考点01 分式方程-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 分式方程

知识点整合

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

4．分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

⑥答．

考向一  解分式方程

分式方程的解法：

①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．

典例引领

1．（2020·重庆市育才中学九年级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先解不等式组，再根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式有正整数解，确定a的值即可解答．

【详解】

解：解不等式组得：，

∵不等式组的解集为，

∴，

将关于y的分式方程变形为：

，

解得：，

∵分式方程有正整数解，且y≠2，

∴a=3或﹣1，

∴3+（﹣1）=2，

故选：A．

【点睛】

本题考查解含参数的一元一次不等式组、解含参数的分式方程，能根据条件确定参数的取值是解答的关键，注意分式有意义的隐含条件．

2．（2020·重庆西南大学附中九年级月考）若数a使关于x的不等式组，有解且至多有4个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的积为（    ）

A． B．10 C．40 D．

【答案】C

【分析】

先解不等式组，根据不等式组有且最多有4个整数解；，得出-8≤a＜4，再解分式方程，根据分式方程有正整数解，得到a<1且a≠-2，进而得到满足条件的整数a的值．

【详解】

解：解不等式组，得，
∵不等式组有且最多有4个整数解，
∴-2≤＜2，

解得，a＜4；
解分式方程，可得y=，
又∵分式方程有正整数解，
∴y＞0，且y≠1，
即＞0，≠1，
解得a＜1，且a≠-2
∴满足条件的整数a的值为-8，-5，

∴满足条件的所有整数a的积为（-8）×(-5)=40
故选：C．

【点睛】

此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围．

3．（2020·石家庄市第七中学八年级月考）在正数范围内定义一种运算＊．其规则为则方程的解是（    ）

A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3

【答案】A

【分析】

根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解．

【详解】

根据题意，得：，

两边都乘以最简公分母x（x＋2），得：x＋2＋x＝6，

解得：x＝2，

经检验x＝2是原分式方程的解．

故选A．

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键．

4．（2020·新乡县龙泉学校八年级月考）解下列分式方程：

（1）；

（2）

【答案】（1）x=2；（2）

【分析】

（1）方程两边同乘以（x-1），分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验 即可得到分式方程的解；

（2）先把原方程整理为，方程两边再同乘以(x+2)(x-2)，分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验 即可得到分式方程的解．

【详解】

解：（1）方程两边同乘以（x-1）得，

解得，

检验：当时，

所以，是原方程的根；

（2）原方程整理为，

方程两边再同乘以(x+2)(x-2)，得：5(x+2)-3=-(x+2)

解得，

检验：当时，(x+2)(x-2)≠0

所以，是原方程的根．

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．

5．（2019·石家庄润德学校八年级期中）（1）解方程：．
 

（2）先化简，再求值其中a，b满足．

【答案】（1）；（2），

【分析】

（1）首先去分母，等式两边同乘以最简公分母，再通过求解一次方程，即可得到答案；

（2）首先通分，然后合并同类项；结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，计算的a和b的值，通过计算即可得到答案．

【详解】

（1）∵

∴

∴

∴

∴

∵，且

∴是的解；

（2）

∵

∴

∴

∴．

【点睛】

本题考查了绝对值、二次根式、分式的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、二次根式、分式化简和分式方程的性质，从而完成求解．

