程x2+mx+m-2=0.
〔1〕假设此方程的一个根为1,求m的值；
〔2〕求证：不管m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
19.抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)．
〔1〕一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是________；
〔2〕一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是________；
〔3〕假设抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式．
20.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？假设病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
21.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF ， 这种模型属于“半角模型〞中的一类，在解决“半角模型〞问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF〞，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．

〔1〕延长CB到点G ， 使BG＝________，连接AG；
〔2〕证明：EF＝BE＋DF
22.2021年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，假设售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：
〔1〕用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；
〔2〕王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
〔3〕当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
23.在平面直角坐标系中，抛物线经过A〔－4，0〕，B〔0，－4〕，C〔2，0〕三点．

〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕假设点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
〔3〕假设点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形.
2.【答案】 D
【解析】【解答】A、为二元二次方程，故不符合题意；
B、为分式方程，故不符合题意；
C、可能为一元一次方程，也可能为一元二次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D．

【分析】一元二次方程指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】由题意，得平移后的抛物线为 ，
故答案为：B．
【分析】易得到新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数及顶点式得新抛物线解析式。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵函数的解析式是 ，如图，

∴对称轴是 ，
∴点A关于对称轴的点 是 ，
那么点 、 、 都在对称轴的右边，而对称轴右边 随 的增大而减小，
于是 ．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、由二次函数的图象可知 ，故一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故错误；
B、由二次函数的图象可知 ，故一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故错误；
C、由二次函数的图象可知 ，故一次函数的图象应该经过一、三、四象限，再由当y=0时，一次函数与二次函数交于一点，故错误；
D、由二次函数的图象可知 ，一次函数经过一、二、四象限，且当y=0和x=0时，一次函数的图象与二次函数的图象都有公共交点，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数与一次函数图象与系数的关系进行排除选项即可.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
应选：C．
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，那么根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
7.【答案】 B
【解析】【解答】由题可得： ，
整理得： ，
满足勾股定理的逆定理，那么 为直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据根的判别式得出△， 化简后得出， 根据勾股定理的逆定理得出即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】根据圆周角定理可得，∠BCD= ∠BOD=50°，
又由圆的内接四边形性质可知，∠C+∠A=180°，
∴∠DAB=180°-50°=130°，
故答案为：D．

【分析】由圆周角定理知，， 由圆内接四边形的对角互补知，。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b ， 故①选项符合题意；②由对称轴为x＝1，一个交点为(﹣1，0)，
∴另一个交点为(3，0)，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故②选项符合题意；③由对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a ， 那么2a+b＝0，故③选项符合题意；④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于(0，2)，
∴c＝2，
∵a＜0，
∴b＝﹣2a 0，
，
故④选项符合题意；
故答案为：D ．

【分析】首先用待定系数法求出二次函数关系式，得出a、b、c的值，进而对各项进行判断即可得到结论。
10.【答案】 B
【解析】【解答】用求根公式求得：
∵  
∴  
∴  
AD的长就是方程的正根.
故答案为：B.
【分析】利用公式法求出方程的两根，根据勾股定理求出AB的长，由AD=AB-BD，可得AD的长，结合方程的根进行判断即可.
二、填空题
11.【答案】 1
【解析】【解答】解：二次函数与x轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等的实数根
二次函数与x轴有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根
二次函数与x轴无交点 一元二次方程没有实数根
因此 有两个相等的实数根
即
解得k=1
故答案为：1.
【分析】由二次函数 与x轴有一个交点可知方程 有两个相等的实数根，故其根的判别式的值应该等于0，从而列出关于k方程，求解即可.
12.【答案】 9
【解析】【解答】由题可得： ，
∴ ，
得： ，
∴ ，
故答案为：9．

【分析】等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值。
13.【答案】
【解析】【解答】由题，E、F两点是关于y轴对称，纵坐标都为8，代入解析式，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．

【分析】令， 即， 求出x值，进而求解。
14.【答案】
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M ， ON⊥DE于N ， 连接OB ， OD ，

由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝ ＝3，
∵弦AB、DE互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M ， ON⊥DE于N ，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON ，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝ OM＝3 ，
故答案为：3 ．

【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥DE于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，再根据判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长。
15.【答案】
【解析】【解答】在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴AD=BD=DC=
设 ，
∴PD= ，
∵矩形 ，由于DF在BC上，
∴PE∥DC，
∴∠AEP=∠C=∠DAC=45º，
∴PE=AP=x，
S1= ，
S2= ，
∴ ，
．
故答案为： ．

