2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质 Word版含解析

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A组 基础题组
1.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
3.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥b,a∥α,则b∥α;
③若a∥α,b∥α,则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
4.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.(2016湖北襄阳模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为 cm2.
7.(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
8.如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(1)求几何体ABCDFE的体积;
(2)证明:平面ADE∥平面BCF.
9.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:GH∥平面PAD.
10.(2016河北石家庄检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,F在AD上,且∠FCD=30°.
(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)若PA=2AB=2,求三棱锥P-ACE的体积.
11.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF.
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
12.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥A-PDE的体积;
(2)线段AC上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
A组 基础题组
1.A 若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
2.C 对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.A 对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,选A.
4.B 对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l还可能在平面α内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的性质定理可判断其正确,综上,①④正确,故选B.
5.D 如图,连接C1D,
在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴CC1⊥BD,
∴MN与CC1垂直,故A正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确;
∵A1B1与BD异面,MN∥BD,
∴MN与A1B1不可能平行,故D错误,选D.
6.答案
解析 如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,
计算可得AE=CE=cm,AC=cm,
则EF⊥AC,EF=cm,
∴S△ACE=××=(cm2).
7.解析 (1)证明:由已知得AM=AD=2,
取BP的中点T,连接AT,TN,
由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN?AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=.
8.解析 (1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.
则AO⊥BC,又AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC,
∴AO⊥平面BCED.同理,FG⊥平面BCED.
∵AO=FG=,
∴VABCDFE=×4××2=.
(2)证明:由(1)知AO∥FG,AO=FG,
∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF.
又∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,
∴平面ADE∥平面BCF.
B组 提升题组
9.证明 (1)连接EC,∵AD∥BC,BC=AD,∴BC?AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
又FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又FH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,又OH⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
10.解析 (1)证明:∵∠ACD=90°,∠CAD=60°,
∴∠FDC=30°.
又∠FCD=30°,∴∠ACF=60°,
∴AF=CF=DF,即F为AD的中点.
又E为PD的中点,
∴EF∥PA,
∵AP⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
又∠BAC=∠ACF=60°,
∴CF∥AB,同理可得CF∥平面PAB.
又EF∩CF=F,
∴平面CEF∥平面PAB,而CE⊂平面CEF,
∴CE∥平面PAB.
(2)∵EF∥AP,AP⊂平面APC,EF⊄平面APC,
∴EF∥平面APC.
又∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=60°,PA=2AB=2,
∴AC=2AB=2,CD==2.
∴VP-ACE=VE-PAC=VF-PAC=VP-ACF=××S△ACD·PA=×××2×2×2=.
11.解析 (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,
所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,则GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中点,
则GH=BC=4.
由已知可得OB=4,PO===6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.
12.解析 (1)因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD.
又四边形ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因为PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱锥A-PDE的高.
因为E为PC的中点,且PD=DC=4,
所以S△PDE=S△PDC
=×=4.
又AD=2,
所以VA-PDE=AD·S△PDE
=×2×4=.
(2)存在.取AC的中点M,连接EM,DM,
因为E为PC的中点,所以EM∥PA.
又因为EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM,
所以PA∥平面EDM.
易知AM=AC=.
即在线段AC上存在一点M,使得PA∥平面EDM,AM的长为.
B组 提升题组