考点01 尺规作图-2022年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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一、尺规作图
1．尺规作图的定义
在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作一个角的平分线；
（4）作一条线段的垂直平分线；
（5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；
（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；
（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；
（2）作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．
6．作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1．尺规作图的关键
（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．
典例引领
1．（2019·浙江八年级期末）已知，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（1）作边上的高；
（2）作的平分线．（尺规作图）
（3）作出线段的垂直平分线．（尺规作图）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】
（1）根据钝角三角形高的做法即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法即可；
（3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可．
【详解】
解：（1）如图所示：AD为BC边上的高．
（2）如图所示：BE为△ABC的平分线．
（3）如图所示：为线段的垂直平分线．
【点睛】
本题考查了钝角三角形的高、角平分线、线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键掌握相应的作图方法．
2．（2020·山西七年级期中）如图，利用尺规在的边上方作，并说明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】
利用尺规作∠DAC=∠ACB即可，再根据平行线的判定定理可得出结论．
【详解】
解：如图所示，∠CAD即为所求，
∵∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB．
【点睛】
本题考查尺规作图、平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题．
3．（2019·甘肃七年级期中）如图，利用尺规作∠CPE，使∠CPE=∠A，且PE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法作∠CPE=∠A即可．
【详解】
如图所示：
∠CPE即为所求．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
4．（2017·山东七年级期中）尺规作图：如图，过点A作BC的平行线EF（说明：只允许尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）
【答案】作图见解析.
【解析】试题分析：可作∠B的内错角∠DAB=∠B，做直线AD即可．
试题解析：如图：
【点睛】用尺规做平行一般要做角相等；用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
变式拓展
1．（2019·江苏八年级期中）如图，在中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
利用尺规作图，作出中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
【答案】作图见解析； （2）作图见解析.
【分析】
由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；
根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】
如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2019·汕头市龙湖实验中学八年级月考）已知∠AOB．求作：∠AOB的平分线.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)，这种尺规作图得到角平分线的依据是______.
【答案】作图见解析；三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等.
【分析】
①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于C、D；②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线OE，OE即是∠AOB的平分线；连结CE，DE，根据SSS可证△OCE≌△ODE，可得∠COE=∠DOE，问题得解.
【详解】
解：如图，射线OE即为所求：
连结CE，DE，
由作图可知：OC=OD，CE=DE，
∵OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE=∠DOE，即OE为∠AOB的平分线，
∴这种尺规作图得到角平分线的依据是：三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等.
【点睛】
本题考查了尺规作图－作角平分线以及全等三角形的判定和性质，用到的知识点为：边边边证明两三角形全等；全等三角形的对应角相等．
3．（2020·西工大附中分校七年级月考）尺规作图：已知△ABC，请用尺规在AB上找一点P，使得PB＝PC（不写作法，但要保留作图痕迹）．
【答案】如图，点P即为所求．见解析．
【分析】
作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
【详解】
如图，点P即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2016·陕西九年级专题练习）如图已知△ABC(AC＜BC)用尺规在BC上确定一点P,使 PA+PC=BC．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
【答案】AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可知，作AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P．
【详解】
理由：如图所示，连接PA.
∵由作图得，点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB.
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC.
【点睛】
本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键.
5．（2018·江苏盐城中学九年级期中）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
分析：根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，进而得出外接圆．
详解：如图所示，⊙O即为所求；

点睛：本题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，得出O是线段BC和AC的垂直平分线的交点是解题的关键．
6．（2020·马鞍山市成功学校八年级期中）尺规作图，保留必要的作图痕迹．
已知，求作，使．
【答案】见解析．
【分析】
分别作出三边等于已知三角形的三边即可．
【详解】
步骤如下：
（1）画线段；
（2）分别以、为圆心，线段，为半径画弧，两弧交于点；
（3）连结线段、，就是所求作的三角形．
【点睛】
此题考查作图-复杂作图，解题关键在于掌握知识点：三边对应相等的两三角形全等．