2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含解析

第五节　直线、平面垂直的判定与性质

A组　基础题组

1.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有(　　)

A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC

C.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC

2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC

3.(2016山东日照实验中学月考)设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:

①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;

②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;

③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;

④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.

其中正确命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(　　)

A. B.1 C. D.2

5.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有　　　　(写出全部正确命题的序号). 

①平面ABC⊥平面ABD;

②平面ABD⊥平面BCD;

③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;

④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.

6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边长都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 

7.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:

①;②1;③;④2;⑤4.

当在BC边上存在点Q(Q不在端点B,C处),使PQ⊥QD时,a可以取　　　　.(填上一个你认为正确的数据序号即可) 

8.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:

(1)直线DE∥平面A1C1F;

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

9.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.

(1)证明:BC∥平面PDA;

(2)证明:BC⊥PD;

(3)求点C到平面PDA的距离.

10.(2016甘肃兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,连接DC,则下列说法正确的是　　　　.(写出所有正确说法的序号) 

①无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;

②无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;

③无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;

④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.

11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

12.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面PAC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;

(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC,又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.

2.D　易证BD⊥CD.

因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.

又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,

故AB⊥平面ADC.

又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.

3.D　①由a⊥b,a⊥α,可得b∥α或b⊂α,又b⊄α,

∴b∥α,①是正确命题;

②由a∥α得在α内存在一条直线m满足m∥a,结合a⊥β,得m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β,②是正确命题;

③由a⊥β,α⊥β可得出a∥α或a⊂α,故③是正确命题;

④由a⊥b,a⊥α可推出b∥α或b⊂α,结合b⊥β,可得出α⊥β,故④是正确命题.

4.A　设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.

又2×=h,所以h=,DE=.

在Rt△DB1E中,B1E==.

由面积相等得×=x,得x=.

5.答案　③

解析　因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.

6.答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)

解析　连接AC,由题意知四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,

又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,

又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,

而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.

7.答案　①(或②)

解析　当PQ⊥QD时,有QD⊥平面PAQ,

所以QD⊥AQ.

在矩形ABCD中,设BQ=x(0<x<2),

则CQ=2-x,

在Rt△ABQ中,AQ2=a2+x2,

在Rt△DCQ中,DQ2=a2+(2-x)2,

又由AQ2+DQ2=4,

得2a2+2x2-4x=0,

则a2=-(x-1)2+1(0<x<2),

故a2∈(0,1],即a∈(0,1],

故①②符合,③④⑤不符合.

8.证明　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.

在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,

所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.

又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,

所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.

又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,

所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

9.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,

所以AD∥BC.

又因为AD⊂平面PDA,BC⊄平面PDA,所以BC∥平面PDA.

(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,

因为PD=PC,所以PE⊥DC.

又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD,所以PE⊥BC.

因为四边形ABCD为长方形,所以BC⊥DC.

又因为PE∩DC=E,所以BC⊥平面PDC.

而PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.

(3)连接AC.由(2)知,BC⊥PD,

又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,

所以S△PDA=AD·PD=×3×4=6.

在Rt△PDE中,PE===.

S△ADC=AD·DC=×3×6=9.

由(2)知,PE⊥平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.

设点C到平面PDA的距离为d,

由VC-PDA=VP-ADC,即d·S△PDA=PE·S△ADC,亦即×6d=××9,得d=.

故点C到平面PDA的距离为.

B组　提升题组

10.答案　①②④

解析　由已知得,在未折叠的原梯形中,AB?DE,

所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD.

折叠后的图形如图所示.

①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.

因为M是AD的中点,

所以点P为AE的中点,又N为BE的中点,故NP∥EC.

又MP∩NP=P,DE∩CE=E,

所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确.

②由已知可得AE⊥ED,AE⊥EC,

所以AE⊥MP,AE⊥NP,

又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,

又MN⊂平面MNP,

所以MN⊥AE,②正确.

③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,

从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误.

④当EC⊥ED时,EC⊥AD.

因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,

所以EC⊥平面AED,又AD⊂平面AED,

所以EC⊥AD,④正确.

11.解析　(1)证明:在△ABD中,

∵AD=4,BD=4,AB=8,

∴AD2+BD2=AB2.

∴AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,

∴BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD,

∴平面MBD⊥平面PAD.

(2)过点P作PO⊥AD于O,

∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PO⊥平面ABCD.

即PO为四棱锥P-ABCD的高.

又△PAD是边长为4的等边三角形,

∴PO=4×=2.

在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=2,此即为梯形ABCD的高.

∴S梯形ABCD=×2=12.

∴VP-ABCD=×12×2=24.

12.解析　(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,

所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,

所以DC⊥平面PAC.

(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD,

所以PC⊥AB.

又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.

又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:

取PB中点F,连接EF,CE,CF.

又因为E为AB的中点,

所以EF∥PA.

又因为PA⊄平面CEF,

所以PA∥平面CEF.