2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线 Word版含解析

第八节　直线与圆锥曲线

A组　基础题组

1.直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　　)

A.至多一个 B.2  C.1  D.0

2.已知经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是(　　)

A.  B.∪

C.(-,)  D.(-∞,-)∪(,+∞)

3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)

A.有且只有一条 B.有且只有两条

C.有且只有三条 D.有且只有四条

4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(　　)

A.-3  B.- 

C.-或-3 D.±

5.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(　　)

A.4  B.3  C.4  D.8

6.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为　　　　　　. 

7.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为　　　　　. 

8.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为　　　　. 

9.椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)当△F2AB的面积为时,求直线的方程.

10.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求;

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

11.设抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=(x-1)或y=-(x-1)

C.y=(x-1)或y=-(x-1)

D.y=(x-1)或y=-(x-1)

12.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若·=0,则k=　　　　. 

13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A、B两点,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线OD交椭圆于M,N两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)当四边形MF1NF2为矩形时,求直线l的方程.

14.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

答案全解全析

A组　基础题组

1.B　∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,

∴>2,∴m2+n2<4,

∴+<+=1-m2<1,

∴点(m,n)在椭圆+=1的内部,

∴过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有2个.

2.B　由题意得,直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.故选B.

3.B　∵2p=2,|AB|=3,∴|AB|>2p,故这样的直线有且只有两条.

4.B　依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,∴·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也有·=-.

5.C　∵y2=4x,∴F(1,0),准线l:x=-1,∴过焦点F且斜率为的直线l1的方程为y=(x-1),与y2=4x联立,解得或由题易知A(3,2),∴AK=4,

∴S△AKF=×4×2=4.

6.答案　x2=3y

解析　设点M(x1,y1),N(x2,y2).

由消去y,得x2-2ax+2a=0,

所以==3,即a=3,

因此所求的抛物线方程是x2=3y.

7.答案　+=1

解析　由题意得解得

∴椭圆C的方程为+=1.

8.答案　

解析　易知c=5,取过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得yB=-,则S=×(5-3)×=.

9.解析　(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点,

所以+=1.①

又因为离心率为,所以=,

所以=.②

联立①②解得a2=4,b2=3.

所以椭圆C的方程为+=1.

(2)当直线的倾斜角为时,A,B点的坐标为,,则=|AB|·|F1F2|=×3×2=3≠.

当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k(x+1),代入+=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=,

所以=|y1-y2|·|F1F2|

=|k|

=|k|

==,

所以17k4+k2-18=0,

解得k2=1,

所以k=±1,

所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

10.解析　(1)由已知得M(0,t),P.

又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,

代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,

解得x1=0,x2=.

因此H.

所以N为OH的中点,即=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.

理由如下:

直线MH的方程为y-t=x,

即x=(y-t).

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,

解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

B组　提升题组

11.C　设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A、B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得==,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直线的倾斜角α=或π.

又F(1,0),∴直线AB的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.

12.答案　2

解析　如图所示,设F为焦点,取AB的中点P,过A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为G,H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠PAM,又|AG|=|AF|,AM为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.

13.解析　(1)由题意可知解得a=,b=.

故椭圆C的方程为+=1.

(2)由题意可知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-2)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3),

由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,

所以x1+x2=,

则y1+y2=k(x1+x2-4)=,

所以AB的中点D的坐标为,

因此直线OD的方程为x+3ky=0(k≠0).

由得M,N点的坐标为,,-,-.

因为四边形MF1NF2为矩形,所以·=0,

即(x3-2,y3)·(-x3-2,-y3)=0,

所以4--=0.

所以4-=0.解得k=±.

故直线l的方程为y=±(x-2).

14.解析　由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,

且A,B,P,

Q,R.

记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.

(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则

k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.

(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.

由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1.

设满足条件的AB的中点为E(x,y).

当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).

而=y,所以y2=x-1(x≠1).

当AB与x轴垂直时,E与D重合.

所以,所求轨迹方程为y2=x-1.