考点01 一元一次不等式（组）-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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考点一 一元一次不等式（组）知识点整合一、不等式的概念、性质及解集表示1．不等式一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质 理论依据式子表示性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变若，则性质2不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若，，则或性质3不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若，，则或温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法1．一元一次不等式组一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．3．一元一次不等式组的解法先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．4．几种常见的不等式组的解集设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中）数轴表示解集口诀同大取大同小取小大小、小大中间找无解大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
考向一  不等式的定义及性质（1）含有不等号的式子叫做不等式．（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．典例引领1．式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3＝0；④y－7；⑤m－2.5＞3.其中不等式有(　　)A．1个    B．2个    C．3个    D．4个【答案】C【解析】【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．【详解】①是用“＞”连接的式子，是不等式；②是用“≤”连接的式子，是不等式；③是等式，不是不等式；④没有不等号，不是不等式；⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；∴不等式有①②⑤共3个，故选C．【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．2．（2019·安徽）下列说法中，错误的是(　　)A．不等式x＜5的整数解有无数多个    B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4    D．－40是不等式2x＜－8的一个解【答案】C【解析】【分析】对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.【详解】A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意；C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意；故选:C.【点睛】本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；3．（2020·广西七年级期末）以下说法中正确的是（　　）A．若a＞|b|，则a2＞b2 B．若a＞b，则＜C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d变式拓展1．（2019·全国七年级单元测试）给出下列表达式：①a(b＋c)＝ab＋ac；②－2＜0；③x≠5；④2a＞b＋1；⑤x2－2xy＋y2；⑥2x－3＞6，其中不等式的个数是______________．2．（2020·全国七年级课时练习）已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，则化简：|m－1|－|2－m|＝______．3．（2020·大庆市庆新中学八年级期中）数学表达式中：①a2≥0  ②5p-6q<0  ③x-6=1  ④7x+8y  ⑤-1<0  ⑥x≠3.不等式是________（填序号）考向二  一元一次不等式（组）的解集及数轴表示（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．典例引领1．（2020·山东八年级期中）不等式组 的解集在数轴上表示为（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解所给不等式组，求得其解集，再根据不等式组的解集在数轴上的表示方法进行判断即可.【详解】解不等式得：；解不等式得：；∴原不等式组的解集为：.将解集表示在数轴上为：故选A【点睛】熟练掌握“不等式组的解法和不等式组的解集在数轴上的表示方法”是解答本题的关键.2．（2020·全国九年级课时练习）已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】试题分析：∵P（，）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴，，解得：，则a的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．3．（2020·浙江九年级一模）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）A．          B．C．          D．4．（2020·辽宁七年级期末）将不等式组的解集在轴上表示出来，应是(    )A． B．C．    D． 变式拓展1．解不等式组并在数轴上表示出不等式组的解集．2．（2017·全国七年级单元测试）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）5（x﹣1）≤3（x+1）（2）﹣＞﹣2（3）3．（2019·乐清市英华学校八年级期中）解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．4．（2019·全国八年级单元测试）解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．考向三  一元一次不等式（组）的整数解问题此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．典例引领1．（2020·北京八中七年级月考）求不等式≤+1的非负整数解．【答案】不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．【详解】去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，去括号得：10x+5≤9x-6+15，移项得：10x-9x≤-5-6+15，合并同类项得x≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．【点睛】考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.2．（2017·广东中山纪念中学）解不等式，并求出其最小整数解；【答案】不等式的最小整数解为﹣2【解析】试题分析：根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取其最小整数解即可.试题解析：，去分母，得6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），去括号，得6+3x+3≥12﹣2x﹣14，移项、合并同类项，得5x≥﹣11，系数化为1，得．故不等式的最小整数解为﹣2．点睛：此题主要考查了不等式的解法，解题关键是根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取符合条件的数即可.3．（2020·全国七年级课时练习）若不等式3(x＋1)－1＜4(x－1)＋3的最小整数解是方程x－mx＝6的解，求m2－2m－11的值．4．求不等式的正整数解．变式拓展1．（2020·广东九年级其他模拟）解不等式≤，并求出它的正整数解．2.（2019·安徽七年级期中）列式计算：求使的值不小于的值的非负整数x．3．（2019·广东华南师大附中八年级期中）先化简，再求值：，其中x为不等式的正整数解．4．（2020·江苏七年级月考）（1）解方程组：；（2）求不等式的最大整数解．考向四  求参数的值或取值范围求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．典例引领1．（2019·南昌市第十九中学七年级期末）关于x,y的方程组的解满足x>y,求m的最小整数值.【答案】m=1【解析】【分析】先求出方程组的解，用含m的代数式表示x，y，由x＞y得到关于m的不等式，解得关于m的不等式的解集，然后求m的最小整数值．【详解】解：解方程组得 ∵x>y， ∴2m>1-m， 解得m>，∴m的最小整数值为m=1.【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和不等式的解法及不等式的整数解．能得出关于m的不等式是解题的关键．2．（2018·全国八年级单元测试）当k满足什么条件时，关于x的方程x－＝2－的解是非负数？【答案】k≤2【解析】分析：根据题意可以先求出方程的解，然后根据方程的解是非负数，即x≥0，组成关于k的不等式，解不等式即可．详解：去分母得：6x﹣3（x﹣k）=12﹣2(x+3)    去括号，合并同类项得：5x=6﹣3k    ∴x=．    ∵关于x的方程x－＝2－的解是非负数，∴≥0，解得：k≤2．点睛：本题考查了一元一次不等式的整数解，关键是把字母k看作一个常数来解．3．（2018·海南）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x - y >-8．（1）用含m的代数式表示.（2）求满足条件的m的所有正整数值.4．（2018·全国八年级课时练习）当正整数m为何值时，关于x的方程＝的解是非正数？ 变式拓展1．（2019·浙江八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足.（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式的解为.则整数a的值是多少？2．（2017·全国八年级课时练习）若关于x的分式方程＝2的解为正数，求m的取值范围．3．（2020·齐齐哈尔市昂昂溪区教师进修学校七年级期末）若关于、的二元一次方程组的解满足，求整数的最大值．4．（2020·四川七年级期末）已知方程组的解中，是非负数，是正数． （1）求的取值范围；（2）化简：；（3）当为何整数时，不等式的解集为．