2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§6.3　解直角三角形

这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§6.3　解直角三角形，共60页。
1.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 (　　)A.1　    B. 　    C. 　    D.2
2.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的 夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为 (　　)A.3sin α米　    B.3cs α米C. 米　    D. 米
1.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC= (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    B　如图,作BD⊥AC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1,∴AB= = ,又∵BD= = ,∴sin∠BAC= = = .故选B.
2.(2020安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cs A= ,则BD的长度为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D.4
3.(2019陕西,6,3分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为 (　　) A.2+ 　    B. + 　    C.2+ 　    D.3
4.(2019浙江杭州,14,4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cs C=　　　    .
解析　①当AC为斜边,AB为直角边时,如图. ∵2AB=AC,∴BC= = AB,∴cs C= = = .②当AB,AC均为直角边时,如图. ∵2AB=AC,∴BC= = AB,
∴cs C= = = .综上所述,cs C= 或 .
5.(2019新疆,14,5分)如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交 BC的延长线于点E,则DE的长为　　　    . 
解析　由旋转得,∠CAD=∠CAB=30°,AD=AC=4,∴∠BCA=∠ACD=∠ADC=75°.∴∠ECD=180°-2×75°=30°.∴∠E=75°-30°=45°.过点C作CH⊥AE于H点, 在Rt△ACH中,CH= AC=2,AH=2 .
∴HD=AD-AH=4-2 .在Rt△CHE中,∠E=45°,∴EH=CH=2.∴DE=EH-HD=2-(4-2 )=2 -2.
思路分析　根据旋转的性质可知∠CAD=∠CAB=30°,AD=AC=4.从而得到∠DCE=30°,∠E=45°.过点C作 CH⊥AE于H点,在Rt△ACH中,求出CH和AH的长,在Rt△CHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可 求解.
考点三　锐角三角函数的应用
1.(2020重庆A卷,9,4分)如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i=1∶0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的 仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 28°≈0.47, cs 28°≈0.88,tan 28°≈0.53) (　　) A.76.9 m　　B.82.1 mC.94.8 m　　D.112.6 m
答案    B　过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E,作DF⊥AB,交AB于F,设DE=x m,因为山坡CD的坡比为 1∶0.75,所以x2+(0.75x)2=452,解得x=36,则CE=0.75×36=27 m,BF=DE=36 m,所以DF=BE=60+27=87 m,在 Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan 28°≈87×0.53=46.11 m,故AB=36+46.11=82.11≈82.1 m,故选B. 
2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角 为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为　　　    m.(结果取整数.参考数据:sin 53°≈0. 80,cs 53°≈0.60,tan 53°≈1.33) 
解析　∵∠BDC=45°,∠BCD=90°,∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=180°-90°-45°=45°,∴∠BDC=∠DBC,∴BC=DC=10 m.在Rt△ADC中,tan∠ADC= ,∴tan 53°= ,∴AC=10tan 53°≈10×1.33=13.3 m.∴AB=AC-BC=13.3-10=3.3≈3 m.故答案为3.
思路分析　因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC≈13.3 m,进一 步可求出AB的长度.
3.(2020广西北部湾经济区,23,8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向,距离小岛40 n mile的点A 处,它沿着点A的南偏东15°的方向航行.(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?(2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20  n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少 (结果保留根号)? 
解析　(1)过B点作AC的垂线BD,交AC于点D, 由垂线段最短,知AC上的D点距离B点最近,AD即为所求,由题意可知∠BAF=30°,∠CAF=15°,∴∠BAD=45°,∴AD=BD=ABsin 45°=40× =20  n mile,∴渔船航行20  n mile时,距离小岛B最近.(2)在Rt△BDC中,tan C= = = ,∴∠C=30°,∠DBC=60°,
∴BC= =40  n mile,∵∠ABD=45°,∠ABE=90°-30°=60°,∴∠DBE=15°,∴∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°.答:从B处沿南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短,最短航程为40  n mile.
