2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.4　多边形与平行四边形

这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.4　多边形与平行四边形，共60页。
1.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 (　　)A.2 160°　    B.2 080°　    C.1 980°　    D.1 800°
答案    D　根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,可得十二边形的内角和等于(12-2)×180°=1 800°.故选D.
2.(2020海南,14,4分)正六边形的一个外角等于　　　    度.
3.(2020陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是　    　    . 
4.(2019陕西,12,3分)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为　　　    .
解析　连接正六边形的中心和各个顶点,可得6个小正三角形,显然正六边形较长的一条对角线长为小正 三角形边长的2倍,即较长的一条对角线长为6.
5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消 融,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形, 则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　　　    度.  图1 图2     
解析　∵任意n(n≥3,n为整数)边形的外角和为360°,图中五条线段组成五边形,∴Ð1+Ð2+Ð3+Ð4+Ð5=3 60°.
答案    A　∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,又∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE,∴AB=BE=10,∵BG⊥AE,∴AE=2AG.在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=10,BG=8,∴AG= =6,∴AE=2AG=12,∴△ABE的周长为10+10+12=32.∵BE=10,BC=AD=15,∴CE=BC-BE=15-10=5,∴BE∶CE=10∶5=2∶1.∵AB∥FC,∴△ABE∽△FCE,∴△ABE的周长∶△CEF的周长=BE∶CE=2∶1,∴△CEF的周长=16,故选A.
思路分析　首先依据AE平分∠BAD,AD∥BC,可得△ABE是等腰三角形,然后根据等腰三角形“三线合 一”的性质得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的长,即可求得AE的长;最后利用△ABE∽△FCE,根据 周长比等于相似比即可得到答案.
2.(2020陕西,8,3分)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连 接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为(　　) A. 　    B. 　    C.3　    D.2
答案    D　延长EF交AD于H.∵EF∥AB,AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠AHF=∠D,AH=HD.∵∠DAG=∠HAF, ∴△AFH∽△AGD.∴ = .∵∠BFC=90°,E为BC的中点,∴EF=BE=EC= BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,∴AB=EH=5,AH=BE= BC,∴HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,∴AH= AD,∴DG=2FH=2.故选D. 
解后反思　①已知直角+斜边中点,联想到斜边上的中线等于斜边的一半.②由两直线平行可知角之间 的关系,联想到相似三角形.
3.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC= AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况共有(　　)A.5种　    B.4种　    C.3种　    D.1种
答案    C　能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①③、①④、③④,共三种.故选 C.
4.(2020湖北武汉,14,3分)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是▱ ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是　　　    . 
解题关键　根据四边形ABCD是平行四边形及AD =BE判断△CEB是等腰三角形是解答本题的关键.
5.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4 ,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于　    　　　    .
解析　①当∠ABD为锐角时,过D点作DE⊥AB于点E.如图1.∵在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=4 ,∴DE= AD= ×4 =2 ,AE= AD= ×4 =6.在Rt△BDE中,由勾股定理得BE= = =2,∴AB=AE+BE=6+2=8,∴S▱ABCD=AB·DE=8×2 =16 .
②当∠ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2 ,AE=6,BE=2,AB=AE-BE=6-2=4, ∴S▱ABCD=AB·DE=4×2 =8 .综上所述,平行四边形ABCD的面积为16 或8 .
方法点拨    本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四 边形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎 刃而解了.
6.(2020宁夏,21,6分)如图,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.求证:AF =AB. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠F=∠ECD,∠FAE=∠D. (2分)又∵E是AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC. (4分)∴AF=CD,又∵AB=CD,∴AF=AB. (6分)
7.(2020广西北部湾经济区,21,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 
证明　(1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE,又AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形.
思路分析　(1)先证明BC=EF,再利用SSS证明△ABC≌△DEF;(2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可.
1.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为 (　　)A.180°　    B.360°　    C.720°　    D.1 440°
答案    B　任何凸多边形的外角和都为360°.故选B.
2.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 (　　) 
答案    D　正多边形的各边相等,各角相等,故选D.
3.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为 (　　)A.360°　    B.540°　    C.720°　    D.900°
答案    C　由多边形外角和为360°,可知这个正多边形的边数为360°÷60°=6,由多边形内角和公式可知内 角和为180°×(6-2)=720°.故选C.
4.(2020福建,15,4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于　　　     度. 
