中考数学几何模型加强版 模型12 与正方形有关的三垂线

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一、单选题


1．如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为40时，点的坐标是（ ）





A．B．C．D．





二、解答题


2．探究证明：


（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；





（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；


（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．





3．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．


（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；


（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α （0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；


（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．








4．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．


（1）求证：；


（2）求证：DE－BF＝EF；


（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．








5．如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与不重合），于E，交DG于F.


求证：.








6．四边形是边长为的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为直角顶点在右侧作等腰，连接





（1）如图1，当点在点左侧，且三点共线时，______；


（2）如图2，当点在点右侧，且时，求的长：


（3）若点在边所在直线上，且，求的长．





7．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点．





（1）当点运动到与点重合时(如图1)，线段与的数量关系是________．


（2）若点运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．


（3）如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长．





8．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN， 连结AM、BD．





（1）AM与BD的关系是：________．


（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．


（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．





9．如图，在正方形中，对角线、相交于点，、分别在、上，且，连接、，的延长线交于点．


（1）求证：；


（2）求证：．





10．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．





（1）求证：PE＝PB；


（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；


（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．





11．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C 在坐标轴上，点B（，），P是射线OB上一点，将绕点A顺时针旋转90°，得，Q是点P旋转后的对应点.


（1）如图（1）当OP = 时，求点Q的坐标；


（2）如图（2），设点P（，）（），的面积为S. 求S与的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；


（3）当BP+BQ = 时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）





12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.





（1）求抛物线的解析式；


（2）为抛物线上的一个动点，点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值；


（3）是抛物线上一动点，连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，求对应的点坐标.





13．如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．


（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；


（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？





14．如图所示，，，以为边作正方形，求点、的坐标.





15．如图所示，，四边形为正方形，交轴于.求点的坐标.





三、填空题


16．如图，正方形的边长为4，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为．则_________．











17．如图，四边形中，．则______．





18．如图，平面直角坐标系中有一正方形，点的坐标为点坐标为________．








19．如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．








20．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH＝_____．








21．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．





22．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．