2021年中考数学专题复习 专题46 中考数学分类讨论思想（教师版含解析）

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专题46 中考数学分类讨论思想

全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角(边)不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。
1.分类讨论思想含义
数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.分类讨论一般应遵循以下原则
(1)对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。
(2)分类要完整，不重复，不遗漏。
(3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求
(1)考查数学概念及定义的分类。熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
(2)考查字母的取值情况或范围的分类。此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
(3)考查图形的位置关系或形状的分类。熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
(4)考查图形的对应关系可能情况的分类。图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
4.初中数学涉及分类讨论的常见问题
(1)绝对值中的分类讨论，
(2)应用题中的方案类型，
(3)概率统计中的分类讨论，
(4)分式方程无解的分类讨论问题
(5)一元二次方程系数的分类讨论问题
(6)三角形的形状不定需要分类讨论
(7)等腰三角形的分类讨论
(8)相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类
(9)常见平面问题中动点问题的分类讨论
(10)组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。
(11)圆中的分类讨论等等。

【例题1】(2020•凉山州)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为(　　)
A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【解析】∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC=12AB=12×12＝6(cm)，
点D是线段AC的三等分点，
①当AD=13AC时，如图，

BD＝BC+CD＝BC+23AC＝6+4＝10(cm)；
②当AD=23AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+13AC＝6+2＝8(cm)．
【对点练习】(2019贵州贵阳)在平面直角坐标系内，已知点A(﹣1，0)，点B(1，1)都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是(　　)

A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C．
【解析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
∵抛物线y＝ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
【例题2】(2020浙江绍兴)如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为　 　．

【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC＝AB＝2，∴BE＝，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
∵BD′＝2，∴D′E＝3，[来源:学科网ZXXK]
∴AD′＝＝2，
∴m＝2，
综上所述，m的值为2或2，
故答案为：2或2．

【对点练习】(2019齐齐哈尔)等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为　 　．
【答案】15°或45°或75°．
【解析】分点A是顶点、点A是底角顶点、AD在△ABC外部和AD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．

①如图1，点A是顶点时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
在Rt△ABD中，∠B＝∠BAD＝×(180°﹣90°)＝45°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，
∵AD＝BC，AC＝BC，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°；
③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，
∵AD＝BC，AC＝BC，
∴AD＝AC，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC＝(180°﹣30°)＝75°
【例题3】(2020•无锡)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点(0，m)(其中m＞0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
(1)若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
(2)当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【答案】见解析。
【分析】(1)①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
(2)分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A(a，14a2)，求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】(1)①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A(8，16)，
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M(12m，m)．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N(﹣2m，m)，
∴MN的中点的坐标为(-34m，m)，
∴P(-32m，2m)，把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
(2)①当点A在y轴的右侧时，设A(a，14a2)，
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M(8a，2)，
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N(-a2，2)，
∴P(8a-a2，4)，代入抛物线的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝(2±1)x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣(2±1)x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝(2±1)x或y＝﹣(2±1)x．

【对点练习】在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，(与点B和C不重合)，设BO＝x，ΔAOC的面积为.






(1)求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O
与圆A相切时ΔAOC的面积.
【答案】见解析。
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠BAC=90° AB=AC=　　　∴BC=4 　　AD＝BC＝2
∴
即
(2)当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtΔAOD中，
∵⊙A的半径为1，⊙O的半径为x　　
∴①当⊙A与⊙O外切时
　　解得　　　
此时，ΔAOC的面积
②当⊙A与⊙O内切时，　解得
此时ΔAOC的面积
∴当⊙A与⊙O相切时，ΔAOC的面积为.
【点拨】(1)过点A作AD⊥BC于D点　∵AB＝AC＝
∴AD＝=2

∴OC=BC－BO=4－x，
故ΔAOC的面积与的函数解析式为
即　
(2)由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.

一、选择题
1．为推进新时代课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案(　　)
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】C．
【解析】根据题意设5人一组的有x个，6人一组的有y个，利用把班级里40名学生分成若干小组，进而得出等式求出即可．
5x+6y=40，
当x=1，则y=(不合题意)；
当x=2，则y=5；
当x=3，则y=(不合题意)；
当x=4，则y=(不合题意)；
当x=5，则y=(不合题意)；
当x=6，则y=(不合题意)；
当x=7，则y=(不合题意)；
当x=8，则y=0；
故有2种分组方案．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意分情况讨论得出是解题关键．
2．(2020齐齐哈尔模拟)关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是(　　)
A. a=5或a=0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5且a≠0
【答案】D
【解析】
=，
去分母得：5(x﹣2)=ax，
去括号得：5x﹣10=ax，
移项，合并同类项得：
(5﹣a)x=10，
∵关于x的分式方程=有解，
∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
系数化为1得：x=，
∴≠0且≠2，
即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0。
二、填空题
3．(2020•铜仁市)设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm．
【答案】7或17．
【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【解析】分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7(cm)．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17(cm)．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
4．(2020•齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
【答案】10或11．
【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
5．(2020•泰州)如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　 　．