变式拓展

1．（2020·内蒙古八年级期末）（1）先化简，再求值：，其中；

（2）解分式方程：．

【答案】（1），；（2）

【分析】

（1）先进行化简，然后将a的值代入求解；（2）根据分式方程的解法求解．

【详解】

（1） 原式=

  =

=

 =

=

当时，原式= 

（2）原方程可化为：

方程两边乘得：

检验：当时，

所以原方程的解是

【点睛】

本题考查了分式的化简求值、解分式方程等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．

2．（2020·山东丁庄镇中心初级中学八年级月考）若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围

【答案】，且

【分析】

先解分式方程，再根据解为正数，得出的取值范围．

【详解】

解：分式方程化为整式方程后得，，

整理得，，

，

关于的方程的解为正数，

且，

解得：，且，

的取值范围是：，且．

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．

3．（2020·贵州八年级期中）定义一种新运算“*”为：．若，则的值是______．

【答案】

【分析】

根据题意得，解分式方程即可得出m的值．

【详解】

解：由题意得，
整理得5m+15=3-m，
解得m=-2．

经检验，m=-2是原分式方程的根．
故答案为-2．

【点睛】

本题是一道新定义的题目，考查了列分式方程和分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

4．（2020·禹城市龙泽实验学校八年级期末）对于实数、，定义一种运算“”为：有下列命题：

①；

②；

③方程的解为；

④若函数的图象经过，两点，则，其中正确命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）

【答案】①④

【分析】

根据新定义对①②直接进行判断；根据新定义得，解得 ，经检验原方程无实数解，可对③进行判断；根据新定义得到，然后根据一次函数的性质对④进行判断．

【详解】

解：，所以①正确；

，，所以②不正确；

由于方程，所以，解得，经检验原方程无实数解，所以③错误；

函数，因为，在函数，所以，所以④正确；

综上所述，正确的是：①④；

故答案为①④．

【点睛】

本题考查了命题，新定义下实数的运算，分式方程，一次函数的性质特点，熟悉相关性质是解题的关键．

5．（2019·浙江九年级期中）若数a使关于x的分式方程=4的解为正数，且使关于y，不等式组的解集为y＜-2，则符合条件的所有整数a的和为______．

【答案】10

【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．

【详解】

解：分式方程+=4的解为且x≠1，

∵关于x的分式方程+=4的解为正数，

∴>0 且≠1，

∴a＜6且a≠2．

解不等式①得：y＜-2；

解不等式②得：y≤a．

∵关于y的不等式组的解集为y＜-2，

∴a≥-2．

∴-2≤a＜6且a≠2．

∵a为整数，

∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，

(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．

考向二  分式方程的解

（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.

（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.

（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.

（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.

典例引领

1．（2019·铅山县五铜中学）若关于的方程无解，求的值.

【答案】

【解析】

分析：该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．

详解：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，

移项合并得：（a+2）x=3．

（1）把x=0代入（a+2）x=3，

∴a无解；

把x=1代入（a+2）x=3，

解得a=1；

（2）（a+2）x=3，

当a+2=0时，0×x=3，x无解

即a=-2时，整式方程无解．

综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．

故答案为a=1或a=-2．

点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．

2．（2019·山东八年级期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为多少？

【答案】－0.5或－1.5.

【解析】

试题分析：根据分式方程的解法即可求出答案．

试题解析：去分母，得：x（2m+x）-x（x-3）=2（x-3）
2mx+x2-x2+3x=2x-6
2mx+x=-6
当2m+1≠0时，
∴x=，
∵该分式方程无解，
∴将x=代入x（x-3）=0，
∴（-3）=0，
∴解得：m=-
当2m+1=0时，
∴m=-，此时分式方程无解，符合题意.

故m的值为：-或-.

3．（2020·全国七年级专题练习）已知关于x的分式方程，

(1)若方程的增根为x=1，求m的值

(2)若方程有增根，求m的值

(3)若方程无解，求m的值．

【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5

【解析】

试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；

（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；

（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；

（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.

试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得

2（x+2）+mx=x-1，

整理得（m+1）x=﹣5，

（1）∵x=1是分式方程的增根，

∴1+m=﹣5，

解得：m=﹣6；

（2）∵原分式方程有增根，

∴（x+2）（x﹣1）=0，

解得：x=﹣2或x=1，

当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；

（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；

当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，

综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．

【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.

4．（2020·四川石室中学八年级期中）已知关于x的分式方程 =1的解为负数,求k的取值范围.

【答案】k>且k≠1

【分析】

首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程=1的解，然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．

【详解】

解：

去分母,得(x+k)(x-1)-k(x+1)=x2-1,

去括号,得x2-x+kx-k-kx-k=x2-1,

移项、合并同类项,得x=1-2k,

根据题意,得1-2k<0且1-2k≠1, 1-2k≠-1

解得k>且k≠1,

∴k的取值范围是k>且k≠1.