思路分析　(1)过B点作AC的垂线BD交AC于点D,则AD为所求,根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答;(2)根据特殊角的三角函数值得到∠C=30°,∠DBC=60°,从而求出BC的长度,再求出∠DBE的大小,即可得 到∠EBC的大小.
4.(2020海南,20,10分)为了促进海口主城区与江东新区联动发展,文明东越江通道将于今年年底竣工通 车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图,隧道AB在水平直线上,且无人 机和隧道在同一个铅垂面内,无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行,到达点P处测得点A的俯角为3 0°,继续飞行1 500米到达点Q处,测得点B的俯角为45°.(1)填空:∠A=　　　    度,∠B=　　　    度;(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米).(参考数据: ≈1.414, ≈1.732) 
解析　(1)30;45. (4分)(2)过点P作PM⊥AB于点M,过点Q作QN⊥AB于点N, 则PM=QN=450米,MN=PQ=1 500米,在Rt△APM中,∵tan A= ,∴AM= = = =450 (米), (6分)
在Rt△QNB中,∵tan B= ,∴NB= = = =450(米), (8分)∴AB=AM+MN+NB=450 +1 500+450≈2 729(米). (9分)答:隧道AB的长度约为2 729米. (10分)
思路分析　(1)根据平行线的性质即可得解;(2)分别作PM⊥AB,QN⊥AB,构造直角三角形,然后利用锐角 三角函数求出AM和NB的长,而NM=PQ,问题即可解决.
5.(2020江西,20,8分)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是 其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑 板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直 线DE上即可,求CD旋转的角度.(参考数据:sin 40°≈0.643,cs 40°≈0.766,tan 40°≈0.839,sin 26.6°≈0.448,cs 26.6°≈0.894,tan 26.6°≈0.5 00, ≈1.732)
解析　(1)如图1,过点C作CH⊥DE于点H.∵CD=80,∠CDE=60°,∴sin 60°= = = ,∴CH=40 ≈40×1.732=69.28. 图1作AM⊥DE交ED的延长线于点M,CN⊥AM于点N,则四边形NMHC是矩形.∴MN=CH=40 ,NC∥MH,∴∠NCD=∠CDE=60°.∵∠DCB=80°,
∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.∵sin∠ACN= ,AC=80,∴AN=80sin 40°≈80×0.643=51.44.∴AM=AN+NM=51.44+69.28≈120.7.答:点A到直线DE的距离为120.7 mm.(2)解法一:∵AB绕着点C逆时针旋转10°,∴∠DCB=90°.如图2. 图2连接BD.
∵DC=80,CB=40,∴tan∠CDB= = =0.5.∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°.答:CD旋转的度数约为33.4°.解法二:当点B落在DE上时,如图3. 图3在Rt△BCD中,BC=40,CD=80,
(∠DCB=90°,同解法一)∴tan∠BDC= = =0.5.∴∠BDC≈26.6°.∴∠CDC'=∠BDC'-∠BDC≈60°-26.6°=33.4°.答:CD旋转的度数约为33.4°.
6.(2019甘肃兰州,25,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行 了探究,过程如下:问题提出:图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大 限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 
方案设计:如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.数据收集:通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角 ∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠ BDC=30.56°);窗户的高度AB=2 m.问题解决:根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cs 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cs 77.4 4°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
解析　在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠BDC=30.56°,∵tan∠BDC= ,∴BC=tan∠BDC·CD.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,∠ADC=77.44°,∵tan∠ADC= ,∴AC=tan∠ADC·CD.∵AC-BC=AB,∴tan∠ADC·CD-tan∠BDC·CD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,∴CD≈0.5.答:遮阳篷CD的长约为0.5 m.
思路分析　首先在Rt△BCD和Rt△ACD中利用正切分别表示出BC和AC,再由题图可知AC-BC=AB,代入 数据即可求出CD的长.