5.(2020江苏南京,14,2分)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为　     　    cm2. 
解后反思　本题考查正多边形中三角形面积的求解,解题的方法是运用正六边形对边平行的性质、等 积法,把要求的三角形面积转化为直角三角形面积,再根据锐角三角函数求得边长即可.
1.(2019广东广州,7,3分)如图,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO, CO,DO的中点.则下列说法正确的是 (　　) A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
答案    B　∵点E,H,G分别为OA,OD,OC的中点,∴EH,HG分别是△OAD,△OCD的中位线,∴EH= AD,HG= CD,∵AD=4,CD=AB=2,∴EH=2,HG=1,∴EH≠HG,∴A选项错误;∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EF,FG,GH,HE分别是△OAB,△OBC,△OCD,△OAD的中位 线,∴EF= AB,FG= BC,GH= CD,HE= AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∴EF=GH,HE=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,∴B选项正确;无法根据已知判断出AC⊥BD,∴C选项错误;∵ E,F分别是OA,OB的中点,∴EF是△ABO的中位线,∴EF= AB,EF∥AB,∴△EFO∽△ABO,∴ = = = ,∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,∴D选项错误.故选B.
解题关键　本题主要考查了平行四边形的性质和判定,三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性 质,解题关键是熟悉相关知识,利用数形结合思想解答.
2.(2018安徽,9,4分)▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形AECF一定为平行四边形的是 (　　)A.BE=DF　    B.AE=CFC.AF∥CE　    D.∠BAE=∠DCF
答案    B　当BE=DF时,如图1,易证△AFD≌△CEB,△ABE≌△CDF,从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不符合题意;如图1,当AF∥CE时,∠AFE=∠CEF,从而∠AFD=∠CEB,又因为∠ADF=∠CBE,AD=BC,所以△AFD≌△CEB,则AF=CE,所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意;
如图1,当∠BAE=∠DCF时,易证△ABE≌△CDF,可得∠AEB=∠CFD,AE=CF,所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;如图2,其中AE=CF,但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意.思路分析　依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.
 　　      　　　　　　图1　　　　　　 　　　　　　图2
3.(2020天津,17,3分)如图,▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点, 连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为　　　    . 
∴△DCG≌△EHG(ASA),∴CG=HG,HE=CD=2,∴CG= CH,∵△BEF为等边三角形,∴BE=BF=BC+CF=3+2=5,∠FBE=60°,∵HE=CF=2,∴BH=BC,∴△BCH为等边三角形,∴CH=BC=3.∴CG= CH= ×3= .
4.(2020内蒙古包头,18,3分)如图,在▱ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,若点E 恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为　　　    . 
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD=AB=2,BC=AD,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABC+∠BCD=180°,∠AEB=∠EBC,∠DEC=∠BCE,∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,∴∠ABE=∠EBC,∠BCE=∠DCE,∴∠ABE=∠AEB,∠DEC=∠DCE,∠BEC=90°,∴AE=AB=2,DE=CD=2,∴BC=AD=AE+DE=4,在Rt△BEC中,BE2+CE2=BC2=42=16.
5.(2020陕西,18,5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE. 证明　∵DE=DC,∴∠DEC=∠C. (1分)∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠B.∴AB∥DE. (3分)∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形. (4分)∴AD=BE. (5分)
方法总结　本题可通过证明四边形ABED是平行四边形来证明AD=BE.平行四边形的判定方法:1.定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边 分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四 边形是平行四边形.
6.(2020重庆A卷,21,10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD, CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF. 
解析　(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠ACB=∠OAD=40°. (5分)(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中, ∴△AEO≌△CFO.∴AE=CF. (10分)
7.(2019安徽,20,10分)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值. 
解析　(1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M,∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M.又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC.同理得∠FDA=∠ECB.在△BCE和△ADF中,∵∠EBC=∠FAD,BC=AD,∠ECB=∠FDA,∴△BCE≌△ADF. (5分)(2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF=BE.又AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形,∴S△AEF=S△AEB.同理S△DEF=S△DEC,∴T=S△AEB+S△DEC.又T=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BCE,
∴S=S△AEB+S△DEC+S△AED+S△BCE=2T.∴ =2. (10分)解法二:∵△BCE≌△ADF,∴T=S△AED+S△BCE.
