考点02 二次根式-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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考点02 二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．（2）最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；（4）；（5）．典例引领1．（2020·浙江杭州·八年级其他模拟）下列运算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质即可求得．【详解】A. ，所以选项A错误；B. ，所以选项B错误；C. ，所以选项C正确；D. ，所以选项D错误；故选C【点睛】本题考查二次根式的性质，是基础题．2．（2020·浙江杭州·九年级其他模拟）下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．【详解】A、，故该选项错误；B、，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2019·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）函数的自变量x的取值范围是（    ）A． B．且 C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】根据题意得，且，所以且．故选B．【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（2019·郑州枫杨外国语学校八年级月考）要使式子有意义，则下列数值中x不能取的是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可．【详解】由题意得：，，故不可取的是4；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握使二次根式有意义的条件是解决这类问题的关键．变式拓展1．（2020·渠县崇德实验学校八年级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   )A．x<1 B．x≥1 C．x≤-1 D．x>1【答案】B【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可得出结果．【详解】解：由题意得，x−1≥0，解得 x≥1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．2．（2020·山西九年级期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，
解得．
故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．3．（2020·山西八年级期中）在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可．【详解】解：由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．4．（2020·西安市铁一中学八年级期中）当时，化简的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】解：∵∴∴=故选：B．【点睛】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．5．（2020·陕西八年级期中）化简二次根式得（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件可推测，利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可．【详解】∵，∴，∴．故选Ａ．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的意义以及化简方法为解题关键． 考向二 二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．典例引领1．（2020·陕西榆林十二中九年级月考）计算：．【答案】【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂逐项计算即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键．2．（2020·山西九年级期中）计算：（1）（2）【答案】（1）-3；（2）【分析】（1）先对二次根式进行化简，然后进行二次根式的加减运算；（2）先利用二次根式的乘除进行化简，然后进行加减运算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键．3．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中九年级月考）计算【答案】【分析】根据实数的运算法则计算即可 ．【详解】解：原式．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的乘法、二次根式的意义及零指数幂的意义是解题关键．4．（2020·西安市铁一中学八年级期中）计算（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式化简即可；（4）根据二次根式的除法法则计算即可.【详解】（1）原式==（2）原式=（3）原式（4）原式【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的法则，考查学生的计算能力.5．（2020·重庆巴蜀中学八年级期中）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】(1)先化简，，，再合并同类二次根式即可，(2)先用公式计算，与因式分解约分，再合并同类二次根式与同类项即可．【详解】（1），=，=，（2），=，=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，会化简最简二次根式，会用二次根式的性质化去根号，掌握零次幂，会用乘法公式计算二次根式，会计算混合运算，熟练掌握法则，公式，性质，才能结合实际问题选择恰当的解决方法．6．（2019·扎赉特旗音德尔第三高中九年级期末）计算：【答案】1【分析】根据二次根式、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：原式＝－（－2 ）＋－1＝－＋2 ＋－1        ＝1．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及到绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，熟练掌握基本运算法则是关键．7．（2020·灵宝市实验中学八年级月考）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2b+ab2．【答案】（1）；（2）42【分析】（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），计算即可；（2）将a、b的值代入a2b+ab2＝ab（a+b），计算即可．【详解】解：（1）当a＝3+，b＝3﹣时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（3++3﹣）（3+﹣3+）＝6×2＝12；（2）当a＝3+，b＝3﹣时，a2b+ab2＝ab（a+b）＝（3+）（3﹣）（3++3﹣）＝（9﹣2）×6＝7×6＝42．【点睛】本题考查二次根式的乘除计算，关键在于合理利用已经学了的公式进行计算，这样便于简便一些． 变式拓展1．（2020·浙江杭州·八年级其他模拟）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）7【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和乘法分配律计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．2．（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）化简绝对值，在进行计算即可；（2）算出立方根、算术平方根，结合幂的运算计算即可；【详解】（1）原式；（2）原式；【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，结合绝对值的性质，立方根和算术平方根的计算是解题的关键．3．（2020·四川成都实外八年级期中）先化简，再求值：其中．【答案】，【分析】根据分式的运算法则进行化简求值，再根据二次根式的运算代入求值．【详解】解：原式，把代入原式得：原式．【点睛】本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算法则．4．（2020·甘肃八年级期中）计算：（1）        （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用完全平方公式以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．【详解】解：（1）解：（2）【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．5．（2020·山西八年级期中）计算：（1）    （2）（3）    （4）【答案】（1）；（2）-2；（3）3；（4）．【分析】（1）按二次根式加减运算的法则进行计算即可；（2）按照平方差公式展开，再计算即可；（3）先对二次根式进行化简，然后按照分配律计算即可；（4）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】（1）原式==；（2）原式=3-5=-2；（3）原式===6-3=3；（4）原式===．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．6．（2020·张掖育才中学八年级月考）计算（1）           （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后根据合并同类二次根式法则计算即可；（2）根据平方差公式、负指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质计算即可．【详解】解：（1）===（2）==【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、合并同类二次根式法则、平方差公式、负指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质是解题关键．7．（2020·辽宁辽阳二中八年级期中）计算：【答案】【分析】运用平方差公式和零指数幂定义进行计算．【详解】解：==【点睛】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂定义，关键是熟练运用平方差公式进行计算．8．（2020·浙江七年级期中）计算：（1）  （2）（3）  （4）【答案】（1）48；（2）；（3）；（4）2034．【分析】（1）从左到右依次计算即可；（2）先将除法化为乘法，再计算乘法即可；（3）先利用乘法分配律计算，再计算有理数的加法和合并同类二次根式；（4）分别计算乘法，立方根，将结果相加即可．【详解】解：（1）原式==48；（2）原式==；（3）原式==；（4）原式==2034．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．9．（2020·山西八年级期末）先化简，再求值：，其中.【答案】.【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.【详解】原式=.将代入原式得【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.