专题4.3 数列的综合应用-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题4.3 数列综合应用姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）A．或 B．或 C． D．或或【答案】A【解析】设经过第次运算后变为，可知，，，，，则，，若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.若为奇数，则，得，不合乎题意；若为偶数，则.若为奇数，则，可得；若为偶数，则.综上所述，或.故选：A.2．（2020·全国专题练习（文））公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（    ）A．153 B．190 C．231 D．276【答案】C【解析】记第个六边形数为，由题意知：，，，，，，累加得，即，所以，故选：C.3．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））已知等差数列的前项和为，，则（    ）A． B．13 C．-13 D．-18【答案】D【解析】由，可设∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，即a，6a，成等差数列，∴，即∴故选:D.4．（2020·全国高三其他（文））已知数列的各项均为正数，且满足，，设为数列的前项和，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以有，所以，因为数列的各项均为正数，所以，即，又因为，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以，所以①，②，①-②得：，所以，所以，故选：C.5．（2020·全国高三其他（文））设是公差不为0的等差数列的前项和，，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】是公差不为0的等差数列的前项和，，根据等差数列的求和公式及等差数列的性可得：，即，所以故选B6．（2020·全国高三其他（文））已知函数（为常数），若数列，且，则数列前100项和为（    ）A．78800 B． C．39400 D．【答案】D【解析】∵，解得，所以，进而.于是，故选：D.7．（2020·甘肃高三一模（文））《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（    ）A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【解析】：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为，由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以 为等差数列，设公差为，由题意知，，解得，则.故选:B.8．（2020·四川达州·高三其他（文））是数列的前n项和，，有且只有两个正整数n满足，则实数λ的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知是首项为6，公差为的等差数列，，，即.故选：C.9．（2020·宁夏兴庆·长庆高中高三一模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，故，故，故，故选：D．10．（2020·全国高三二模（文））各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有（    ）A．5项 B．6项 C．7项 D．8项【答案】C【解析】设等差数列为，则， ，，，为了使尽量大，故，，，当时， ，当时， ， ，故选：11．（2020·银川唐徕回民中学高三三模（文））等差数列前项和为，若，则的值为（   ）A．9 B．12 C．16 D．17【答案】A【解析】∵，∴得：，，故选A. 12．（2020·全国专题练习（文））数列满足，，且（），则__.【答案】2020【解析】当n为偶数时，，即，故数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，所以.故答案为：2020.13．（2020·湖南衡阳·三模（文））已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为__.【答案】1010.【解析】解：因为是奇函数，，所以，，，，，，如此继续，得..故答案为：1010.14．（2020·湖南衡阳·三模（文））已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前n项和，则的值为______.【答案】1010【解析】因为是奇函数，，所以，，，，，，如此继续，得，周期为4.故答案为：101015．（2020·四川广元·期末）定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题：①“等和数列”一定是常数数列；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和；其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）【答案】②【解析】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列是等差数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以所以所以，所以，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列是等比数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以所以所以，所以，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和，是错误的.举例“等和数列”其，所以该命题是错误的.故答案为：②16．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知数列满足，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】可得： ，即： ，整理可得： ，又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列， ，则： ,很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，则的最大值为. 三、解答题17．（2020·梅河口市第五中学月考）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】：（1）对数列：当时，当时，，当时也满足上式（2）， 而设数列的前项和为，数列的前项和为 （1） （2）(1)-(2)得当为偶数时，当为奇数时，由以上可知所以，数列的前项和18．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．（1）求数列的通项公式；      （2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由两式相减，得：，又，，当时，且，故，得（舍去），，数列为等差数列，公差为，所以 ．（2）由（1）及题意可得，所以]．19．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．【答案】（1），（2），且是正整数【解析】（1）∵，∴∴（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整数，∴所求的取值范围为，且是正整数20．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项. （1）求的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.【答案】（1）（2）【解析（1）由已知且是的等差中项得，解得，代入，可得，解得或，因为递增等比数列，所以，因为，所以，所以，所以．（2）由，所以，，，两式相减得：，所以，使，整理得，所以使成立的正整数的最小值为5．