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    专题4.2 数列求和-2021年高考数学(理)尖子生培优题典

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    专题4.2 数列求和-2021年高考数学(理)尖子生培优题典

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    这是一份专题4.2 数列求和-2021年高考数学(理)尖子生培优题典,文件包含专题42数列求和-2021年高考数学理尖子生培优题典原卷版docx、专题42数列求和-2021年高考数学理尖子生培优题典解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。
    专题4.2 数列求和


    姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________


    注意事项:


    选择题(在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)


    1.(2020·全国专题练习(理))南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第8项为( )


    A.99B.131C.139D.141


    【答案】D


    【解析】所给数列为高阶等差数列


    设该数列的第8项为


    根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,


    得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列


    即得到了一个等差数列,如图:





    根据图象可得:,解得





    解得:


    故选:D.


    2.(2020·湖北宜昌·其他(理))我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(gui)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈四尺五寸,夏至晷长二尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是( )





    A.五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸


    【答案】C


    【解析】设晷影长为等差数列,公差为,,,


    则,解得.





    夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是五尺五寸.


    故选:.


    3.(2020·四川省南充高级中学高三月考(理))等差数列前项和为,若,是方程的两根,则( )


    A.B.C.D.


    【答案】C


    【解析】是方程的两根,








    ,故选C.


    4.(2020·赤峰二中高一月考(理))等差数列和的前项和分别为与,对一切自然数,都有,则 ( )


    A.B.C.D.


    【答案】B


    【解析】


    ,选B.


    5.(2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模(理))已知数列,,则数列的前100项和为( )


    A.B.C.D.


    【答案】B


    【解析】由题意知, 当时,;


    当时,,所以数列的前100项和








    .


    故选:B


    6.(2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模(理))对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第层货物的个数为,则数列的前项和为( )


    A.B.C.D.


    【答案】B


    【解析】由题意可知,,,,,累加可得,





    .





    故选:B.


    7.(2020·湖南邵阳·三模(理))已知函数的图象在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则的值为( )


    A.B.C.D.


    【答案】C


    【解析】,,由题意可知,得.


    ,,


    .


    故选:C.


    8.(2020·岳麓·湖南师大附中高三月考)数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出,不是质数.现设,表示数列的前n项和.则使不等式成立的最小正整数n的值是(提示)( )


    A.11B.10C.9D.8


    【答案】C


    【解析】把代入),得,


    故,


    则,


    则不等式成立,


    代入计算可得,当不等式成立时.n的最小值为9.


    故选C.


    9.(2020·全国高三其他)已知数列,都是等差数列,,,设,则数列的前2020项和为( )


    A.B.C.D.


    【答案】D


    【解析】设等差数列的公差为,等差数列的公差为


    因为,


    所以,解得


    所以


    因为,


    所以,解得


    所以


    所以


    所以





    故选:D


    10.(2020·山东青州·高三三模)已知数列,定义数列为数列的“倍差数列”,若的“倍差数列”的通项公式为,且,若函数的前项和为,则( )


    A.B.C.D.


    【答案】B


    【解析】


    分析:由可得,从而得数列表示首项为,公差的等差数列,求得,再根据错位相减法即可得结果.


    详解:根据题意得,





    数列表示首项为,公差的等差数列,




















    ,故选B.


    11.(2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他(理))设数列满足,若不等式对任意恒成立,则实数的最小值是_____.


    【答案】3


    【解析】解:数列满足,①


    可得,时,,②


    ①②可得,即有,对也成立,


    则,


    即为,


    可得对任意恒成立,


    显然为递减数列, 取得最大值,


    可得,解得,


    实数的最小值为3.


    故答案为:3.


    12.(2020·山西其他(理))设函数,数列满足,则______.


    【答案】


    【解析】由题得,,


    两式相加得,


    考虑一般情况,设,








    所以


    故答案为:


    13.(2020·全国专题练习(理))在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51=____.


    【答案】676


    【解析】


    当为偶数时, ;


    当为奇数时, ;


    所以


    14.(2020·河北桃城·衡水中学高三月考(理))在数列中,已知,,则=______.


    【答案】


    【解析】因为,


    故可得,


    累加可得,又因为,


    则,


    故可得,





    .


    故答案为:.


    15.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模(理))已知数列的各项均为正数,其前项和满足,设,为数列的前项和,则______.


    【答案】


    【解析】由于正项数列的前项和为,且.


    当时,,得,,解得;


    当时,由得,


    两式作差得,可得,





    对任意的,,则,,


    所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,.








    所以,可视为数列的前项和,因此,.


    故答案为:.


    16.(2020·全国高三其他)数列的前项和为,若,则________.


    【答案】


    【解析】因为,所以当时,,解得,


    当时,


    所以,即,


    所以,即,


    所以是以为首项,为公比的等比数列,


    所以,即,


    又满足上式,所以,


    所以


    ==


    故答案为:





    17.(2020·福建其他(理))已知公差不为0的等差数列,其前项和为,,且、、成等比数列.


    (1)求数列的通项公式;


    (2)令,求数列的前项和.


    【答案】(1)(2)


    【解析】(1)设等差数列的公差为,因为,,成等比数列,


    所以,


    所以,


    那么,


    所以或(舍去)


    又因为,





    (2)由(1)得,


    所以数列的前项和


    ①,


    所以②,


    由①②相减得








    .


    所以.


    18.(2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他(理))已知等比数列的前项和为,且,,的等差中项为10.


    (1)求数列的通项公式;


    (2)求.


    【答案】(1);(2).


    【解析】(1),


    解得,.


    所以.


    (2)由(1)可知,所以,


    又,





    .


    19.(2020·荆州市北门中学期末(理))已知等差数列满足().


    (Ⅰ)求数列的通项公式;


    (Ⅱ)求数列的前项和.


    【答案】(1);(2).


    【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,由已知得


    即所以解得


    所以.


    (Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以,①


    ,②


    得:


    所以.


    20.(2020·全国专题练习(理))设,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2,且an+1﹣an=bn;


    (1)求证:数列{bn+2}是等比数列;


    (2)求数列{an}的通项公式.


    【答案】(1)见解析(2)


    【解析】(1)证明:a1=2,a2=4,且an+1﹣an=bn;∴b1=a2﹣a1=4﹣2=2.


    由bn+1=2bn+2,变形为: ,


    ∴数列{bn+2}是等比数列,首项为4,公比为2.


    (2)解:由(1)可得:bn+2=4×2n﹣1,可得bn=2n+1﹣2.


    ∴an+1﹣an=bn=2n+1﹣2.











    2n+2


    =2n+1﹣2n.


    21.(2020·湖南邵阳·三模(理))设数列满足:,,.


    (1)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式;


    (2)若,求数列的前n项和.


    【答案】(1)证明见解析,;(2).


    【解析】(1)∵,


    ∴.


    ∴.


    ∴.


    ∴是首项为3,公比为的等比数列.


    ∴,故.


    (2)由(1)得








    22.(2020·广西高三其他(理))已知数列的前项和为,,.


    (1)求证:数列是等差数列;


    (2)若,设数列的前项和为,求.


    【答案】(1)证明见解析;(2)


    【解析】(1)证明:因为,,所以,所以,


    所以.


    所以是以为首项,以为公差的等差数列.


    (2)由(1)可得,所以.











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