如图2,过点E作HG⊥BC交BC于G,交AD于H,则EG⊥BC,EH⊥AD.于是,T=S△AED+S△BCE= BC·(EG+EH)= BC·GH= S,即 =2. (10分) 图2方法总结　求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉易求的图形面积.
8.(2017新疆乌鲁木齐,19,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的两点,且BF=ED, 求证:AE∥CF. 证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC, (3分)∴∠ADE=∠CBF.又∵ED=BF,∴△AED≌△CFB, (6分)∴∠AED=∠CFB, (8分)∴AE∥CF. (10分)
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:30分钟　分值:45分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020云南红河州开远模拟,9)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,则它是 (　　)A.八边形　    B.七边形C.六边形　    D.九边形
答案    A　设这个多边形是n边形,根据题意,得(n-2)·180=360×3,解得n=8,即它是八边形.故选A.
2.(2020浙江杭州萧山一模,6)如图,▱ABCD的周长为22 cm,对角线AC、BD交于点O,过点O与AC垂直的 直线交边AD于点E,则△CDE的周长为 (　　) A.8 cm　　B.9 cm　　C.10 cm　　D.11 cm
答案    D　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线交点为O,∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,又∵EO⊥AC,∴AE=CE.∵▱ABCD的周长为22 cm,∴2(AD+CD)=22 cm.∴AD+CD=11 cm.∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11 cm.故选D.
3.(2019天津和平一模,9)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B‘处,若∠1=∠2=44°,则∠B为 (    　) A.66°　    B.104°　    C.114°　    D.124°
答案    C　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC.由折叠的性质得∠BAC=∠B'AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B'AC= ∠1=22°,∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.故选C.
4.(2018新疆昌吉州阜康二模,6)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=20,CE=15,CF=7, AF=24,则BE的长为 (　　) A.10　    B. 　    C.15　    D. 
答案    C　∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴S▱ABCD=AE·BC=AF·CD.∵AE=20,AF=24,∴BC∶CD=AF∶AE=24∶20= 6∶5.设BC=6x,则AD=6x,AB=CD=5x,BE=6x-15,DF=5x-7.在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,即(5x)2=202+(6x-15)2 ①,在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(6x)2=242+(5x-7)2②,由①-②解得x=5,则BE=6x-15=30-15=15.故选C.
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020吉林长春一模,12)如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1=　　　    . 
6.(2020湖北武汉青山备考,14)如图,在四边形ABCD中,AD=12,对角线AC,BD交于点O,∠ADB=90°,OD= OB=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为　　　    . 
7.(2019内蒙古巴彦淖尔模拟,20)若在▱ABCD中,∠A=30°,AB=9,AD=8,则S▱ABCD=　　    .
三、解答题(共24分)8.(2020江西南昌二模,14)如图,在平行四边形AFCE中,D,B分别是EC,AF的中点.求证:BC=AD. 证明　∵四边形AFCE是平行四边形,∴AB∥CD,AF=CE,又∵D,B分别是EC,AF的中点,∴AB= AF,CD= EC,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
9.(2020甘肃兰州一诊,20)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,BE=6,求DF的长度. 
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),∴DF=BE=6.
10.(2019云南昆明模拟,16)如图,在▱ABCD中, = ,连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若AB=2FC,∠F=38°,求∠B的度数. 
解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠ECF.∵ = ,∴DE=CE.又∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE(ASA).(2)由(1)中结论可得AD=FC.∵AD=BC,AB=2FC,∴AB=FB,∴∠BAF=∠F=38°,∴∠B=180°-2×38°=104°.
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:30分钟　分值:45分一、选择题(每小题3分,共9分)
1.(2019天津滨海新区一模,8)一个圆的内接正六边形的边长为4,则该圆的内接正方形的边长为 (　　)A.2 　    B.4 　    C.4 　    D.8
2.(2020云南师大附中一模,13)如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形,要完成这 一圆环还需多少个正五边形 (　　) A.6个　    B.7个　    C.8个　    D.9个
答案    B　因为五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个正五边形,∴完成这一圆环还需10-3=7个正五边形.故选B.
