2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第九章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

A组　基础题组

1.直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是(　　)

A.相离   B.相切

C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心

2.直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为(　　)

A.3 B.2  C.3或-5 D.-3或5

3.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为(　　)

A.x+y-3=0 B.x+y-1=0

C.x-y+5=0 D.x-y-5=0

5.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=(　　)

A. B.2 C. D.4

6.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　. 

7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切,则圆C的方程为　　　　　　. 

8.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=　　　　. 

9.(2016天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切.

(1)求圆C的方程;

(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.

10.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

11.过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)

A.x-y+5=0 B.x+y-1=0

C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0

12.(2016重庆一中模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2.y轴被圆C截得的弦长与直线y=2x+b被圆C截得的弦长相等,则b=(　　)

A.-  B.±  C.-  D.±

13.(2016辽宁抚顺二模)已知直线l:kx+y-2=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A(0,k)作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为(　　)

A.2  B.2  C.3 D.2

14.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)

A.内切  B.相交

C.外切  D.相离

15.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是　　　　. 

16.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.

答案全解全析

A组　基础题组

1.D　将圆C的方程化为标准方程得C:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线l的距离为=<2,所以直线l与圆相交.又圆心不在直线l上,所以直线不过圆心.故选D.

2.C　解法一:联立消去y可得,2x2-(2a-2)x+a2-7=0,则由题意可得Δ=-(2a-2)]2-4×2×(a2-7)=0,整理可得a2+2a-15=0,解得a=3或-5.

解法二:(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为2,由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,即=2,即|a+1|=4,解得a=3或-5.

3.D　过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.

显然,直线PA的倾斜角为0,又OP==2,PA=,OA=1,因此∠OAP=,∠OPA=,由对称性知,直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.

4.C　由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为,所以=,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.

5.A　如图所示,

∵PA、PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,

∴OA⊥AP.

∵P(1,),O(0,0),

∴|OP|==2.

又∵在Rt△APO中,|OA|=1,cos∠AOP=,

∴∠AOP=60°,

∴|AB|=2|OA|sin∠AOP=.

6.答案　x+2y-5=0

解析　设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.

设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由⊥(O为坐标原点),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.

7.答案　(x+1)2+y2=2

解析　设圆C的半径为R.由题意知圆心C(-1,0),其与已知圆圆心(2,3)的距离d=3,由两圆相外切可得R+2=d=3,R=,故圆C的标准方程为(x+1)2+y2=2.

8.答案　1或-3

解析　由题意知,圆的标准方程为x2+(y+1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为×2=,即=,解得k=1或-3.

9.解析　(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,

∵圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,

∴圆心(-2,1)到直线x-y+-2=0的距离d==2=r,

∴圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.

(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为2x-y+c=0,

∵|MN|=2,半径r=2,

∴圆心(-2,1)到直线MN的距离为=1,即=1,

∴c=5±,

∴直线MN的方程为2x-y+5±=0.

10.解析　(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).

由题设知·=0,

故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,

即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.

又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.

B组　提升题组

11.A　由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心C(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为=-1.当直线l与l1垂直时,|AB|取得最小值,故直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0.

12.D　在(x-1)2+(y-2)2=2中,令x=0,得(y-2)2=1,解得y1=3,y2=1,则y轴被圆C截得的弦长为2,所以直线y=2x+b被圆C截得的弦长为2,所以圆心C(1,2)到直线y=2x+b的距离为1,

即=1,解得b=±.选D.

13.D　由圆C:x2+y2-6x+2y+9=0得(x-3)2+(y+1)2=1,则C(3,-1).

由题意可得,直线l:kx+y-2=0经过圆C的圆心(3,-1),

故有3k-1-2=0,解得k=1,则点A(0,1),

则|AC|==.

故线段AB的长为==2.故选D.

14.B　由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d==(a>0),解得a=2(舍负),又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=,则R-r<<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.

15.答案　-1,1]

解析　解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.

若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,

应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.

解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,

∴OM≤,∴OM2≤2,∴+1≤2,∴≤1,∴-1≤x0≤1.

16.解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心为M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,

所以0<y0<7,圆N的半径为y0,

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离

d==.

因为BC=OA==2,

而MC2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为A(2,4),T(t,0),+=,

所以①

因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②

将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,

所以5-5≤≤5+5,

解得2-2≤t≤2+2.

因此,实数t的取值范围是2-2,2+2].