2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.3　等腰三角形与直角三角形

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1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD= (　　) A. 　    B. 　    C.a-b　    D.b-a
答案    C　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°,∴∠BDC=72°=∠C,∠ABD=∠A,∴BD=BC,BD=AD,∴AD=BC=b,∴CD=AC-AD=a-b.故选C.
2.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为　　　    .
解析　∵等腰三角形的两底角相等,一个底角为50°,∴180°-50°×2=80°,∴顶角为80°.
3.(2019四川成都,12,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长 为　　　    . 
解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴CE=BD=9.
4.(2020辽宁营口,17,3分)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段 AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为　　　    . 
解题关键　解决本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股定理求出 线段CF的长.
5.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是　　        .
解析　等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论:①若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10;②若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11.故其周长为10或11.
6.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰△ABC底角的度数为　　　    .
答案　15°或45°或75°
解析　如图1,当BA=BC时,∵BD⊥AC,∴AD=CD= AC.∵BD= AC,∴AD=BD=CD,∴∠A=∠C= ×(180°-90°)=45°.
如图2,当AB=AC且∠A为锐角时,∵BD= AC= AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°.
如图3,当AB=AC且∠BAC为钝角时,∵BD= AC= AB,∴∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ACB= ×30°=15°.同理,当BC=AC时,可求得∠CBA=∠CAB=75°或15°.故答案为15°或45°或75°.
方法点拨　等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.
7.(2019吉林,24,8分)性质探究如图1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为　　　    . 理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为　　　    ;(2)如图2,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.
类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　　    (用含α的式子表示).
解析    性质探究 . (2分)理解运用(1)4 . (3分)(2)①证明:∵EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG. (5分)∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH. (6分)②5 . (7分)提示:由①可知∠EFG+∠EHG=∠FGH.∵∠FGH=120°,∴∠EFG+∠EHG=120°.∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=120°.连接FH.
 ∵EF=EH,∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形,由性质探究可知FH= EF.又∵EF=10,∴FH=10 .∵M,N分别为FG和GH的中点,∴MN为△FHG的中位线,∴MN= FH=5 .类比拓展2sin α. (8分)
提示:如图,作AD⊥BC于点D,∴∠BAD=α,∴BD=ABsin α,∴BC=2ABsin α,∴底边BC与腰AB的长度之比为2sin α. 
1.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是 (　　) A.1,4,5　    B.2,3,5　    C.3,4,5　    D.2,2,4
答案    B　围成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长,根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的 关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.其 他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1;B选项中,直角三角形的面积为 ;D选项中,直角三角形的面积为1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积最大,故选B.
解题关键　熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键.
2.(2020贵州贵阳,16,8分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下 列要求画三角形.(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数. 
解析　(答案不唯一)(1)如图①.(2)如图②.(3)如图③. 
3.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;(2)求证:△ABC的内角和等于180°;(3)若 = ,求证:△ABC是直角三角形. 
解析　(1)∠C>∠A+∠B.(2)证明:如图,过点B作直线DE∥AC, ∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBE.又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°,∴∠A+∠ABC+∠C=180°,∴△ABC的内角和等于180°.(3)证明:原式可变形为 = ,
∴(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形.
4.(2019贵州贵阳,25,12分)(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于 点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB= BE+AF,求∠ADB的度数;(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系. 
解析　(1)∵四边形DECF为正方形且D为等腰直角△ABC斜边AB的中点,∴AF=FC=CE=EB=DE=FD.在Rt△AFD和Rt△BED中,AD= AF,BD= BE,∴AB=AD+BD= (AF+BE).(2)∵四边形DECF是正方形,∴DF=DE.
∴△ABD≌△A'BD,∴∠ADB=∠A'DB,∴(3)由(2)得,AD,BD分别是∠CAB和∠CBA的平分线,∴∠MAD=∠FAD,∠NBD=∠EBD.由题意得EM∥CA,FN∥CB,∴∠MDA=∠FAD,∠NDB=∠EBD,∴∠MDA=∠MAD,∠NDB=∠NBD,∴AM=MD,ND=BN.在Rt△MDN中,MN2=MD2+ND2,∴MN2=AM2+BN2.
将△ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90°得到△A'DE,如图,∴AD=A'D,AF=A'E,且∠ADA'=90°.∵AB=BE+AF,∴AB=BE+A'E=A'B.在△ABD和△A'BD中,∵ 
难点突破　对于第(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰△ADM和等腰△ BDN,把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解.
1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该 结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 (　　) A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C
答案    B　无论作∠APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PC⊥AB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.
