九年级数学寒假专题练 第01讲 数与式（全国通用）

这是一份九年级数学寒假专题练 第01讲 数与式（全国通用），共21页。试卷主要包含了实数，代数式等内容，欢迎下载使用。

第1讲 数与式
中考分析解读
数，即实数，式，即代数式，在中考中都有直接考查，分值为14~17分，属于简单题，考查形式以选择题和简答题较常见。实数的相关概念、实数的运算、代数式的运算和化简求值难度较小，属于必得分题。

模块一 实数
一、知识导图






















二、知识清单
1、实数的有关概念
（1）数轴
数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）相反数、倒数、绝对值
相反数：与互为相反数，互为相反数的两个数和为，即．
倒数：与互为倒数，即．
绝对值：正数的绝对值等于它本身，的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数．

注意：非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数．
2、实数大小的比较
（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。
（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。
（3）作差法比较大小：设是任意两实数，
若，则；
若，则；
若，则.

3、科学记数法
把一个数表示成的形式，（其中，是整数）．这种记数的方法叫科学记数法．
（1）绝对值大于的数的表示方法
其中，为原数的整数位数减1；
（2）绝对值小于的数的表示方法
其中，为第一位有效数字前零的个数的相反数.
注：，．
4、实数的运算
(1)运算律
有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配率、乘法结合律.
(2)运算顺序
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算要从左到右依次进行.
5、（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，正数的正的平方根叫作算术平方根.
（2）若，则叫作的立方根.
（3）
6、当时，（是正整数）.

基础演练
一、选择题
1．（2020•天津）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：，
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．（2020•重庆）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：，
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（2020•烟台）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是　　

A． B． C． D．无法确定
【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．
【解答】解：有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，
这三个数中，实数离原点最远，所以绝对值最大的是：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握有理数大小的比较方法是解题关键．
4．（2020•北京）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是　　

A．2 B． C． D．
【分析】先判断的范围，再确定符合条件的数即可．
【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以只能是．
故选：．
【点睛】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．
5．（2020•天津）估计的值在　　
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】用“夹逼法”找到在哪两个可化为整数的二次根式之间即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【点睛】考查估算无理数大小的知识；用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
二、填空题
6．（2020•重庆）计算：　　．
【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．
【解答】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．
7．（2020•河南）请写出一个大于1且小于2的无理数　　．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
三、解答题
8．（2020•北京）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式

．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
9．（2020•新疆）计算：．
【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．
【解答】解：．
【点睛】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．



能力提升
一、选择题
1．（2020•遵义）在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆、美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：18.25万，用科学记数法表示为：．
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．（2020•河北）已知光速为300000千米秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为　　
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：当时，光传播的距离为（千米），则； 当时，光传播的距离为（千米），则． 因为，所以可能为5或6，
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（2020•河南）电子文件的大小常用，，，等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为，等于　　
A． B． C． D．
【分析】列出算式，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．
4．（2020•新疆）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．
【分析】直接利用数轴上，的位置进行比较得出答案．
【解答】解：如图所示：、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
二、填空题
5．（2020•北京）写出一个比大且比小的整数为　 　．
【分析】先估算出和的大小，再找出符合条件的整数即可．
【解答】解：，，
比大且比小的整数为2（或．
故答案为：2（或．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出和的大小是解答此题的关键．
6．（2020•遵义）计算：的结果是　　．
【分析】首先化简，然后根据实数的运算法则计算．
【解答】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，属于基础题．
7．（2020•重庆）计算：　　．
【分析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．
【解答】解：原式，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂的规定和算术平方根的定义．
三、解答题
8．（2020•长沙）计算：．
【分析】首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．
【解答】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．
9．（2020•黔东南州）计算：；
【分析】先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解；
【解答】解：


；
【点睛】此题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂的计算．



模块二 代数式
一、知识导图


二、知识清单
1、整式有关概念及运算
（1）同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同.
（2）合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项结果是只把系数合并，所含字母及字母的指数不变.
（3）整式的加减
有括号的先去括号，然后再合并同类项．
（4）整式的乘除
同底数幂相乘

幂的乘方

积的乘方

同底数幂相除

单项式乘多项式

多项式乘多项式

平方差公式

完全平方公式


2、因式分解
（1）因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做将这个多项式因式分解，也叫分解因式．
（2）因式分解常用方法
提公因式

公式法
平方差公式

完全平方公式


注意：因式分解有公因式的先提取公因式，然后再考虑是否满足平方差公式或完全平方公式．
因式分解一定要分解到不能再分解为止．
3、分式
（1）分式有意义的条件及分式的值为.
①分式有意义：，即分母不为0.
②分式的值为0：，即分子为0，分母不为0.
（2）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变.
，，其中，，是整式）
（3）分式的运算
分式乘法

