考点01 圆的基本性质-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 圆的基本性质

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

考向一 圆的基本认识

1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

3．在同一个圆中，直径是最长的弦．

4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．

5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例引领

1．（2020·山东单县·七年级期末）已知是半径为5的圆的一条弦，则的长不可能是（   ）

A．4 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【分析】

根据圆中最长的弦为直径求解．

【详解】

因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．

故选:D．

【点睛】

考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键.

2．（2020·山东广饶县·九年级期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①直径是弦，正确，符合题意；

②弦不一定是直径，错误，不符合题意；

③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；

④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；

⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；

正确的有3个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．

变式拓展

1．（2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）下列说法错误的是（    ）

A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆 D．能完全重合的两条弧是等弧

2．（2020·北京昌平区·临川学校九年级期末）下列语句中不正确的有（   ）

①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧

A．3个    B．2个    C．1个    D．4个

考向二 垂径定理

1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．

2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例引领

1．（2020·湖南长沙同升湖实验学校九年级月考）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（　　）

A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm

2．（2020·甘肃九年级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）

A． B．2 C．2 D．3

变式拓展

1．（2020·江苏新沂市·九年级期中）如图，的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为(    )

A． B． C．6 D．12

2．（2019·内蒙古杭锦后旗·九年级期末）如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（   ）

A．6 B．6 C．3 D．9

考向三 弧、弦、圆心角、圆周角

1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．

2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例引领

1．（2020·全国九年级课时练习）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

连接BC，由，可知弧AB=弧BC，从而AB=BC，然后根据三角形三条边的关系解答即可.

【详解】

∵，

∴弧AB=弧BC，

∴AB=BC，

∵AB+BC>AC，

∴AC<2AB.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了三角形三条边的关系.

2．（2017·山西九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°

【答案】B

【分析】

先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

变式拓展

1．（2018·陕西九年级专题练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（　　）

A．6 B．8 C．5 D．5

2．（2019·吉林长春市·东北师大附中九年级其他模拟）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ）

A．32° B．60° C．68° D．64°