中考数学几何模型加强版 模型13 正方形与45°角的基本图

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一、单选题


1．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE；②；③的周长是一个定值；④连结FC，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是（ ）





A．1B．2C．3D．4





2．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，，的面积，其中正确的个数为（ ）





A．个B．个C．个D．个


3．如图，在正方形有中，是上的动点，（不与、重合），连结，点关于的对称点为，连结并延长交于点，连接，过点作⊥交的延长线于点，连接，那么些的值为（ ）





A．1B．C．D．2





4．如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为点，将绕点顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个





二、解答题


5．已知：四边形为正方形，是等腰，．


（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：．





（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接．





①试写出此时三线段、、的数量关系并加以证明．


②若，，求：正方形的边长以及中边上的高．


6．如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上．





（1）与全等吗？为什么？


（2）若，，求的长．





7．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．





（1）求证：四边形是正方形；


（2）若，求证：；


（3）在（2）的条件下，已知，求的长．





8．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．


（1）求证：EF＝CF+AE；


（2）当AE＝2时，求EF的长．





9．已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．


（1）求A点坐标．


（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．


（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．





10．已知，如图1，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．


（1）求∠E的度数；


（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．


（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，则点P的运动路径长为 ；线段PC的取值范围为 ．








11．（1）如图1所示，已知正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：；


（2）如图2所示，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）中的结论证明：．








12．（1）如图，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．





（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，∠EAF=45°，


①写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．





②若将（2）中的△AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明．





（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = ．





13．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，，求的度数．








14．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．





（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；


（2）证明：EF＝BE＋DF


15．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．


（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．


（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．


（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．





16．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．


（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；


②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．


（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设，，求 关于的函数关系及定义城．








17．如图，过线段AB的端点B作射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．


（1）求证：≌；


（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；


（3）试探究AE+EF+AF与2AB是否相等，并说明理由．





三、填空题


18．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），，下列三个结论：①当MN＝MC时，则；②2；③△MNC的周长不变；④∠AMN－∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是________．








19．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，则∠EAG＝_____度．








20．如图，已知在中，，在内作第一个内接正方形，则第1个内接正方形的边长__________；然后取的中点，连接、，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为__________．








21．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH＝_____．





22．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．








23．如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且.若，则____．








24．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．








25．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到． 若，则EF的长为__________．