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第九单元 第29课时 圆的有关性质（含答案）
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这是一份第九单元 第29课时 圆的有关性质（含答案），共49页。PPT课件主要包含了小题热身，图29－1，图29－2，第3题答图，图29－3，考点管理，圆的半径，d＝r，直角三角形斜边，的中点等内容，欢迎下载使用。
1．如图29－1，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是 ( )A．AD＝2OB B．CE＝EOC．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
2．在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝ ( )A．20° B．30° C．70° D．110°
3．如图29－2，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC＝___cm.
4．[2017·重庆A卷]如图29－3，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连结AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝____．【解析】 ∵AO＝OC，∴∠ACB＝∠OAC，∵∠AOB＝64°，∴∠ACB＋∠OAC＝64°，∴∠ACB＝64°÷2＝32°.
一、必知8 知识点1．圆的有关概念定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做_____，线段OP叫做__________．圆的集合定义：圆是到定点的距离等于_____的点的集合．
圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做____；经过圆心的弦叫做_____；圆上任意两点间的部分叫做____；大于半圆的弧叫做_____；小于半圆的弧叫做_____；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做____．2．点和圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外⇔____；(2)点在圆上⇔_____；(3)点在圆内⇔____．
3．确定圆的条件确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定____个圆．三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
【智慧锦囊】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的_____，直角三角形的外心是______________________，钝角三角形的外心在三角形的_____．
4．圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个_____对称图形，圆还具有旋转不变性．5．垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的____．推论：(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
【智慧锦囊】用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造出直角三角形求解．
6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦_____．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．7．圆周角圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的_____．
推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是____角；(2)90°的圆周角所对的弦是_____；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧_____．8．圆内接四边形圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．性质：圆内接四边形的对角互补．
二、必会2 方法1．添加辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图29－4；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图29－5.
2．分类讨论在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在圆心同侧还是异侧等．此类问题是中考的热点．
点与圆的位置关系 如图29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是AB上的高线和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是 ( )
A．点P，M均在⊙A内B．点P，M均在⊙A外C．点P在⊙A内，点M在⊙A外D．点P在⊙A外，点M在⊙A内
【点悟】 点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断．
如图29－7，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ( )
圆心角、弧、弦之间的关系 把一张圆形纸片按如图29－8的方式折叠两次后展开(图中的虚线表示折痕)，则的度数是 ( )A．120° B．135°C．150° D．165°
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等．利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等；(3)注意分类讨论思想的应用．
1．如图29－9，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是_____度．
2．如图29－10，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
【解析】 (1)证得等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA＝OB＝BC＝AC；(2)求出AC＝OA＝AP，∠PCO＝90°，∠P＝30°.解：(1)证明：如答图，连结OC.∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC.同理，OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
(2)由(1)知OA＝AC，又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∵∠PAC＝180°－∠OAC＝120°，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PCO＝90°，
垂径定理及其推论如图29－11，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 ( )A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
1．一条排水管的截面如图29－12所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于____m.【解析】 如答图，连结OC，作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于F点，OA＝1 m，EA＝0.6 m，根据勾股定理，得OE＝0.8 m，EF＝0.2 m，则OF＝0.6 m，在△OCF中，OF＝0.6 m，OC＝1 m，得CF＝0.8 m，∴CD＝1.6 m，故答案为1.6 m.
2．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和多次地震却安然无恙．如图29－13，若桥跨度AB约为40 m，主拱高CD约10 m，则桥弧AB所在圆的半径R＝______m.
3．如图29－14①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为______cm.
【解析】 如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可解决问题．如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，∴R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25，脸盆的半径为25 cm.
【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算．
圆周角定理及其推论[2017·台州]如图29－15，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
解： (1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△APE是等腰直角三角形；(2)∵∠PAB＋∠BAE＝∠PAE＝90°，∠PAB＋∠CAP＝∠CAB＝90°，∴∠BAE＝∠CAP，
∴△BAE≌△CAP(SAS)，∴PC＝EB，∵PE为⊙O直径，∴∠PBE＝90°，∴PE2＝PB2＋BE2，∴PC2＋PB2＝PE2＝4.
1．[2017·绍兴]如图29－16，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为______．
2．如图29－17，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【解析】 (1)利用圆周角定理，可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)如答图，在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，得出BP＝CD.从而得到PA，AB，PC的数量关系．∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；(2)PC＝PA＋PB.证明：如答图，在PC上截取PD＝AP，连结AD.∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，
【点悟】 (1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法；(2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化．
必明3 易错点1．弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线．2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径．3．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应用时推出的结论是错误的．
圆的计算中谨防漏解[襄阳中考]圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是 ( )A．7 cm B．17 cmC．12 cm D．7 cm或17 cm
【错解】如答图①，过点O作OE⊥CD，交AB于F，交CD于E，连结OB，OD.∵CD＝10 cm，∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm，∴OE＝12 cm.同理OF＝5 cm，∴EF＝7 cm.故选A.【错因】当已知条件中没有明确的图时，要注意分类讨论，错解忽略这一点，造成丢解．此题可以分两种情况，即两弦在圆心的同一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．
1．如图29－1，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是 ( )A．AD＝2OB B．CE＝EOC．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
2．在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝ ( )A．20° B．30° C．70° D．110°
3．如图29－2，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC＝___cm.