【答案】3cm或5cm．
【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．
【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：

OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3(cm)；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：

OP＝PH+OH＝4+1＝5(cm)；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm.
6．(2020•哈尔滨)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝63，CD＝1，则BC的长为　　．
【答案】7或5．
【解析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的意义，求出BD的长，再分类进行解答．
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝63，
∴BD=ADtanB=633=6，
如图1、图2所示：
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5

7．(2020•黑龙江)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=35a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为　 　．
【答案】2或305．
【解析】分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE=2AB=2；
②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出B'DEC=AB'B'E，求出BE=35a=55，由勾股定理求出AE即可．
解：分两种情况：
①当点B'落在AD边上时，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，
∴∠BAE＝∠B'AE=12∠BAD＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝1，AE=2AB=2；
②当点B'落在CD边上时，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，
∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE=35a，
∴CE＝BC﹣BE＝a-35a=25a，B'D=AB'2-AD2=1-a2，
在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴B'DEC=AB'B'E，即1-a225a=135a，
解得：a=53，或a＝0(舍去)，
∴BE=35a=55，
∴AE=AB2+BE2=12+(55)2=305；
综上所述，折痕的长为2或305；
故答案为：2或305．
三、解答题
8．(2020•湖州)已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处(不与点A，C重合)，折痕交BC边于点E．
(1)特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
(2)变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；
(3)化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由题意，得DB＝DP，DA＝DB，
∴DA＝DP，
∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD=12AB=12AC．
(2)解：∵AC＝BC＝62，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，
∵AD＝7，
∴DH62=712，
∴DH=722，
将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，

∵AB＝12，
∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，
∴HP1=DP12-DH2=52-(722)2=22，
∴A1＝AH+HP1＝42，
情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，

同法可证HP2=22，
∴AP2＝AH﹣HP2＝32，
综上所述，满足条件的AP的值为42或32．
(3)如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH=AC2-AH2=102-62=8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵sinA=CHAC=PDAD，
∴810=x12-x，
∴x=163，
∴AD＝AB﹣BD=203，
观察图形可知当6＜a＜203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．
、9．(2020•遵义)如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A(﹣1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【答案】见解析。
【解析】(1)把点A(﹣1，0)和点C (0，3)代入y＝ax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，
解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
(2)不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C (0，3)，
∴OC＝3，
则OH=12OC=32，tan60°=QHOH，
∴QH＝OH•tan60°=32×3=332，∴Q(332，32)，
把x=332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C (0，3)，
∴OC＝3，
则OT=12OC=32，tan60°=QTOT，
∴QT＝OT•tan60°=32×3=332，
∴Q(-332，32)，
把x=-332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=-2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
(3)令-34x2+94x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B(4，0)，
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，
解得：k=-34b=3，
∴BC直线的解析式为：y=-34x+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴(-34x2+94x+3)﹣(-34x+3)=-34x+3，
解得：x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)，
∴⊙M的半径为：MD=-34+3=94；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴(-34x2+94x+3)﹣(-34x+3)＝x，
解得：x1=83，x2＝0(不合题意舍去)，
∴⊙M的半径为：EM=83；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：

点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：-34×(﹣1)+3=154；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：

延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，
则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，
∴(34x2-94x﹣3)﹣(34x﹣3)＝x，
解得：x1=163，x2＝0(不合题意舍去)，
∴⊙M的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M的半径为94或83或154或163．


10．(2019辽宁本溪)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
(1)如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：　 　；
(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)．

【答案】见解析。
【解析】(1)结论：∠ECO＝∠OAC．
理由：如图1中，连接OE．







∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，
∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵BE＝ED，BO＝OA，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠OAC．
故答案为：∠OCE＝∠OAC．
(2)如图2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，
∴∠COA＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠MON，
∴∠COM＝∠AON，
∵∠ECO＝∠OAC，
∴∠MCO＝∠NAO，
∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON(ASA)，
∴OM＝ON．
②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，
∴OA＝AN＝m，
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝m，
∵BE＝ED，
∴CE＝BD＝m，
∴EM＝CM+CE＝m+m．
如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HN＝m，
∵AH＝m，
∴CM＝AN＝m﹣m，
∵EC＝m，
∴EM＝EC﹣CM＝m﹣(m﹣m)＝m﹣m，
综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．