沪科版八年级下册第18章 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理优秀同步练习题

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第十八章 勾股定理


18.2 勾股定理的逆定理及应用


精选练习答案


基础篇





一、单选题


1．（2020·湖北省初二期中）以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ）


A．2、3、4B．1、1、C．3、4、5D．5、12、13


【答案】A


【解析】


解：A、∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；


B、∵ ∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；


C、∵ ∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；


D、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．


故选：A．


2．（2017·浙江省初二期中）如图，在四边形，，，，，则四边形的面积是（ ）．





A．B．C．D．无法确定


【答案】B


【解析】





连接BD，


∵∠A=90°，AD=AB=4，


∴BD==4，


∵CD=2，BC=6，


∴BD2+CD2=BC2，


∴∠CDB=90°，


∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4.


故选B.


3．（2020·北京清华附中初二期中）如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为（ ）





A．B．C．D．


【答案】A


【解析】


解：∵AC＝13，AD＝12，CD＝5，


∴AD2＋CD2＝AC2，


∴∠ADC＝90°，


∴∠ADB＝90°，


在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝，


∴BC＝BD＋CD＝9＋5＝14，


故选：A．


4．（2019·山东省初二期中）若的三条边满足，则是（ ）


A．锐角三角形．B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定


【答案】B


【解析】


∵，


∴a−8＝0，15−b＝0，c−17＝0，


∴a＝8，b＝15，c＝17，


∴a2＋b2＝c2，


∴△ABC是直角三角形，


故选：B．


5．（2019·天津初二期中）在中，的对边分别为a，b，c，且，则（ ）


A．是直角三角形，且为直角


B．是直角三角形，且为直角


C．是直角三角形，且为直角


D．不是直角三角形


【答案】B


【解析】


化简得：，


∵的对边分别为a，b，c，


∴是直角三角形，且为直角，


故选B.


6．（2019·山东省初二期中）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（ ）





A．60°B．75°C．90°D．105°


【答案】C


【解析】


∵CD⊥AB，E为BC边的中点，∴BC=2CE=，∵AB=2，AC=1，∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，∴∠ACB=90°，∵tan∠A==，∴∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∴∠DCE=60°，∵DE=CE，∴∠CDE=60°，∴∠CDE+∠ACD=90°，故选C．


7．（2020·山西省初二期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）





A．122B．114C．110D．100


【答案】B


【解析】


解：在△ABD中，


∵，，，，，


∴，


∴△ABD是直角三角形，


∵，


∴△BCD是直角三角形，


∴四边形的面积=；


故选：B.


8．（2019·广东培正学院初二期中）五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）





A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；


B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；


C、72+242=252，152+202=252，故C正确；


D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，


故选C．


9．（2020·河南省河南师大附中金龙学校初二期中）在四边形中， ，若，则的大小为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


连接AC，





∵AB=BC=1，∠B=90°


∴AC=，


又∵AD=2，DC=，


∴()=22+()2，


即CD2=AD2+AC2，


∴∠DAC=90°，


∵，


∴∠ACD=90°-α，


∵AB=BC，


∴∠BAC=∠BCA=45°，


∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α；


故选：C.


10．（2020·内蒙古自治区初二期中）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）


①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．


A．2个B．3个C．4个D．5个


【答案】A


【解析】


①，故△ABC不是直角三角形；


②a=6，∠A=45°不是成为直角三角形的必要条件，故△ABC不是直角三角形；


③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形；


④72+242=252，故△ABC是直角三角形；


⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形．


故选A．


提高篇








二、填空题


11．（2019·江苏省初二期中）如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为_____．





【答案】45°


【解析】


由勾股定理得：AC＝BC＝，AB＝，


∵AC2+BC2＝AB2＝10，


∴△ABC为等腰直角三角形，


∴∠ABC＝45°．


故答案为：45°．


12．（2018·浙江省初二期中）如图所示，已知四边形ABCD中，，，，，且求四边形ABCD的面积______．





【答案】36


【解析】





解：连结AC，


在中，


，，，


，


，


在中，


，，，


，


是直角三角形，





四边形ABCD的面积．


故答案为：36．


13．（2019·四川省初二期中）已知:如图,在Rt ∆ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t秒.t= __________ 时三角形ABP为直角三角形.





【答案】2s或s


【解析】


解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，


∴BC=4 cm．


①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，


∴t=4÷2=2s．


②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=（2t-4）cm，AC=3 cm，


在Rt△ACP中，AP2=32+（2t-4）2，


在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，


∴52+[32+（2t-4）2]=（2t）2，


解得t=s．


综上，当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．


故答案为：2s或s．


14．（2020·山东省初二期中）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_____ cm．


【答案】12．


【解析】


如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D．


∵AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°．


∵S△ACB=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，∴15×20=25CD，∴CD=12（cm）．


故答案为12．





15．（2019·河南省实验中学初二期中）若是的三边，且，则的形状是__________．


【答案】直角三角形


【解析】


解：，


，


，


，


，，，


得，，，


，


，


、、是的三边，


是直角三角形，


故答案为：直角三角形．





三、解答题


16．（2019·湖北省初二期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．





（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为 ；


（2）求图中格点△ABC的面积；


（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．


（4）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值是 ．


【答案】（1）（0，0）；（2）5；（3）△ABC是直角三角形，理由见解析；（4）


【解析】


解：（1）B的坐标是（0，0）．


故答案是（0，0）；


（2）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝5，


（3）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，


∴AC2+BC2＝AB2，


∴△ABC是直角三角形．


（4）如图1所示：作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC．





∵点C与点C′关于x轴对称，


∴PC＝PC′．


∴AP+PC＝AP+PC．


∴当A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值，最小值为AC′的长．


∵AC′＝＝．


∴AP+PC的最小值为．


故答案为：．


17．（2018·江苏省滨海中学初二期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，


（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：


（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．


（本题可根据需要，自己画图并解答）





【答案】（1）当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．（2）当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s.


【解析】


（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，


∴BC＝4 cm．


①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，


∴t＝4÷2＝2s．


②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，


在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，


在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，


∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，


解得t＝s．


综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．


（2）①当BP＝BA＝5时，∴t＝2.5s．


②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，∴t＝4s．


③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（4﹣2t）cm，AC＝3 cm，


在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，


∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，解得t＝s．


综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s


18．（2019·广西壮族自治区初二期中）如图，已知在四边形中，，，，，．





（1）猜想与关系；


（2）求出四边形的面积．


【答案】（1）；详见解析；（2）


【解析】


（1）解：．理由如下：


连接．如图，





，，，


由勾股定理，得


．


又在中，，，


，


．





（2）解：由（1）知，，


四边形








即四边形的面积是