九年级数学寒假专题练 第04讲 二次函数（全国通用）

这是一份九年级数学寒假专题练 第04讲 二次函数（全国通用），共21页。试卷主要包含了二次函数图象与性质，二次函数与方程、不等式等内容，欢迎下载使用。
二次函数是中考必考内容，二次函数的图象与性质，常常探究字母系数的作用；二次函数与方程、不等式间的关系的考查相对基础，难度不大；二次函数的对称性，及二次函数与几何综合多为解答题，考查综合运用能力，难度较大. 二次函数在中考中分值约13~16分.
模块一 二次函数图象与性质
一、知识导图
二、知识清单
1、二次函数定义
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．（是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项）．
2、二次函数解析式
（1）一般式：（）；
（2）顶点式：（）；
（3）两根式：（）．
3、二次函数图象与性质
（1）一般式：（）
（2）顶点式：（）
4、二次函数与系数的关系
(１)决定抛物线的开口方向，开口大小．
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．
越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
(２)和共同决定抛物线对称轴的位置
抛物线的对称轴：，规律：左同右异
当时，抛物线的对称轴为轴；
当，同号时，对称轴在轴的左侧；
当，异号时，对称轴在轴的右侧．
(３)的大小决定抛物线与轴的交点位置，交点坐标表示为.
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．
5、二次函数图象的平移
6、二次函数图形的对称
基础演练
一、选择题
1．（2020•新宾县二模）抛物线的顶点坐标为
A．B．C．D．
2．（2020•鼓楼区一模）二次函数的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．（2020•晋安区一模）下列对二次函数的图象的描述，正确的是
A．开口向下B．对称轴是轴
C．经过原点D．对称轴右侧部分下降
4．（2020•阜新）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有唯一交点
5．（2020•宿迁）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为
A．B．C．D．
6．（2020•海淀区一模）将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是
A．B．C．D．
7．（2020•河南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度
8．（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（ ）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2
9．（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（72，0）B．（3，0）C．（52，0）D．（2，0）
10．（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对
11．（2020•启东市一模）二次函数，，为常数）的图象如图所示，若，则下列关于函数的图象与性质描述正确的是
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象与轴没有公共点
C．当时，函数的值小于0
D．当时，随的增大而减小
12．（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m
二、填空题
13．（2020•哈尔滨）抛物线的顶点坐标为 ．
15．（2020•上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
16．（2020•新宾县二模）如果二次函数的图象经过原点，那么的值是 ．
17．（2020•新宾县二模）如果点、是二次函数的图象上两点，那么 ．（填“”、“ ”或“”
18．（2020•晋安区一模）二次函数的图象如图所示，将其沿轴翻折后得到的抛物线的解析式为 ．
19．（2020•丰台区一模）已知函数为实数）．
（1）对于任意实数，函数图象一定经过点和点 ；
（2）对于任意正实数，当时，随着的增大而增大，写出一个满足题意的的值为 ．
三、解答题
20．（2020•和平区模拟）已知二次函数是常数）的图象经过点，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．
21．（2020•鼓楼区一模）已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：点、不能同时在抛物线上；
（2）点在抛物线上吗？为什么？
22．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
能力提升
一、选择题
1．（2020•新疆）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020•新宾县二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是
A．B．
C．D．
3．（2020•陕西模拟）二次函数为常数）的图象不经过第三象限，在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值是
A．B．C．2D．
4．（2019•海珠区一模）将抛物线向左平移至顶点落在轴上，如图所示，则两条抛物线、直线和轴围成的图形的面积（图中阴影部分）是
A．5B．6C．7D．8
5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．（2020•枣庄）如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中，正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2020•遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
A．B．
C．D．为任意实数）
8．（2019•广安）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①②③④当时，其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2020•新疆模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．则下列结论：①时，；②；③；④．其中正确的是
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
二、填空题
10．（2020•新疆三模）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是 ．（用“”号表示）
11．（2020•铁东区一模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有 ．
12．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为 ；若，分别为方程和的解，则，的大小关系是 ．
三、解答题
13．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
14．（2020•云南）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．
模块二 二次函数与方程、不等式
一、知识导图
二、知识清单
1、二次函数与一元二次方程
二次函数与x轴交点个数由方程的根的判别式决定：
2、二次函数与不等式
（1）一元二次不等式的解集：抛物线位于x轴上方的自变量x的取值范围；
（2）一元二次不等式的解集：抛物线位于x轴下方的自变量x的取值范围.
基础演练
一、选择题
1．（2020•和平区模拟）若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为
A．9B．6C．3D．0
2．（2020•安顺）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是
A．或0B．或2C．或3D．或4
二、填空题
3．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
4．（2020•烟台）二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④关于的一元二次方程的一个根为1，另一个根为．
其中正确结论的序号是 ．
能力提升
一、选择题
1．（2019•荔湾区一模）二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2020•河北区模拟）已知抛物线经过点和．下列结论：①；②；③当时，抛物线与轴必有一个交点在点的右侧；④抛物线的对称轴为．其中结论正确的个数有
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
3．（2020•河西区模拟）已知抛物线与直线有两个不同的交点．下列结论：
①；
②当时，有最小值；
③方程有两个不等实根；
④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则．
其中正确的结论的个数是
A．4B．3C．2D．1
4．（2020•德阳）已知不等式的解集为，则下列结论正确的个数是
（1）；
（2）当时，函数的图象与轴没有公共点；
（3）当时，抛物线的顶点在直线的上方；
（4）如果且，则的取值范围是．
A．1B．2C．3D．4
5．（2020•雁塔区校级二模）已知二次函数经过点和点，则下列说法错误的是
A．
B．无论取何值，此二次函数图象与轴必有两个交点，且函数图象截轴所得的线段长度必大于2
C．当函数在时，随的增大而减小
D．当时，
6．（2020•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点
（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
7．（2020•海安市模拟）若二次函数为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是 ．
8．（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）
两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
9．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）
三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
顶点
函数增减性
在对称轴左侧，随的增大而减小
在对称轴右侧，随的增大而增大
在对称轴左侧，随的增大而增大
在对称轴右侧，随的增大而减小
最值
当时，函数值有最小值，最小值为
当时，函数值有最大值，最大值为
开口方向
向上
向下
对称轴
顶点
函数增减性
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
最值
当时，函数值有最小值，最小值为
当时，函数值有最大值，最大值为
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6