7.(2019贵州贵阳,21,8分)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图,图中OP为下 水管道口直径,OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开,可排出城市污水;当 河水上涨时,阀门会因河水压迫而关闭,以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB=OP=100 cm,OA为检修 时阀门开启的位置,且OA=OB.(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围;(2)为了观测水位,当下水道的水冲开阀门到达OB位置时,在点A处测得俯角∠CAB=67.5°,若此时点B恰 好与下水道的水平面齐平,求此时下水道内水的深度.(结果保留小数点后一位)( ≈1.41,sin 67.5°≈0.92,cs 67.5°≈0.38,tan 67.5°≈2.41,sin 22.5°≈0.38,cs 22.5°≈0.92,tan 22.5°≈0.41)
解析　(1)阀门OB被下水道的水冲开与被河水关闭过程中,0°≤∠POB≤90°.(2)∵OA⊥AC,∠CAB=67.5°,∴∠BAO=22.5°.∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=22.5°,∴∠BOP=45°.过点B作BD⊥OP于点D. 在Rt△BOD中,∵OB=OP=100 cm,
∴OD=50  cm,∴PD=100-50 ≈29.5 cm.即此时下水道内水的深度约为29.5 cm.
方法指导　求角的三角函数值或者线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直 角三角形中(如果没有直角三角形,就设法构造直角三角形),再利用特殊角的锐角三角函数求出它们的 解.
8.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°; 再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计) 
解析　过点C作CH⊥AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分) 在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴AH=CH=BD.∴AB=AH+BH=BD+0.5. (2分)∵EF⊥FB,AB⊥FB,∴∠EFG=∠ABG=90°.由题意,易知∠EGF=∠AGB,∴△EFG∽△ABG. (4分)
∴ = ,即 = . (5分)解之,得BD=17.5. (6分)∴AB=17.5+0.5=18.∴这棵古树的高AB为18 m. (7分)
思路分析　首先在Rt△ACH中利用45°角得出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明△EFG∽△ ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树的高度AB.
解题关键　解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找 准三角形.
9.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次 海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80 海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正 南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 
解析　由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.在Rt△ACD中,cs∠ACD= ,∴0.34≈ ,∴CD≈27.2,在Rt△BCD中,tan∠BCD= ,∴0.75≈ ,∴BD≈20.4.答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.
2.(2019广东广州,3,3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan ∠BAC= ,则此斜坡的水平距离AC为 (　　) A.75 m　　B.50 m　　C.30 m　　D.12 m
1.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2 ,则BE的长为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    A　在Rt△ABC中,AB= = =2 ,∴sin∠ABC= = = ,∵D是AB的中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠ABC,在Rt△BCE中,sin∠ECB= = ,∴ = ,解得BE= .
2.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若∠CMD=120°, 则CD的最大值为　　　    . 
难点突破　考虑到点A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称点A'与点B 关于DM的对称点B'都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口.
3.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为　　　    .
4.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且 ∠BDE=15°,DE=4 ,DC=2 .(1)求BE的长;(2)求四边形DEBC的面积.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 
解析　(1)在四边形ABCD中,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=45°.∵∠BDE=15°,∴∠ADE=30°.在Rt△ADE中,∵DE=4 ,∴AE=sin 30°×4 =2 ,AD=cs 30°×4 =6.∴AB=AD=6,∴BE=6-2 . (5分)(2)过点D作DF⊥BC于点F,
∴∠BFD=90°.∵∠BAD=∠ABC=90°,∴四边形ABFD是矩形,∴BF=AD=6,DF=AB=6.在Rt△DFC中,∵DC=2 ,∴FC=4 ,∴BC=6+4 .
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BDC=36+6 . (8分)
1.(2019浙江温州,8,4分)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 (    　) A.  米　    B.  米C.  米　    D.  米
2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树 活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距 离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的 剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 (　　)(参考数据:sin 48°≈0.74,cs 48°≈0.67,tan 48°≈1.11) A.17.0米　    B.21.9米　    C.23.3米　    D.33.3米
答案    C　延长DC交直线EA于点F.∵i= = = ,∴设CF=5x米,AF=12x米,且x>0.在Rt△ACF中,AC= =13x=26,∴x=2,∴CF=10米,AF=24米.∵AE=6米,∴EF=EA+AF=6+24=30米.在Rt△EDF中,tan∠AED=tan 48°= ,∴DF=EF·tan 48°≈30×1.11=33.3米,∴CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.