2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为  (　　)A.2 cm　　B.4 cm　　C.6 cm　　D.8 cm
答案    A　当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=40.尝试　化简整式A.发现    A=B2.求整式B.联想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:
解析　尝试    A=n4-2n2+1+4n2 (2分)　　　=n4+2n2+1. (4分)发现　∵A=n4+2n2+1=(n2+1)2,且A=B2,B>0,∴B=n2+1. (7分)联想　勾股数组Ⅰ　17 (8分)勾股数组Ⅱ　37 (9分)提示:勾股数组Ⅰ　∵2n=8,∴n=4.由发现可知,B=n2+1=16+1=17.勾股数组Ⅱ　∵n2-1=35,∴B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟　分值:60分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,5)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A= (　　) A.50°　    B.75°C.80°　    D.50°或80°
答案    C　∵在△ABC中,AB=AC,∴∠C=∠B=50°,∴∠A=180°-∠B-∠C=80°.故选C.
2.(2020陕西西安高新一中一模,6)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,AC=6,则 点D到AB的距离为 (　　) A. 　    B. 　    C.2 　    D.3 
答案    C　作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,又AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=30°.∵AC=6,∴CD= AC=2 .∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=CD=2 .故选C.
3.(2019贵州毕节3月模拟,11)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED= 3,则BC的长为(　　) A.3 　    B.3 　    C.6　    D.6 
答案    D　∵AD=ED=3,AD⊥BC,∴△ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得AE= =3 .在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E为BC的中点,∴AE= BC,∴BC=2AE=6 ,故选D.
4.(2018云南昭通昭阳模拟,2)若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边的长为 (　　)A.13　    B.13或 　    C.13或15　    D.15
二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2020内蒙古包头4月模拟,18)已知等腰三角形的底角是30°,腰长为2 ,则它的周长是　　　    .
6.(2020上海黄浦一模,13)如果等腰△ABC中,AB=AC=3,cs∠B= ,那么cs∠A=　　　    .
7.(2019四川成都双流一模,12)如图,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延 长线于点D,连接BD.若∠A=44°,则∠CDB的度数是　　　    . 
8.(2019天津河东一模,17)如图,△ABC是等边三角形.P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段 BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为　　　    . 
三、解答题(共36分)9.(2020北京平谷一模,19)如图,OG平分∠MON,点A是边OM上一点,过点A作AB⊥OG于点B,C为线段OA 的中点,连接BC.求证:BC∥ON. 
10.(2020北京丰台一模,19)如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E.求证:AD=BE. 证明　∵∠CAB=∠CBA,∴CA=CB.∵AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,∴∠ADC=∠BEC=90°,又∵∠ACD=∠BCE,∴△ADC≌△BEC(AAS).∴AD=BE.
11.(2019云南昆明盘龙一模,16)已知:如图,△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,点D,E,C在同一条直线上, 连接BD.(1)求证:△ADB≌△AEC;(2)求∠BDC的度数. 
解析　(1)证明:∵△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=90°,∵∠DAB+∠BAE=90°,∠EAC+∠BAE=90°,∴∠DAB=∠EAC.在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS).(2)由(1)中△ADB≌△AEC,得∠ADB=∠AEC,∵△ADE为等腰直角三角形,∠DAE=90°,∴∠ADE=∠AED=45°,∴∠AEC=180°-∠AED=135°,∴∠ADB=∠AEC=135°,∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°.
12.(2019黑龙江哈尔滨平房一模,24)已知:△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,连接CE.(1)如图1,求证:BD=CE;(2)如图2,点M在AC边上,且AM=CD,连接EM交AB于点N,连接DM、DN,在不添加任何辅助线的情况下,请 直接写出图2中四条与线段BD相等的线段(线段CE除外). 
解析　(1)证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.(2)与线段BD相等的线段(线段CE除外)有:ME、CM、BN、DN.详解:∵△BAD≌△CAE,∴∠ACE=∠B=60°.∵∠ADC=60°+∠EDC=60°+∠BAD,∴∠EDC=∠BAD.∵∠BAD=∠CAE,∴∠EDC=∠EAM.
又∵MA=CD,AE=DE,∴△MAE≌△CDE(SAS),∴EM=EC.∵∠MCE=60°,∴△MCE是等边三角形,∴∠CME=∠AMN=60°.∵∠MAN=60°,∴△AMN是等边三角形,∴AN=AM.∵AB=AC,∴BN=CM.∵BD=EC=CM,∴BD=BN.∵∠B=60°,∴△BND是等边三角形,∴BD=BN=ND.∴与线段BD相等的线段(线段CE除外)有:ME、CM、BN、DN.
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟　分值:50分一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2020陕西西安西北工大附中二模,6)如图,△ABC中,AB=AC,∠C=70°,BD是AC边上的高线,点E在AB上, 且BE=BD,则∠ADE的度数为 (　　) A.20°　    B.25°　    C.30°　    D.35°
答案    B　∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠C=70°.∵BD⊥AC,∴∠DBC=20°,∴∠ABD=50°.∵BE=BD,∴∠EDB=∠DEB= =65°,∴∠ADE=90°-∠EDB=25°.故选B.