分式除法

分式乘方

同分母分式加减

异分母分式加减


（4）分式混合运算及化简求值
分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；
有括号的先算括号，有乘方的先算乘方，再算乘除，最后算加减．
分式化简求值（常用方法）：整体代入，见比设．

4、二次根式
（1）二次根式的概念
形如的式子叫二次根式.
（2）二次根式的性质
二次根式的双重非负性：.
（3）二次根式的化简
，
（4）最简二次根式
一个二次根式的被开方数中因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
注：
①被开方数不含分母
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式
③分母中不含根号
（5）同类二次根式
把几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数④____，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
二次根式的乘法

二次根式的除法

二次根式的加减
先把每个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式
（6）二次根式运算



基础演练
一、选择题
1．（2020•鞍山）下列计算结果正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意．
故选：．
【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
2．（2020•广西）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2020•云南）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂法则，幂的性质进行解答便可．
【解答】解：，选项错误；
．原式，选项错误；
．原式，选项错误；
．原式，选项正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，负整数指数幂的运算法则，幂的运算法则，关键是熟记性质和法则．
4．（2020•河北）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是　　
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．
【解答】解：①，从左到右的变形是因式分解；
②，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
5．（2020•桂林）因式分解的结果是　　
A． B． C． D．
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式，
故选：．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式．
6．（2020•河北）若，则下列分式化简正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：，
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选：．
【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
二、填空题
7．（2020•云南）要使有意义，则的取值范围是　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
【解答】解：有意义，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即当时有意义；若含分母，则分母不能为0．
8．（2020•滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．
【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
9．（2020•十堰）已知，则　　．
【分析】由可得到，然后整体代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．
10．（2020•德阳）把分解因式的结果是　　 ．
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
11．（2020•日照）分解因式：　　 ．
【分析】直接提取公因式分解因式即可求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点睛】考查了因式分解提公因式法，口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
12．（2020•新疆）分解因式：　　 ．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（2020•武汉）计算的结果是　　 ．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
14．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：．
第5个等式：．

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　 ；
（2）写出你猜想的第个等式：　　 （用含的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：；
（2）猜想的第个等式：．
证明：左边右边，
等式成立．
故答案为：；．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
15．（2020•重庆）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；
（2）根据分式的四则计算的法则进行计算即可，
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查整式、分式的混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提．
16．（2020•北京）已知，求代数式的值．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：

，
，
，
原式．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2020•福建）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式，再把的值代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．

能力提升
一、选择题
1．（2020•桂林）若，则的值是　　
A． B．0 C．1 D．2
【分析】利用算术平方根性质确定出的值即可．
【解答】解：，
，
解得：，
则的值是1．
故选：．
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
2．（2020•黄冈）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：，因此选项不符合题意；
，因此选项不符合题意；
，因此选项符合题意；
，因此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查合并同类项的法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提．
3．（2020•聊城）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．
【解答】解：、，原计算错误，故此选项不合题意；
、，原计算错误，故此选项不合题意；
、，原计算正确，故此选项合题意；
、，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键．
4．（2020•云南）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数为比序号数少1，字母为．
【解答】解：，
，
，
，
，
，

由上规律可知，第个单项式为：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．
5．（2020•日照）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是　　

A．59 B．65 C．70 D．71
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点个；第2个图形共有圆点个；第3个图形共有圆点个；第4个图形共有圆点个；；则第个图形共有圆点个；由此代入求得答案即可．
【解答】解：根据图中圆点排列，当时，圆点个数；当时，圆点个数；当时，圆点个数；当时，圆点个数，
当时，圆点个数
．
故选：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．

二、填空题
6．（2020•黄冈）若，则　 　．
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键．
7．（2020•十堰）对于实数，，定义运算．若，则　　．
【分析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：，
，，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
8．（2020•滨州）观察下列各式：，，，，，，根据其中的规律可得　　 （用含的式子表示）．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，，那么第项的分母是；分子依次为2，3，10，15，26，，变化规律为：奇数项的分子是，偶数项的分子是，即第项的分子是；依此即可求解．
【解答】解：由分析可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
9．（2020•天津）计算的结果等于　　．
【分析】利用平方差公式解答．
【解答】解：原式．
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，应用平方差公式计算时，应注意：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
10．（2020•山西）计算：　　．
【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．（2020•黔南州）分解因式：　　 ．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：，
，
．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
12．（2020•聊城）因式分解：　　 ．
【分析】利用提取公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（2020•聊城）计算：　　．
【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
14．（2020•黄冈）计算：的结果是　　 ．
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解答】解：原式


，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
三、解答题
15．（2020•新疆）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：

，
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
16．（2020•长沙）先化简再求值：，其中．
【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．（2020•遵义）化简式子，从0、1、2中取一个合适的数作为的值代入求值．
【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式

，
，2，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．