3.(2019广东,15,4分)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15  米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是　　　　　    米(结果保留根号). 
答案　(15+15 )
4.(2020内蒙古包头,22,8分)如图,一个人骑自行车由A地到C地途经B地.当他由A地出发时,发现他的北偏 东45°方向有一电视塔P,他由A地向正北方向骑行了3  km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.(1)求A地与电视塔P的距离;(2)求C地与电视塔P的距离. 
解析　(1)过点B作BD⊥AP于点D,∴∠ADB=90°. ∵∠BAP=45°,∴∠ABD=45°.在Rt△ADB中,∵sin A= ,AB=3 ,∴AD=BD=3 × =3.∵∠NBP=75°,∴∠APB=∠NBP-∠A=30°.在Rt△BDP中,∵tan∠DPB= = ,∴DP=3 .
∴AP=AD+PD=3+3 km.∴A地与电视塔P的距离为(3+3 )km. (5分)(2)在Rt△BDP中,∵∠BPD=30°,BD=3,∴BP=6.∵BC=6,∴BP=BC.∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=60°,∴△BCP为等边三角形,∴CP=BC=6.∴C地与电视塔P的距离为6 km. (8分)
思路分析　(1)已知AB的长及∠BAP,∠NBC,∠NBP的度数,求AP的长,关键在于将AB及已知角构造到直 角三角形中,过B作BD⊥AP于点D,在Rt△ABD中,利用三角函数求得AD,BD的长,然后在Rt△BDP中,利用 三角函数求得DP的长,从而求得AP的长;(2)在Rt△BDP中,利用三角函数求得BP的长,得△BCP为等腰三 角形,又求得∠CBP=60°,证得△BCP为等边三角形,得CP的长.
5.(2020吉林,20,7分)如图,某班数学小组测量塔的高度,在与塔底部B相距35 m的C处,用高1.5 m的测角仪 CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°.求塔AB的高度(结果精确到1 m).(参考数据:sin 36°≈0.59,cs 36° ≈0.81,tan 36°≈0.73) 
解析　根据题意,得∠EDA=36°,BE=CD=1.5 m,DE=CB=35 m.在Rt△ADE中,∠AED=90°,∵tan∠EDA= , (2分)∴ ≈0.73. (4分)∴AE=25.55(m). (5分)∴AB=AE+BE=25.55+1.5≈27(m). (7分)答:塔AB的高度约为27 m.
6.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45°,塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 22°≈0.37,cs 22°≈0.93,tan 22°≈0.40) 
解析　如图所示,过D作DF⊥AB于F,则四边形CDFB是矩形,∴CD=BF=61米, 在Rt△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=45°,∴AF=DF,在Rt△DFB中,tan 22°= ,∴DF= ≈ =152.5米,∴AB=AF+BF=152.5+61=213.5米≈214米.答:观景台的高AB约为214米.
7.(2020辽宁营口,22,12分)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行, 在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔 船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据: ≈1.73) 
解析　没有触礁的危险. (1分)理由:过点A作AN⊥BC交BC延长线于点N. (2分) 由题意得∠ABE=60°,∠ACD=30°.∴∠ACN=60°,∠ABN=30°.∵AN⊥BC,∴∠ANC=90°. (4分)
设AN=x海里,在Rt△ACN中,∵tan∠ACN= ,∴CN= = = x. (6分)在Rt△ABN中,∵tan∠ABN= ,∴BN= = = x. (8分)∴BC=BN-CN= x- x= x.∵BC=12,∴ x=12, (9分) ∴x=6 , (10分)∴AN=6 ≈6×1.73=10.38(海里). (11分)
∵10.38>10,∴没有触礁的危险. (12分)
8.(2020陕西,20,7分)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大 厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能 在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得商业大厦底部M的 俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31 m,BC=18 m, 试求商业大厦的高MN. 
