第九单元 第30课时 直线与圆的位置关系（含答案）

这是一份第九单元 第30课时 直线与圆的位置关系（含答案），共51页。PPT课件主要包含了小题热身，图30－1，图30－2，图30－3，图30－4，第5题答图，考点管理，图30－5，内切圆，智慧锦囊等内容，欢迎下载使用。
1．已知⊙O的直径为5，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是 (　 　)A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切
2．如图30－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的 (　 　)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点【解析】 ∵⊙O是△ABC的内切圆，则点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点．
3．如图30－2，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是 (　 　)A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
4．如图30－3，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝_________．【解析】 ∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.
5．如图30－4，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为_____．【解析】 如答图，连结OB，∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理，得r2＋122＝(8＋r)2，解得r＝5.
一、必知5 知识点1．直线和圆的位置关系在同一平面内，直线与圆的位置关系有三种，分别是____ ____，________，________．定义法：直线l与⊙O没有公共点⇔直线l与⊙O________；直线l与⊙O有唯一公共点⇔直线l与⊙O________；直线l与⊙O有两个公共点⇔直线l与⊙O________；d，r比较法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d＞r⇔直线l与⊙O________；d＝r⇔直线l与⊙O________；
d＜r⇔直线l与⊙O________．2．圆的切线性质定理：经过________的半径垂直于圆的切线．推论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________．
【智慧锦囊】见到切线要想到它垂直于过切点的半径；过切点的垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆的弧、弦、弦心距等的性质应用．
3．圆的切线的判定方法及切线长定理判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
【智慧锦囊】证明圆的切线技巧：(1)如果直线与圆有交点，连结圆心与交点的半径，证明直线与该圆的半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”；(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
4．切线长定理切线长定义：从圆外一点作圆的切线，把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长．切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等．基本图形：如图30－5，P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：
(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP且AC＝BC.
5．三角形的内切圆三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的__________．内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的________，内心是三角形三个角的平分线的交点．圆的外切三角形：各边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形．
二、必会2 方法1．切线的性质常用的辅助线连结圆心和切点，构造直角三角形．2．判定切线的方法(1)连半径，证垂直；(2)作垂线，证半径．判定切线是中考的热点．
直线与圆的位置关系的判定 [2018·中考预测]如图30－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 (　 　)A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【解析】 如答图，过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理，求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 (　 　)A．相交 B．相切C．相离 D．无法判断【解析】 设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选A.
2．[2016·永州]如图30－8，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1
的点，即m＝4.由此可知：(1)当d＝3时，m＝_____；(2)当m＝2时，d的取值范围是____________．【解析】 将直线l向上平移1个单位得到直线l1，向下平移1个单位得到直线l2，所有到直线l的距离为1的点都在直线l1或l2上，直线l1，l2与⊙O的交点个数即为圆上到直线l距离为1的点的个数．
(1)当d＝3时，O到直线的l的距离为3，与直线l1的距离为2，与直线l2的距离为4.∵⊙O的半径为2，∴⊙O与直线l1相切，与直线l2相离(如答图①所示)，此时直线l1，l2与⊙O只有1个交点，即m＝1；(2)当m＝2时，直线l1，l2与⊙O的交点个数为2个，即⊙O与直线l1相交，与直线l2相离(
【点悟】　判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小确定：(1)若d＜r，则直线与圆相交；(2)若d＝r，则直线与圆相切；(3)若d＞r，则直线与圆相离．
切线的性质 如图30－9，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连结OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；
【解析】 (1)由切线的性质可得OC⊥CD，进而得OC∥AD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠DAC＝∠OAC，问题得证；(2)①根据平行线的性质和三角形内角和定
理可求得∠OCE的度数；②过点O作OG⊥CE，根据垂径定理FG＝CG，解Rt△OGC和Rt△OGE可求得EF的长．解：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO；
(2)①∵OC∥AD，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E＝180°―105°―30°＝45°.②如答图，过点O作OG⊥CE，可得FG＝CG.在Rt△OGC中，OC＝2，∠OCE＝45°，
1．[2017·徐州]如图30－10，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝________．
2．如图30－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
【解析】 (1)如答图，连结OD，由圆的切线性质得到直角，再根据直角三角形的性质得到余角互余，结合同角的余角相等可得证；(2)如答图，连结CD，根据“直径所对的圆周角是直角”得CD⊥AB，由“等角对等边”得到AE＝DE，由圆的切线长定理得DE＝EC，求得AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中由勾股定理求得CD，设BD＝
x，分别Rt△BDC在和Rt△ABC中，由勾股定理建立方程求得x的值，最后在Rt△BDC中，运用勾股定理求BC.
解：(1)证明：如答图，连结OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°， ∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠A＝∠ADE；(2)如答图，连结CD，∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.
3．如图30－12，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．【解析】 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠OCB＝∠OBC，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠EBC，∴∠OBC＝∠EBC，∴BC是∠ABE的平分线；(2)∵CD与⊙O相切于C，∴△DCO为直角三角形．
∵DC＝8，⊙O的半径OA＝6，∴DO＝10，∵BE∥CO，BD和DE相交于点D，
切线的判定　如图30－13，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
【解析】 (1)如答图，连结OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD＝∠A，即可得出∠OCD＝90°，即CD是⊙O的切线；
(2)在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．解：(1)证明：如答图，连结OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；
1．如图30－14，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．
 解： (1)证明：如答图，连结OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线；(2)如答图，过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3，
2．如图30－15，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
【解析】 (1)如答图，连结OD，只要证明OD⊥EC即可；(2)要求AD的长，只需知道AE和ED的长，已知CD和BC，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求OD，再利用△ODC∽ z△AEC求出AE，再由△EAD∽△DAB，可求AD的长．解：(1)证明：如答图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠2＝∠3，∵AD平分CAE，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE∥OD，∴∠E＝∠ODC，∵AE⊥EC，
∴∠E＝90°，∴∠ODC＝90°，∴直线CE是⊙O的切线；(2)如答图，连结BD，在Rt△ODC中，∠ODC＝90°，则OD2＋DC2＝OC2，
切线长定理的运用　如图30－16，直尺、三角尺都和⊙O相切，其中B，C是切点，且AB＝8 cm.求⊙O的直径．解： 如答图，连结OC，OA，OB.∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是C，B，
[2016·邵阳]如图30－17，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠C＝30°，则∠DBA的大小是 (　 　)A．15° B．30° C．60° D．75°
【点悟】　作半径得直角是常用辅助线．
三角形的内切圆的有关计算　[2016·德州]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？ (　 　)A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
1．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为 (　 　)
2．如图30－18，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为 (　 　)A．114° B．122°C．123° D．132°
3．如图30－19，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝________度．【解析】 ∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∴∠OEC＝∠OFC＝90°，∵∠C＝180°－75°－45°＝105°－45°＝60°，∴∠EOF＝360°－(90°＋90°＋60°)＝360°－240°＝120°.
必明3 易错点1．求直线与圆的位置关系时，在图形不明确的情况下，要分类讨论，不要漏解．2．三角形的外接圆与三角形的内切圆，注意弄清“内”与“外”，“接”与“切”的含义．3．内切圆的半径问题常与“面积法”结合在一起运用．
直线与圆的位置关系的陷阱[无锡中考]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是 (　　)A．相切 B．相离C．相离或相切 D．相切或相交【错解】圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切．故选A.【错因】分OP垂直于直线l，OP不垂直于直线l两种情况讨论，错解中忽视第2种情况．