中考数学复习：单元测试（4）图形的初步认识与三角形

单元测试(四)　图形的初步认识与三角形

(时间：45分钟　满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(    )

A．3，4，5      B．5，7，7           

C．5，6，12     D．5，12，13

2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是(    )

3．如图，字母B所代表的正方形的面积是(   )

A．12   B．144   C．13   D．194

          (第3题)               (第4题)

4．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为(     )

A．北偏东30°   B．北偏东80°          

C．北偏西30°   D．北偏西50°

5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(    )

A．∠B＝∠C    B．AD＝AE            

C．BD＝CE      D．BE＝CD

 (第5题)          (第6题)

6．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板(∠C＝90°)按如图所示的位置摆放．若∠1＝55°，则∠2的度数为(    )

A．80° B．70° C．85° D．75°

7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(    )

A.   B．2   C.   D．3

  (第7题)       (第8题)

8．如图，E，F是▱ABCD对角线上AC两点，AE＝CF＝AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为(    )

A.   B.   C.   D．1

二、填空题(每小题4分，共24分)

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为         ．

  (第9题)               (第10题)

10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛与地面的距离AB为1.5 m，那么这棵树高是          m.(可用计算器，精确到0.01)

11．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连接AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有    个．

    (第11题)     (第12题)    (第13题)

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝        ．

13．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为        ．

14．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：

sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；

sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)

       ＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°

       ＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是             ．

三、解答题(共44分)

15．(10分)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点G，求证：GE＝GF.

16．(10分)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；

(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；

(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；

(4)画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．

,(1))　　　,(2))

,(3))　　　,(4))

解：如图．

17．(12分)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.

(1)求B，C之间的距离；(保留根号)

(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)

18．(12分)问题1：如图1，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BE，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.

(1)当AD＝3时，＝           ；

(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示.

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表.

       图1　　　　　　　图2

单元测试(四)　图形的初步认识与三角形

(时间：45分钟　满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(C)

A．3，4，5      B．5，7，7           

C．5，6，12     D．5，12，13

2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是(B)

3．如图，字母B所代表的正方形的面积是(B)

A．12   B．144   C．13   D．194

          (第3题)               (第4题)

4．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为(A)

A．北偏东30°   B．北偏东80°          

C．北偏西30°   D．北偏西50°

5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)

A．∠B＝∠C    B．AD＝AE            

C．BD＝CE      D．BE＝CD

 (第5题)          (第6题)

6．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板(∠C＝90°)按如图所示的位置摆放．若∠1＝55°，则∠2的度数为(A)

A．80° B．70° C．85° D．75°

7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(C)

A.   B．2   C.   D．3

  (第7题)       (第8题)

8．如图，E，F是▱ABCD对角线上AC两点，AE＝CF＝AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为(C)

A.   B.   C.   D．1

二、填空题(每小题4分，共24分)

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为50__°．

  (第9题)               (第10题)

10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛与地面的距离AB为1.5 m，那么这棵树高是4.39m.(可用计算器，精确到0.01)

11．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连接AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有2个．

    (第11题)     (第12题)    (第13题)

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝4．

13．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为3．

14．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是．

三、解答题(共44分)

15．(10分)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点G，求证：GE＝GF.

证明：∵BE＝CF，

∴BE＋EF＝CF＋EF.

∴BF＝CE.

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌DCE(SAS)．

∴∠GEF＝∠GFE.

∴EG＝FG.

16．(10分)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；

(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；

(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；

(4)画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．

,(1))　　　,(2))

,(3))　　　,(4))

解：如图．

17．(12分)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.

(1)求B，C之间的距离；(保留根号)

(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：≈1.7，≈1.4)

解：(1)过点A作AD⊥BC

于点D，则AD＝10 m，

在Rt△ACD中，

∵∠C＝45 °，

∴AD＝CD＝10 m.

在Rt△ABD中，∵∠B＝30 °，

∴tan30 °＝.

∴BD＝AD＝10 m.

∴BC＝BD＋DC＝(10＋10)m.

(2)结论：这辆汽车超速．

理由：∵BC＝10＋10≈27(m)，

∴汽车速度为＝30(m/s)＝108(km/h)．

∵108>80，

∴这辆汽车超速．

18．(12分)问题1：如图1，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BE，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.

(1)当AD＝3时，＝；

(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示.

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表.

图1　　　　　　　图2

解：问题1：(2)∵AB＝4，AD＝m，∴AD＝4－m.

∵DE∥BC，∴＝＝.∴＝.

又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.

∴＝()2＝.

∴＝·＝·＝，

即＝.

问题2：分别延长BA，CD，相交于点O.

∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC.∴＝＝.

∴OA＝AB＝4.∴OB＝8.

∵AE＝n，∴OE＝4＋n.

∵EF∥BC.

由问题1的解法可知，＝·＝·()2＝.

∵＝()2＝，∴＝.

∴＝＝×＝，

即＝.