解析　如图,过点C作CE⊥MN,垂足为E,过点B作BF⊥MN,垂足为F, ∴∠CEF=∠BFE=90°.∵CA⊥AM,NM⊥AM,∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形.∴CE=BF,ME=AC. (3分)又知∠1=∠2,∴△BFN≌△CEM. (5分)∴NF=ME=31+18=49.
由矩形性质,易得EF=CB=18,∴MN=NF+EM-EF=49+49-18=80(m).∴商业大厦的高MN为80 m. (7分)
9.(2020新疆,20,9分)如图,为测量建筑物CD的高度,在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°,再向建筑物 CD前进30米到达B点,测得建筑物顶部D点的仰角为58°(A,B,C三点在一条直线上),求建筑物CD的高度. (结果保留整数.参考数据:sin 22°≈0.37,cs 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,cs 58°≈0.53,tan 58° ≈1.60) 
解析　设建筑物CD的高度为x m,在Rt△BCD和Rt△ADC中,tan 58°= ,tan 22°= ,∴BC= = ,AC= = .则 - =30,即 - =30,解得x=16.答:建筑物CD的高度为16 m.
10.(2020云南昆明,21,9分)【材料阅读】　2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛 峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2 个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所 以当两个测量点的水平距离大于300 m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f= (其中d为两点间的水平距离,R为地球的半径,R取6 400 000 m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高 度+球气差.【问题解决】　某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距 离d=800 m,测量仪AC=1.5 m,觇标DE=2 m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪 测得山顶觇标顶端E的仰角为37°,测量点A处的海拔高度为1 800 m.(1)数据6 400 000用科学记数法表示为　　　    ;(2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01 m)(参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
解析　(1)6.4×106. (2分)(2)过点C作CM⊥EB,垂足为M, 由题意得∠ECM=37°,四边形ABMC为矩形,则CM=AB=800 m,BM=AC=1.5 m, (4分)在Rt△CME中,∠CME=90°,
tan∠ECM= , (5分)∴EM=CMtan∠ECM=800×tan 37°≈800×0.75=600 m,(6分)∵d=800 m,R=6 400 000 m,∴f= = =0.043 m,∴该山的海拔高度为(600+1.5-2)+1 800+0.043≈2 399.54(m). (8分)答:该山的海拔高度约为2 399.54 m. (9分)
11.(2020天津,22,10分)如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221 m,∠ACB=45 °,∠ABC=58°.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数).参考数据:sin 58°≈0.85,cs 58°≈0.53,tan 58°≈1.60. 
解析　如图,过点A作AH⊥CB,垂足为H. 根据题意,∠ACB=45°,∠ABC=58°,BC=221.∵在Rt△CAH中,tan∠ACH= ,∴CH= =AH.∵在Rt△BAH中,tan∠ABH= ,sin∠ABH= ,∴BH= ,AB= .
又CB=CH+BH,∴221=AH+ ,可得AH= .∴AB= ≈ =160.答:AB的长约为160 m.
思路分析　本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形,本题已知∠ B、∠C的度数和BC的长,因此,过A点作BC的垂线AH构造直角三角形,用AH分别表示出BH、CH和AB, 进而求得AB的长.
12.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平 桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE, 经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1)(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=　　　    °;②求投影探头的端点D到桌面OE的距离;(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin 70°≈0.94,cs 20°≈0.94,sin 36.8°≈0.60,cs 53.2°≈0.60)
解析　(1)①160.②如图1,延长OA交BC于点F. 图1∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.∵BC∥OE,∴∠AOE=∠BFO=90°,在Rt△ABF中,AB=30 cm,∵sin∠B= ,∴AF=AB·sin∠B=30·sin 70°≈30×0.94=28.20(cm).∴AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).