3.(2019上海长宁二模,6)已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 (　　)A.∠ADB=∠CBD,AB∥CDB.∠ADB=∠CBD,∠DAB=∠BCDC.∠DAB=∠BCD,AB=CDD.∠ABD=∠CDB,OA=OC
答案    C　∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故A选项不符合题 意;∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°,∵∠DAB=∠BCD,∴∠ABC=∠ ADC,∴四边形ABCD是平行四边形,故B选项不符合题意;由∠DAB=∠BCD,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故C选项符合题意;∵∠ABD=∠CDB,∠AOB=∠COD,OA=OC,∴△AOB≌△COD(AAS),∴OB=OD,又OA=OC,∴四边形 ABCD为平行四边形,故D选项不符合题意.故选C.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2020四川巴中5月模拟,17)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5,∠BCD的平分线交AD于点F,交BA 的延长线于点E,则AE的长为　　　    . 
解析　∵在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5,∴CD=AB=2,AD=BC=5,AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB.∵CE平分∠DCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF=2,∴AF=AD-DF=5-2=3.∵AB∥CD,∴∠E=∠DCF,又∵∠EFA=∠DFC,∠DFC=∠DCF,∴∠AEF=∠EFA,∴AE=AF=3.
5.(2020陕西西安西北工大附中二模,12)已知正六边形的周长为12,则这个正六边形的边心距是　　        .
6.(2019上海嘉定二模,16)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的线段EF与AD、BC 分别交于点E、F,如果AB=4,BC=5,OE= ,那么四边形EFCD的周长为　　　    . 
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,∠OAD=∠OCF,又∠AOE=∠COF,∴△OAE≌△OCF,∴OF=OE=1.5,CF=AE,∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=12.
7.(2019上海长宁一模,18)点P在平行四边形ABCD的边BC上,将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰 好落在边AD的垂直平分线上,如果AB=5,AD=8,tan B= ,那么BP的长为　　　    .
解析　①如图1,过A作AH⊥BC于H,连接DB',设BB'与AP交于E,AD的垂直平分线交AD于M,交BC于N.∵tan B= = ,∴设AH=4x,BH=3x(x>0),∴AB= =5x=5,∴x=1,∴AH=4,BH=3.∵将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰好落在边AD的垂直平分线MN上,∴AB'=AB=5,AM=DM= AD=4,∠AMN=∠HNM=90°.又AH=4,∴四边形AHNM是正方形,∴HN=MN=4,∴BN=7,MB'= =3,
则B'N=1,∴BB'= =5 ,∴BE= BB'= .∵∠BEP=∠BNB'=90°,∠PBE=∠B'BN,∴△BPE∽△BB'N,∴ = ,即 = ,∴BP= .
②如图2,由①知,MN=4,MB'=3,BN=7,∴NB=NB',∴点N在BB'的垂直平分线上.∵将△ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B'恰好落在边AD的垂直平分线上,∴点P也在BB'的垂直平分线 上,∴点P与N重合,∴BP=BN=7.
综上所述,BP的长为 或7.
三、解答题(共24分)8.(2019上海虹口二模,23)如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,过点B作BE∥AC,连接OE交BC于点F, 点F为BC的中点.(1)求证:四边形AOEB是平行四边形;(2)如果∠OBC=∠E,求证:BO·OC=AB·FC. 
证明　(1)∵BE∥AC,∴ = .∵点F为BC的中点,∴CF=BF,∴OC=BE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,∴AO=BE.∵BE∥AC,∴四边形AOEB是平行四边形.(2)∵四边形AOEB是平行四边形,∴∠BAO=∠E.∵∠OBC=∠E,∴∠BAO=∠OBC.∵∠ACB=∠BCO,∴△CBA∽△COB,∴ = .∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC.∵点F为BC的中点,∴BC=2FC,∴ = ,即BO·OC=AB·FC.
9.(2020上海奉贤二模,22)如图1,由于四边形具有不稳定性,因此在同一平面推矩形框架的边可以改变它 的形状(推移过程中边的长度保持不变).已知矩形ABCD,AB=4 cm,AD=3 cm,固定边AB,推边AD,使得点D 落在点E处,点C落在点F处.(1)如图2,如果∠DAE=30°,求点E到边AB的距离;(2)如图3,如果点A、E、C在同一条直线上,求四边形ABFE的面积.  图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3　　    
解析　(1)如图①,过点E作EH⊥AB,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴AD∥EH,∴∠DAE=∠AEH.∵∠DAE=30°,∴∠AEH=30°.在Rt△AEH中,∠AHE=90°,AE=3 cm,∴EH=AE·cs∠AEH=3× = (cm),即点E到边AB的距离是  cm.
  图①　　　　 　　　　　　图②