人教版28.1 锐角三角函数一等奖教案设计

第二十八章  锐角三角函数

28.1  锐角三角函数

课时2 余弦、正切函数

【知识与技能】

　1.探索直角三角形的锐角确定时,它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值,从而引出余弦、正切的概念.

　2.了解锐角三角函数的概念,理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.

【过程与方法】

　1.结合正弦的概念探索锐角的余弦、正切的概念的形成,培养学生类比推理的能力.

　2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

　3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

【情感态度与价值观】

　1.通过观察、思考、交流、总结等数学活动,体验数学学习充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

　2.通过主动探索,合作交流,增强学生的合作意识,体验成功的快乐,增强学生学习数学的信心.

　3.培养学生敢于发表自己的想法,勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.

　理解余弦、正切的概念,并会求锐角的余弦值、正切值.

　　类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.

多媒体课件.

导入一:

　【复习提问】

　1.在直角三角形中,当一个锐角的大小一定时,它的对边与斜边的比有什么规律?

　2.什么是正弦?如何求一个角的正弦?

　3.探究正弦的概念时,我们用了什么方法?

导入二:

　观察两个大小不同的三角板,当角是30°,45°,60°时,它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.

　　[过渡语]　类比探究正弦的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是固定的值,这就是我们这节课要学习的内容.

　[设计意图]　通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课的学习做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的邻边与斜边、对边与邻边的比,归纳规律,很自然地引出本节课要学习的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.

一、新知探究

　思路一

　【思考】　在不同的直角三角形中,当锐角A的度数相同时,它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?

　【师生活动】　教师提示类比上节课的证明思路,学生独立完成证明过程,学生代表板书,教师规范证明过程.

　已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α.

　求证:=,=.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.

　【板书】　证明:因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

　因此,=,即=.

　同理可得=,即=.

　【思考】　大家能不能得出锐角B的度数一定时,∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?

　学生思考回答,教师点评.

　【课件展示】　

　1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.

　2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.

　思路二　

　如图,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠AC1B1=∠AC2B2=90°.

　【思考】　

　(1)Rt△AB1C1与Rt△AB2C2之间有什么关系?(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)

　(2)与,与之间各有什么关系?=,=

　(3)在射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?=,=

　(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中∠A的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定不变的)

　(5)如果改变∠A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.

　【师生活动】　教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.

　【课件展示】　

　1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.

　2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.

　[设计意图]　在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数的定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.

二、形成概念

　　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值,我们把这两个固定值分别定义为余弦和正切.

　【课件展示】　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.

　同样,把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.

　【思考】　当∠A的大小变化时,sin A,cos A,tan A是否变化?对于锐角A的每一个确定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它对应?

　【师生活动】　学生思考回答,教师引导点评.

　归纳:sin A,cos A,tan A都是∠A的函数.

　【课件】　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

　[设计意图]　教师根据上边的总结验证,类比正弦的概念形成,引导学生认识理解余弦、正切的概念,教师可以强调概念中需注意的事项,加深学生对锐角三角函数的概念的理解和掌握.

三、例题讲解

　　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.

　【思考】

　(1)根据余弦、正切的定义,要求cos A,tan A的值必须求出哪条边的长?

　(2)怎样求出AC的长?

　【师生活动】　学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程.

　【课件展示】　解:由勾股定理得AC===8,

　所以sin A===,

　cos A===,

　tan A===.

　　(补充拓展)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,求cos A,tan B的值.

　【解析】

　(1)已知sin A和BC的值,根据正弦的定义,可以求出三角形的哪条边长?

　(2)你能不能求出三角形的第三条边长?

　(3)根据余弦、正切的定义,你能求出cos A,tan B的值吗?

　【师生活动】　学生独立思考完成,小组内交流答案,教师帮助有困难的学生,对学生的答案进行点评.

　解:∵sin A=,∴AB==6×=10.

　又∵AC===8,

　∴cos A==,tan B==.

　[设计意图]　在教师提出的问题的引导下,学生独立思考完成,教师对学生的结果进行点评,让学生根据概念求出各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数的概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.

　[知识拓展]　(1)余弦和正切都是一个比值,没有单位.

　(2)余弦值和正切值只与角的大小有关,而与三角形的大小无关.

　(3)cos A,tan A都是一个整体符号,不能写成cos·A,tan·A.

　(4)当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.

　(5)在Rt△ABC中,∠C=90°,由于sin A==,cos A==,sin B==,cos B==,

tan A==,tan B==,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan A·tan B=1.