答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm.(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2在Rt△BCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).∵sin∠HBC= ,∴sin∠HBC= =0.6.∵sin 36.8°≈0.60,∴∠HBC≈36.8°,∴∠ABC=70°-36.8°=33.2°.答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,∠ABC为33.2°.
13.(2019浙江温州,16,5分)图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所 示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO =FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为　　　    分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO 延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'-BE为　　　    分米. 图1　　　　　　　　　　　图2
答案　(5+5 );4
∴∠AON=30°,∴AN=OAsin 30°=10× =5分米,又MN=OT=OCsin 60°=10× =5  分米,∴AM=(5+5 )分米.作E'K⊥OF交FO的延长线于K. 则∠KOE'=∠COD=60°,
设OK=x分米,则KE'= x分米,在△KE'F中,( x)2+(x+4)2=62,即3x2+x2+8x+16=36,解得x1= -1,x2=- -1(舍),∴OE'=2( -1)=(2 -2)分米,作FN⊥OB,交OB于N,则FN=OFsin 60°=2  分米,NE= =2  分米,ON=OFcs 60°=4× =2分米,∴OE=(2 +2)分米,∴B'E'-BE=(OB'-OE')-(OB-OE)=OE-OE'=4分米.
14.(2019山东潍坊,20,6分)自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众 步行健身,某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为 1∶ ;将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号) 
解析　在Rt△ABE中,∵tan∠ABE=1∶ ,∴∠ABE=30°. (1分)∵AB=200,∴AE=100. (2分)∵AC=20,∴CE=100-20=80. (3分)在Rt△CDE中,∵tan D=1∶4,∴sin D= , (4分)∴ = , (5分)∴CD=80 (米).答:斜坡CD的长是80  米. (6分)
15.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要 绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66°方向,现要打通穿 山隧道,建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的 三角形,求甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可). 
解析　过C作CD⊥AB,垂足为D, 在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AD=AC·sin 30°=460× =230 km,CD=AC·cs 30°=460× =230  km,在Rt△BCD中,tan∠BCD= ,而∠BCD=66°,∴BD=CD·tan 66°=230 tan 66° km,
∴AB=AD+DB=230(1+ tan 66°)km.答:甲乙两地之间直达高速线路的长AB为230(1+ tan 66°)km.
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟　分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)
答案    A　如图所示,在Rt△ABD中,tan∠ABC= = .故选A.
2.(2020四川成都青白江一诊,5)已知cs α= ,且α是锐角,则α= (　　)A.75°　    B.60°　    C.45°　    D.30°
3.(2020吉林长春一模,7)如图,在莲花山滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角 为32°,缆车速度为每分钟50米,缆车从山脚下A到达山顶B需要16分钟,则山的高度BC为 (　　) A.800sin 32°米　    B. 米C.800tan 32°米　    D. 米
答案    A　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=32°,AB=50×16=800(米),sin∠BAC= ,∴BC=AB·sin∠BAC=800sin 32°(米).故选A.
4.(2019黑龙江哈尔滨一模,10)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示的方 式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    C　根据题意得,BE=AE.设CE=x,则BE=AE=8-x.在Rt△BCE中,根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,解得x= ,∴tan∠CBE= = = .故选C.
5.(2018天津红桥一模,10)在△ABC中,AB=AC=13,BC=24,则tan B等于 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    B　如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=24,过A作AD⊥BC于D,则BD=12, 在Rt△ABD中,AB=13,BD=12,则AD= =5,故tan B= = .故选B.
二、填空题(每小题3分,共9分)6.(2018甘肃定西一模,11)在△ABC中,∠B=45°,cs A= ,则∠C的度数是　　　    .
7.(2020上海静安一模,13)如图,在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60°,已知A、C两点 间的距离为15米,那么大楼AB的高度为　　　    米.(结果保留根号) 
8.(2020四川成都一诊,14)如图,在△ABC中,AB=BC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交BC于点C和点D,再 分别以点C,D为圆心,大于 CD长为半径画弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点M,若CM=1,BD=3,则sin B=　　　    . 