2.(2018天津河东一模,11)如图,在底边BC为2 ,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分AB,交AB于点D,交BC于点E,则△ACE的周长为 (　　) A.2+ 　    B.2+2 　    C.4　    D.3 
答案    B　∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=2 ,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ,故选B.
3.(2019内蒙古鄂托克旗一模,8)如图,以直角三角形的边a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角 三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为 (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4
答案    D　对于题图(1),S1= a2,S2= b2,S3= c2,∵a2+b2=c2,∴ a2+ b2= c2,∴S1+S2=S3.对于题图(2),S1= a2,S2= b2,S3= c2,∵a2+b2=c2,∴ a2+ b2= c2,∴S1+S2=S3.对于题图(3),S1= a2,S2= b2,S3= c2,∵a2+b2=c2,∴ a2+ b2= c2,∴S1+S2=S3.对于题图(4),S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.
综上,可得面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.故选D.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2020江西南昌一模,12)在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,点P是斜边AB上一点,若△PAC是等腰三角形,则线 段AP的长可能为　　　　　　    . 
答案　3,2.5或 
5.(2020江西南昌二模,12)已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴非负半轴上,点C的坐标为(8,6),点 E是x轴上任意一点,连接EC,交AB所在直线于点F,当△ACF为等腰三角形时,EF的长为　　　　　    .
(2)如图②,当AF=AC=8时,由已知得AB=10,
∴在Rt△OBC中,由勾股定理得OC=10,∵四边形AOBC为矩形,∴EF=5.
∵四边形AOBC为矩形,∴AC∥OB,∴△AFC∽△BFE,∴ = = ,∴BE=BF=10-8=2,∴ = =4.在Rt△BCE中,由勾股定理得CE= =2 ,∴EF= CE= .
(3)如图③,当CF=AC=8时,过点C作CD⊥AF于点D,∴AD=DF.
由(2)知AB=10,∴CD= = ,在Rt△ACD中,由勾股定理得AD= = ,∴BD=AB-AD=10- = ,DF=AD= ,AF= ,∴BF=DF-BD= ,∵AC∥OE,∴△AFC∽△BFE,∴ = ,∴ = ,∴BE= .∵CF=AC,∴EF=BE,∴EF= .
综上所述,EF的长为5或 或 .
一题多解　思路:本题可以求出直线AB的解析式为y=- x+6,设F ,用两点之间的距离公式表示出AF、CF、AC的长,然后分三种情况求出点F的坐标,即可求出EF的长.
6.(2019黑龙江哈尔滨模拟,19)在△ABC中,AB=AC=5 ,∠BAC=90°,点D在BC边上,DE⊥BC,分别交射线BA、射线CA于点E、F,若DE=2EF,则线段BD的长为　　　    .
 ②如图2,∵在△ABC中,AB=AC=5 ,∠BAC=90°,∴BC=10,∠C=45°.∵DE⊥BC,∴∠CDF=90°,∴∠CFD=∠AFE=∠E=45°,
∴CD=DF,AE=AF.设CD=x,则CF= x.∵DE=2EF,∴EF=DF=x,∴AF= EF= x.∵AC=AF+CF,∴ x+ x=5 ,∴x= ,∴CD= ,∴BD= .综上所述,线段BD的长为4或 .
7.(2019内蒙古呼和浩特4月模拟,16)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形) 分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明 了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为　　　    . 
三、解答题(共29分)8.(2020北京丰台一模,27)已知∠AOB=120°,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一 点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.(1)依据题意补全图1;(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明. 
解析　(1)如图. (2)∠CQO+∠CPO=180°.理由如下:∵四边形内角和为360°,且∠AOB=120°,∠PCQ=60°,∴∠CQO+∠CPO=360°-∠AOB-∠PCQ=180°.(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4.证明:在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD.则OP+OQ=OP+DP=OD.如图,∵∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠3.∵CP=CQ,在△CQO和△CPD中, ∴△CQO≌△CPD(SAS).∴∠4=∠6,OC=CD.∵∠4+∠5=60°,∴∠5+∠6=60°,即∠OCD=60°.∴△COD是等边三角形.∴OC=OD=OP+OQ=4.
9.(2020北京密云一模,27)已知∠MCN=45°,点B在射线CM上,点A是射线CN上的一个动点(不与点C重合). 点B关于CN的对称点为点D,连接AB、AD和CD,点F在直线BC上,且满足AF=AB.小明在探究图形运动的 过程中发现:AF⊥AD始终成立.(1)如图1,当0°