2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第10讲一元二次方程

这是一份2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第10讲一元二次方程，共13页。试卷主要包含了一元二次方程的有关定义，一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的应用等内容，欢迎下载使用。
第10讲　一元二次方程课标要求(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．(2)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．(3)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．(4)了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个关系解决其他问题)．(5)能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.考情分析　　该内容主要是以选择题、填空题、应用题的形式来考查，分值为3～11分．主要考点为一元二次方程的解、根与系数关系、根的判别式、一元二次方程的应用．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议加强理解定义，熟记公式，掌握方法与灵活运用，并加以练习巩固.一、一元二次方程的有关定义1. 一元二次方程的概念：只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式方程就是一元二次方程．2. 一般表达式：________________，其中________是二次项，________叫二次项系数；________是一次项，________叫一次项系数，________是常数项．二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．3. 一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的________的值，就是一元二次方程的解．二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法：适用于能化为x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．2. 配方法：即把一元二次方程配成(x－m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法．3. 公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．4. 因式分解法：即把一元二次方程变形为m(x＋a)(x＋b)＝0的形式，则x＋a＝0或x＋b＝0，那么方程的两个根为x＝－a或x＝－b.三、根的判别式当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根．四、根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2＝________.五、一元二次方程的应用列一元二次方程解实际问题，方程的解通常有两个，需检验解是否符合实际情况.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,　　　　　　　　　　　　　　　一元二次方程的解与解一元二次方程 (2014·百色，第7小题，3分)已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(　　)A．2  B．0C．0或2  D．0或－2【思路点拨】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．  (2018·梧州，第20小题，6分)解方程：2x2－4x－30＝0.【思路点拨】利用因式分解法解方程．小结解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点灵活运用各种方法，如例题应用因式分解法较简单. 解方程：(1)x2＋3x＋1＝0.(公式法)(2)x2－4x＋1＝0.(配方法)         ,　　　　　　　　　　　　　　　根与系数的关系 (2018·贵港，第6小题，3分)已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)A．3  B．1  C．－10  D．－3【思路点拨】根据根与系数的关系有α＋β＝－1，αβ＝－2.∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1. (2020·北部湾经济区，第6小题，3分) 一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是(　　)A．有两个不等的实数根　　　　 　  B．有两个相等的实数根C．无实数根　　　 　  D．无法确定　　　　　　　　　　　　　根的判别式 (2020·玉林，第21小题，8分) 已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求－的值．【思路点拨】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系，a＋b＝－2，ab＝－k，把－化成只含a＋b、ab的式子，再将a＋b、ab的值代入即可． 小结熟记一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.  (2017·玉林、崇左，第21小题，6分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．      一元二次方程的应用 (2019·贺州，第23小题，8分)2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3 600元．(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；(2)若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？小结一元二次方程的应用，解题的关键是从题目中找到相关的等量关系并列出方程求解，求出解后根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.  (2015·南宁，第24小题，7分)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a米．(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时甬道的宽．  
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)A．x2＋＝0  B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1  D．3x2－2xy－5y2＝02. (2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为(　　)A．0  B．±1  C．1  D．－13. 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝94. 一元二次方程x2－x＋＝0的根是(　　)A．x1＝，x2＝－  B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝－  D．x1＝x2＝5. (2020·牡丹江)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　　)A．k＜  B．k≤C．k＞4  D．k≤且k≠06. 一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是(　　)A．有两个相等的实数根  B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根  D．无实数根7. (2019·贵港)若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两实根，且＋＝－，则m等于(　　)A．－2  B．－3  C．2  D．38. (2019·丹东)等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是(　　)A．8  B．9  C．8或9  D．129. (2020·威海)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为        _．10. (2020·抚顺)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0无实数根，则k的取值范围是________．11. (2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为________．12. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为______________．13. 某种药品原价为100元，经过连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是________．14. 解方程：(1)2x2－7x＋6＝0；   (2)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.    15. (2019·贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年均增长率；(2)经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？  16. (2020·重庆A卷)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究，去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21 600元．(1)求A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%，由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%，求a的值．  第10讲　一元二次方程【基础梳理】一、1.一个　2　2.ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　ax2　a　bx　b　c　3.未知数四、－　【重点突破】[例1]A[例2]解：方程两边同时除以2，得x2－2x－15＝0.因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0.解得x1＝5，x2＝－3.[变式1](1)解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝.∴x1＝，x2＝.(2)解：移项得，x2－4x＝－1，配方得，x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3.由此可得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－.[例3]B　[变式2]B[例4]解：(1)∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝4＋4k＞0，解得k＞－1.(2)∵方程的两个不相等的实数根分别是a，b，∴a＋b＝－2，ab＝－k.∴－＝＝＝＝＝＝1.[变式3](1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0.解得：t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．[例5]解：(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x.依题意，得：2 500(1＋x)2＝3 600.解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.(2)3 600×(1＋20%)＝4 320(元).4 320＞4 200.答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元．[变式4]解：(1)由图可知，S花圃＝(40－2a)(60－2a)．(2)根据题意，得：60×40－(40－2a)(60－2a)＝×60×40，解得：a1＝5，a2＝45(舍去)．答：此时甬道的宽为5米．【达标检测】1．C　2.D　3.D　4.D　5.B　6.D　7.B　8.B9．x1＝2，x2＝　10.k＜－1　11. 112．(22－x)(17－x)＝300　13.20%14．(1)解法不唯一．例解：x2－x＋3＝0，x2－x＋＝－3＋，＝，x－＝±.∴x1＝2，x2＝.(2)原方程化为3x2＋10x－8＝0，∴x＝，即x＝，∴x1＝，x2＝－4.15．解：(1)设这两年藏书的年均增长率是x.根据题意，得5(1＋x)2＝7.2.解得，x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．答：这两年藏书的年均增长率是20%.(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2－5)×20%＝0.44(万册)，到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%.答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.16．解：(1)设A品种去年平均每亩产量为x kg，B品种为(x＋100)kg.根据题意，得2.4×10(x＋x＋100)＝21 600，解得x＝400.x＋100＝500.答：A品种去年平均每亩产量为400千克，B品种去年平均每亩产量为500千克．(2)根据题意，得2.4×10×400(1＋a%)＋2.4(1＋a%)×500(1＋2a%)×10＝21 600×.令a%＝t，化简得10t2－t＝0.解得t1＝0(舍)，t2＝.∴a＝10.