4．[2017·重庆A卷]如图29－3，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连结AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝____．【解析】 ∵AO＝OC，∴∠ACB＝∠OAC，∵∠AOB＝64°，∴∠ACB＋∠OAC＝64°，∴∠ACB＝64°÷2＝32°.
一、必知8 知识点1．圆的有关概念定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做_____，线段OP叫做__________．圆的集合定义：圆是到定点的距离等于_____的点的集合．
圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做____；经过圆心的弦叫做_____；圆上任意两点间的部分叫做____；大于半圆的弧叫做_____；小于半圆的弧叫做_____；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做____．2．点和圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外⇔____；(2)点在圆上⇔_____；(3)点在圆内⇔____．
3．确定圆的条件确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定____个圆．三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
【智慧锦囊】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的_____，直角三角形的外心是______________________，钝角三角形的外心在三角形的_____．
4．圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个_____对称图形，圆还具有旋转不变性．5．垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的____．推论：(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
【智慧锦囊】用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造出直角三角形求解．
6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦_____．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．7．圆周角圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的_____．
推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是____角；(2)90°的圆周角所对的弦是_____；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧_____．8．圆内接四边形圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．性质：圆内接四边形的对角互补．
二、必会2 方法1．添加辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图29－4；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图29－5.
2．分类讨论在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在圆心同侧还是异侧等．此类问题是中考的热点．
点与圆的位置关系 如图29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是AB上的高线和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是 ( )
A．点P，M均在⊙A内B．点P，M均在⊙A外C．点P在⊙A内，点M在⊙A外D．点P在⊙A外，点M在⊙A内
【点悟】 点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断．
如图29－7，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ( )
圆心角、弧、弦之间的关系 把一张圆形纸片按如图29－8的方式折叠两次后展开(图中的虚线表示折痕)，则的度数是 ( )A．120° B．135°C．150° D．165°
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等．利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等；(3)注意分类讨论思想的应用．
1．如图29－9，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是_____度．
2．如图29－10，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．
【解析】 (1)证得等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA＝OB＝BC＝AC；(2)求出AC＝OA＝AP，∠PCO＝90°，∠P＝30°.解：(1)证明：如答图，连结OC.∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC.同理，OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
(2)由(1)知OA＝AC，又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∵∠PAC＝180°－∠OAC＝120°，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PCO＝90°，
垂径定理及其推论如图29－11，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 ( )A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
1．一条排水管的截面如图29－12所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于____m.【解析】 如答图，连结OC，作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于F点，OA＝1 m，EA＝0.6 m，根据勾股定理，得OE＝0.8 m，EF＝0.2 m，则OF＝0.6 m，在△OCF中，OF＝0.6 m，OC＝1 m，得CF＝0.8 m，∴CD＝1.6 m，故答案为1.6 m.
2．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和多次地震却安然无恙．如图29－13，若桥跨度AB约为40 m，主拱高CD约10 m，则桥弧AB所在圆的半径R＝______m.
3．如图29－14①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为______cm.
【解析】 如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可解决问题．如答图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，∴R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25，脸盆的半径为25 cm.
【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算．
圆周角定理及其推论[2017·台州]如图29－15，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
解： (1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△APE是等腰直角三角形；(2)∵∠PAB＋∠BAE＝∠PAE＝90°，∠PAB＋∠CAP＝∠CAB＝90°，∴∠BAE＝∠CAP，
∴△BAE≌△CAP(SAS)，∴PC＝EB，∵PE为⊙O直径，∴∠PBE＝90°，∴PE2＝PB2＋BE2，∴PC2＋PB2＝PE2＝4.
1．[2017·绍兴]如图29－16，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为______．
2．如图29－17，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【解析】 (1)利用圆周角定理，可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)如答图，在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，得出BP＝CD.从而得到PA，AB，PC的数量关系．∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；(2)PC＝PA＋PB.证明：如答图，在PC上截取PD＝AP，连结AD.∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，
【点悟】 (1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法；(2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化．
必明3 易错点1．弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线．2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径．3．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．如果没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，在应用时推出的结论是错误的．
圆的计算中谨防漏解[襄阳中考]圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是 ( )A．7 cm B．17 cmC．12 cm D．7 cm或17 cm
【错解】如答图①，过点O作OE⊥CD，交AB于F，交CD于E，连结OB，OD.∵CD＝10 cm，∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm，∴OE＝12 cm.同理OF＝5 cm，∴EF＝7 cm.故选A.【错因】当已知条件中没有明确的图时，要注意分类讨论，错解忽略这一点，造成丢解．此题可以分两种情况，即两弦在圆心的同一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．
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