【点睛】

此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

5．（2017·扬州市梅岭中学八年级期中）解关于x的方程﹣= 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．

【答案】﹣5或﹣

【解析】试题分析：根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．

试题解析：方程去分母后得：（k+2）x=-3，分以下两种情况：

 令x=1，k+2=-3，

∴k=-5

 令x=-2，-2（k+2）=-3，

∴k=-，

综上所述，k的值为-5，或-．

6．（2019·全国八年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程的解是非负数？

【答案】当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．

【详解】

解：去分母得：m﹣3=x﹣1，

解得：x=m﹣2，

由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，

解得：m≥2且m≠3．

∴当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.

【点睛】

本题考查分式方程的解，解题关键是注意分母不为0这个条件．

变式拓展

1．（2020·眉山市东坡区东坡中学八年级期中）已知关于x的方程解为正数，求m的取值范围．

【答案】m＜6且m≠3

【解析】

【分析】

先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．

【详解】

去分母，得x﹣2（x﹣3）＝m，

解得：x＝6﹣m，

∵x＞0，

∴6﹣m＞0，

∴m＜6，且x≠3，

∴m≠3．

∴m＜6且m≠3．

【点睛】

解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x﹣3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．

2．已知，关于的分式方程.

（1）当，时，求分式方程的解；

（2）当时，求为何值时分式方程无解：

（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值.

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）将a，b的值代入方程得，解出这个方程，最后进行检验即可；

（2）把代入方程得，分式方程去分母转化为整式方程为，由分式方程有增根，得11-2b=0，或（不存在），或求出b的值即可；

（3）把代入原方程得，将分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数求出b，然后进行检验即可．

【详解】

（1）当，时，分式方程为：

解得：

经检验：时是原方程的解

（2）解：当时，分式方程为：

①若，即时，有：，此方程无解

②若，即时，则

若，即，，不成立

若，即，解得

∴综上所述，或时，原方程无解

（3）解：当时，分式方程为：

即

∵是正整数

∴

∴

即

又∵是正整数，是整数.

∴

经检验，当时，（不符合题意，舍去）

∴

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

3．（2018·全国八年级单元测试）已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值．

【答案】，4

【解析】

试题分析：根据x=2是方程的解，代入原方程可求得a，然后根据异分母的分式的通分，除法变乘法，约分来化简，再把a的值代入求解.

试题解析：解：把x=2代入中

解得：a=3，

原式＝

=

当a=3时，原式=4.

考点：方程的解，分式的化简求值

4．（2020·襄汾县第二初级中学校八年级期末）若关于x的分式方程＝1的解为正数，求m的取值范围．

【答案】m＞2且m≠3．

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．

【详解】

解：去分母得：m﹣3＝x﹣1，

解得：x＝m﹣2，

由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，

解得：m＞2且m≠3，

故答案为：m＞2且m≠3．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

5．（2018·温州育英学校）当a取什么整数时，方程++＝0只有一个实根，并求此实根．

【答案】a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1

【分析】

先将原方程化为＝0，再分三种情况进行讨论：

（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，由原分式方程恰有一个实根，得出△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，依此求出a的值；

（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，代入求出a＝﹣4，再解方程即可；

（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，代入求出a＝﹣8，再解方程即可．

【详解】

解：原方程化为＝0．

（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，

∵原分式方程恰有一个实根，

∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，

则a＝﹣，

于是x1＝x2＝，

但a取整数，则舍去；

（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，则a＝﹣4，

这时原方程为，

去分母得2x2﹣2x＝0，

解得x＝0，x＝1，

显然x＝0是增根，x＝1是原分式方程的根；

（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，则a＝﹣8，

这时，原方程为

去分母，得2x2﹣2x﹣4＝0，

解得x＝2，x＝﹣1，

显然x＝2是增根，x＝﹣1是原分式方程的根；

经检验当a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；当a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因进而分情况讨论是解题的关键．

6．（2019·全国八年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程＋3＝无解？

【答案】m＝1.

【解析】

【分析】

先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得m的值即可．

【详解】

∵方程＋3＝，

∴x-2=0，解得x=2，

把方程两边同乘以x-2，得m+3（x-2）=x-1，

把x=2代入，得m=1．

【点睛】

增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．