三、解答题(共31分)9.(2020甘肃兰州一诊,25)图1是一座现代化大型单塔双面扇形斜拉桥,主桥采用独塔双面索斜拉设计,主 桥桩呈“H”形,两侧用钢丝绳斜拉固定. 图1　　　　　　　　　　　　　　　图2问题提出:如何测量主桥桩顶端至桥面的距离?方案设计:
如图2,某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量,在桥面B处测得∠ABC=26.57°,再沿BD方向走21 米至C处,在C处测得∠ACD=30.96°.问题解决:根据上述方案和数据,求该大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD的长.(结果精确到1米,参考数据:sin 26.57°≈0.447,cs 26.57°≈0.894,tan 26.57°≈0.500,sin 30.96°≈0.514,cs 3 0.96°≈0.858,tan 30.96°≈0.600)
解析　∵在Rt△ABD中,∠ABD=26.57°,∴BD= ≈ =2AD.∵在Rt△ACD中,∠ACD=30.96°,∴CD= ≈ = AD.∵BD-CD=BC=21,∴2AD- AD=21,∴AD=63.答:该大桥主桥桩顶端至桥面的距离AD的长约为63米.
10.(2020四川成都龙泉驿三诊,18)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡 式自动扶梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯 的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,温馨提示:sin 15° ≈0.26,cs 15°≈0.97,tan 15°≈0.27) 
解析　在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10 m,∴AD=ABsin∠ABD=10×sin 30°=5(m),在Rt△ACD中,∠ACD=15°,sin∠ACD= ,∴AC= = ≈19.2(m).答:改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.
11.(2019甘肃兰州4月模拟,24)图1是某小区内健身的太空漫步机,当人踩在踏板上,握住扶手,两腿迈开到 一定角度时,受重力作用自然下行,就会带动踏板连杆绕轴旋转.从侧面看如图2,立柱DH=1.2 m,AD=0.15 m,踏板静止时,BH=0.15 m,当踏板旋转到C处时,测得∠CAB=37°,求此时点C到地面EF的距离.(参考数据: sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 
解析　作CG⊥AH于G,CM⊥EF于M,则四边形CMHG为矩形,∴CM=GH.由题意得AB=DH-AD-BH=1.2-0.15-0.15=0.9(m),由旋转不变性可知AC=AB=0.9 m,在Rt△ACG中,∵∠CAG=37°,∴cs 37°= ,∴AG=AC·cs 37°≈0.9×0.80=0.72(m),∴GH=DH-AD-AG=1.2-0.15-0.72=0.33(m),∴CM=GH=0.33 m.答:此时点C到地面EF的距离约为0.33 m.
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟　分值:50分一、选择题(每小题3分,共6分)1.(2020四川巴中5月模拟,6)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2 ,tan A= ,则BC的长是 (　　)A.2　    B.8　    C.2 　    D.4 
2.(2019四川绵阳涪城二诊,7)如图,钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的鱼线BC长3  m,钓者想看看鱼被钓上的情况,在竖直平面内把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是 (    　) A.3 m　　B.3  m　　C.2  m　　D.4 m
二、填空题(每小题3分,共12分)3.(2020上海黄浦一模,12)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为点D,如果BC=4,sin∠DBC= ,那么线段AB的长是　　　    .
4.(2019四川绵阳涪城二诊,18)如图,△ABC中,∠A=90°,∠ABD=∠ACB,AD= AC,则sin∠ABD=　　　    . 
5.(2020湖北荆州4月模拟,15)如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端 A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC的长是20米,梯坎坡BC的长是1 2米,梯坎坡度i=1∶ ,则大楼AB的高度为　　　    米. 
又∠AGE=90°,∴△AEG是等腰直角三角形,∴AG=EG=(6 +20)米,∴AB=AG+BG=6 +20+9=(6 +29)米.