【分析】根据题意可以得到AP、PD、DE的长，从而得到y与x的函数关系式，即可解决。
三、解答题
16.【答案】 〔1〕解： ，
或 ，
， ；

〔2〕解： ．
，
，
或 ，
， ．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法求解即可；〔2〕先展开，再利用十字相乘法求解即可。
17.【答案】 〔1〕解：解；作图如下列图，可得


〔2〕解：解；作图如下列图，可得


〔3〕解：P点坐标为：〔 ，0〕。
【解析】【分析】〔1〕延长AC到A1 ， 使得AC=A1C1 ， 延长BC到B1 ， 使得BC=B1C1 ， 即可得出图象。
〔2〕根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2。
〔3〕作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2 ， 交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可。
18.【答案】 〔1〕解：根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，
得：1+m+m﹣2=0，
解得：m=

〔2〕证明：∵△=m2﹣4×1×〔m﹣2〕=m2﹣4m+8=〔m﹣2〕2+4＞0，
∴不管m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】〔1〕由题意把x=1代入一元二次方程可得关于m的方程，解这个方程即可求解；
〔2〕一元二次方程的根的判别式：①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。由根的判别式可知，先计算b2-4ac的值，用完全平方式配方，根据平方的非负性即可判断求解。
 
19.【答案】 〔1〕－1，3
〔2〕－1＜x＜3
〔3〕解：∵抛物线经过点A〔﹣1，0〕，∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a ，
∴﹣ =﹣3a﹣a=﹣4a ．
∵抛物线的顶点坐标〔1，﹣4a〕在直线y=2x上，
∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣ ，∴c=﹣3a=3× = ，
∴二次函数的解析式为：y=﹣ x2+x+ ．
【解析】【解答】解：〔1〕根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x= ．
∵点A〔﹣1，0〕，∴点B的坐标为〔3，0〕，
∴一元二次方程的解为：﹣1，3；
故答案为﹣1，3；〔2〕∵二次函数与y轴正半轴交于点C ，
∴抛物线的开口向下，
∴当ax2﹣2ax+c＞0时，不等式的解集为：﹣1＜x＜3；
故答案为﹣1＜x＜3；
【分析】〔1〕根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可；〔2〕根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集；〔3〕根据抛物线经过点A ， 将其代入，用含a的式子表示出c ， 求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可．
20.【答案】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，那么经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感染．由于729>700，所以假设病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
【解析】【分析】根据题意可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，那么经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得=81,解方程即可求解。
21.【答案】 〔1〕DF
〔2〕证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中

∴△ADF≌△ABG〔SAS〕，
∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠GAB+∠EAB=45°，
∴∠GAE=∠EAF =45°，
在△AGE和△AFE中0

∴△ADF≌△ABG〔SAS〕，
∴GE=EF，
∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【解析】【解答】解：〔1〕根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；

【分析】〔1)利用旋转的性质，可得BG=DF，即可得到答案；(2)证明△AGE≌△AFE〔SAS〕即可。
22.【答案】 〔1〕解：设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=180﹣10〔x﹣12〕=﹣10x+300〔12≤x≤30〕．
〔2〕解：设王大伯获得的利润为W，那么W=〔x﹣10〕y=  -102+400x-3000，令W=840，那么  -102+400x-3000 =840，解得：  x1=16， x2 =24．
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．

〔3〕解：∵W=﹣10x2+400x﹣3000=  ﹣10(x-20)2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
【解析】【分析】〔1〕设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，假设售价每提高1元，销售量就会减少10个〞，即可得出y关于x的函数关系式；〔2〕设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量〞，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；〔3〕利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=  ﹣10(x-20)2+1000 ，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
23.【答案】 〔1〕解：设此抛物线的函数解析式为： ，
将 ， ， 三点代入函数解析式得：
，
解得 ，
所以此函数解析式为： ；

〔2〕解：∵ 点的横坐标为 ，且点 在这条抛物线上，
∴ 点的坐标为： ，
∴




∵ ，
当 时， 有最大值为： ．
答： 时 有最大值 ．

〔3〕解：设 ．
当 为边时，根据平行四边形的性质知 ，且 ，
∴ 的横坐标等于 的横坐标，
又∵直线的解析式为 ，那么 ．
由 ，得 ，
解得 ， ， ．〔 不合题意，舍去〕
如图，当 为对角线时，知 与 应该重合， ．

四边形 为平行四边形那么 ， 横坐标为4，
代入 得出 为 ．
由此可得 或 或 或 ．
【解析】【分析】〔1〕根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的二根式方程，将B坐标带入即可确定出解析式；
〔2〕过M作x轴⊥MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可。