(6)         在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2.∵sin A=,cos A=,tan A=,

∴sin2A+cos2A=1,tan A=.

　1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值.

　2.余弦、正切的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.

　3.三角函数的定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

　第2课时

　1.新知探究

　2.形成概念

　在Rt△ABC中,∠C=90°,则cos A==,tan A==.

　3.例题讲解

　例1

　例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan B的值是　　(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tan A的值是　　(　　)

A.2　　B.　　C.　　D.

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则AC等于　　(　　)

A.6　　B.　　C.10　　D.12

4.如图,若cos α=,则sin α的值为　　(　　)

A.　　B.C.　　D.

5.小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°的角的正切值是　　(　　)

A.+1　B.+1　C.2.5　D.

6.如图,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB=　　　　. 

7.如图,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC=　　　　. 

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AB=26.求cos B及AC的长.

【能力提升】

9.如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处(每个小正方形的边长均为1).若将△ACB绕着点A逆时针旋转到如图的位置,得到△AC'B',使A,C,B'三点共线,则tan∠B'CB的值为　　　　. 

10.如图,AB是☉O的直径,且AB=5,CD是☉O的弦,AD与BC相交于点E,若CD=2,则

cos∠BED=　　　　. 

11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=,则tan B的值是　　　　. 

12.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.

(1)求证：AC=BD.

(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.

【拓展探究】

13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.

(1)求sin α,cos α,tan α的值；

(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.

【答案与解析】

1.D解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC==4,∴tan B==.故选D.

2.B解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴tan A==.故选B.

3.A解析:∵tan A==,BC=8,∴AC==BC=6.故选A.

4.D解析:∵cos α==,∴设α的邻边长为k,斜边长为10k,由勾股定理可得α的对边长为=3k,∴sin α===.故选D.

5.B解析:注意折叠前后对应点关于对称轴对称,也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形,进而得到67.5°的角为∠FAB.设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=x,于是BF=(+1)x.在直角三角形ABF中,tan∠FAB===+1=

tan67.5°.故选B.

6.解析:过点A作AD⊥OB,垂足为D,如图.在Rt△AOD中,AD=1,OD=2,则tan∠AOB==.

7.解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=15,AC=9,∴根据勾股定理,得BC=12.

∵∠ADC和∠ABC是同弧所对的圆周角,∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC===.

8.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tan A==,∴设BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,∴k=26,∴k=2,∴BC=2k=4,AC=3k=6,∴cos B===.∴AC的长为6,cos B=.

9.2解析:如图,连接BD,由正方形网格利用勾股定理得BC=,CD=,BD=2,则CD2+BD2=BC2,所以CD⊥BD,则tan∠B'CB==2.

10.解析:如图,连接BD,则∠ADB=90°,易知∠CDA=∠ABC,∠C=∠A,∴△CED∽△AEB,

∴==.在Rt△BED中,∠EDB=90°,∴cos∠BED==.

11.解析:在Rt△AMC中,sin∠CAM==,设MC=3x,AM=5x,则AC==4x.由题意知M是BC的中点,∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC中,tan B===.

12.(1)证明:∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和

Rt△ADC中,tan B=,cos∠DAC=.又∵tan B=cos∠DAC,∴=,∴AC=BD.

(2)解:在Rt△ADC中,sin C==,故可设AD=12k,AC=13k,∴CD==5k.

∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴18k=12,∴k=,∴AD=12k=12×=8.

13.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==.

(1)sin α===,cos α===,tan α==.　

(2)在Rt△ABC中,tan B=,即tan α==,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3.

　本节课的主要内容是在上节课的基础上,用类比的方法探究余弦和正切的定义,在教学设计中,通过复习上节课探究正弦的方法和技巧,为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中,教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法,自己完成锐角的余弦、正切的探索过程,从而得到余弦和正切的概念.例题的分析和解答以学生为主体,通过小组合作交流完成,教师及时点拨,加深学生对概念的理解和掌握的同时,提高了学生的解题能力,并规范了教学过程.

　本节课学习的主要内容是三个锐角三角函数,在教学设计时,只注重了学生的活动的设计,考虑到学生基础较差,对函数的理解较难,所以没有将函数与定义过多的联系,三角函数的定义是高中知识的基础,所以仅仅让学生停留在会应用定义进行简单的计算还远远不够,在以后的教学中,应让学生加深对三角函数的定义的理解和掌握.