6.(2019上海松江二模,17)如图,高度相同的两根电线杆AB、CD均垂直于地面AF,某时刻电线杆AB的影 子为地面上的线段AE,电线杆CD的影子为地面上的线段CF和坡面上的线段FG.已知坡面FG的坡比i= 1∶0.75,AE=6米,CF=1米,FG=5米,那么电线杆AB的高度为　　　    米. 
三、解答题(共32分)7.(2020江西南昌一模,19)图1是某保温杯的实物图和平面抽象示意图,点A,B是保温杯上两个固定点,与 两活动环相连,把手CD与两个活动环AD,BC相连,现测得AD=BC=2.6 cm,AB=17 cm,如图2,当A,D,C三点 共线时,恰好AC⊥BC.(1)求把手CD的长;(2)如图3,当CD∥AB时,求∠ADC的度数.(参考数据:sin 57.5°≈0.843,cs 57.5°≈0.538,tan 57.5°≈1.570)
　　　　 图1　　　　　　 　　　图2　　　 　　图3
解析　(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AC= = =16.8(cm),∴CD=AC-AD=16.8-2.6=14.2(cm).答:把手CD的长为14.2 cm.(2)如图,分别过C、D作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F. ∵CD∥AB,∴∠CDF=90°=∠DFE=∠CEF,∴四边形CDFE是矩形,∴DF=CE,EF=CD.又∵AD=BC,∴Rt△ADF≌Rt△BCE,∴AF=BE= (AB-EF)= ×(17-14.2)=1.4(cm),
∴cs∠DAF= = = ≈0.538,∴∠DAF≈57.5°,∵CD∥AB,∴∠ADC=180°-∠DAF=122.5°.∴当CD∥AB时,∠ADC的度数为122.5°.
8.(2020广西崇左江州一模,22)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普 遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能 电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300 cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50 cm,支撑角钢CD,EF与底座 地基台面的接触点分别为D、F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面 的垂直距离相同),均为30 cm,点A到地面的垂直距离为50 cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少(结果 保留根号). 
解析　如图,过A作AG⊥CD于G,则∠CAG=30°,在Rt△ACG中,CG=ACsin 30°=50× =25.∵GD=50-30=20,∴CD=CG+GD=25+20=45.连接FD并延长与BA的延长线交于H,则∠H=30°, 
在Rt△CDH中,CH= =2CD=90,∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290.在Rt△EFH中,EF=EH·tan 30°=290× = .答:支撑角钢CD和EF的长度分别是45 cm,  cm.
9.(2019辽宁鞍山铁西三模,21)如图1,一扇窗户垂直打开,即OM⊥OP,AC是长度不变的滑动支架,其中一 端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图2向内旋转35°到达ON位置,此时点A,C的对 应位置分别是点B,D,测量出∠ODB=25°,点D到点O的距离为30 cm,求滑动支架BD的长.(结果精确到1 cm,参考数据:sin 25°≈0.42,cs 25°≈0.91,tan 25°≈0.47,sin 55°≈0.82,cs 55°≈0.57,tan 55 °≈1.43) 
解析　过B作BE⊥OP于E.在Rt△BOE中,∠BOE=90°-35°=55°,∴OE= ,在Rt△BDE中,∠BDE=25°,∴DE= ,∵DO=30,∴DO=DE+OE= + =30,解得BE≈10.6,在Rt△BDE中,∠BDE=25°,∴BD= ≈25.答:滑动支架BD的长大约为25 cm.
10.(2019天津河东一模,22)综合实践课上,某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践,如图为实践时绘 制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得学校1号楼顶部E的俯角为60°,测得2号楼顶部F 的俯角为45°,此时航拍无人机的高度为50米.已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和 D,B为CD的中点,求2号楼的高度. 
解析　过点E作EG⊥AB于G,过点F作FH⊥AB于H, 则四边形ECBG,HBDF均是矩形,∴EC=GB=20,HB=FD.∵B为CD的中点,∴EG=CB=BD=HF.由已知得∠EAG=90°-60°=30°,∠AFH=45°.在Rt△AEG中,AG=AB-GB=50-20=30,