2021年中考数学专题复习 专题43 整体思想运用（教师版含解析）

专题43  整体思想运用

1.整体思想的含义

整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

2.整体思想方法具体应用范围

(1)在代数式求值中的应用

(2)在因式分解中的应用

(3)在解方程及其方程组中的应用

(4)在解决几何问题中的应用

(5)在解决函数问题中的应用

【例题1】(2020•成都)已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为　    　．

【答案】49．

【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．

∵a＝7﹣3b，

∴a+3b＝7，

∴a2+6ab+9b2＝(a+3b)2＝72＝49

【对点练习】(2019内蒙古呼和浩特)若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为(　　)

A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4

【答案】D．

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，

∴x22﹣4x12+17

=x12+x22﹣5x12+17

=(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17

＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17

＝24﹣5x22

=24﹣5(﹣1﹣x1)2

=24﹣5(x12+x1+1)

＝24﹣5(3+1)

＝4

【例题2】(2020•衢州)定义a※b＝a(b+1)，例如2※3＝2×(3+1)＝2×4＝8．则(x﹣1)※x的结果

为　    　．

【答案】x2﹣1．

【解析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．

根据题意得：

(x﹣1)※x＝(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1．

【对点练习】分解因式：a2﹣2a(b+c)+(b+c)2

【答案】(a﹣b﹣c)2．

【解析】分解因式：a2﹣2a(b+c)+(b+c)2＝[a﹣(b+c)]2＝(a﹣b﹣c)2．

【例题3】(2020•天水)已知a+2b，3a+4b，则a+b的值为　　．

【答案】1

【分析】用方程3a+4b减去a+2b，即可得出2a+2b＝2，进而得出a+b＝1．

【解析】a+2b①，3a+4b②，

②﹣①得2a+2b＝2，

解得a+b＝1．

【对点练习】(2019辽宁本溪)先化简，再求值(﹣)÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．

【答案】见解析。

【解析】(﹣)÷

＝[]

＝()

＝

＝

＝，

∵a2+3a﹣2＝0，

∴a2+3a＝2，

∴原式＝＝1．

一、选择题

1.(2020•无锡)若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于(　　)

A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5

【答案】C

【解析】已知两等式左右两边相加即可求出所求．

∵x+y＝2，z﹣y＝﹣3，

∴(x+y)+(z﹣y)＝2+(﹣3)，

整理得：x+y+z﹣y＝2﹣3，即x+z＝﹣1，

则x+z的值为﹣1．

2．(2020•泰州)点P(a，b)在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于(　　)

A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1

【答案】C

【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝2．代入2(3a﹣b)+1即可．

【解析】∵点P(a，b)在函数y＝3x+2的图象上，

∴b＝3a+2，

则3a﹣b＝﹣2．

∴6a﹣2b+1＝2(3a﹣b)+1＝﹣4+1＝﹣3

3.一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是(　　)

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】D．

【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．

∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，

∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．

∴GC＝BC＝3，DH＝DE＝2．

∴GH＝3+3+2＝8，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣4﹣2＝2．

∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．

4．如图所示，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 (　　)

A．4 B． C． D．2

【答案】D． 

【解析】设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．

设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：

S△BDF＝4+a2-4/2-a(a﹣2)/2-a(a+2)/2

＝2+a2-a2/2+a-a2/2-a

＝2．

二、填空题

5．(2020•杭州)设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　    　．

【答案】．

【解析】根据完全平方公式得到(x+y)2＝x2+2xy+y2＝1，(x﹣y)2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．

(x+y)2＝x2+2xy+y2＝1，(x﹣y)2＝x2﹣2xy+y2＝4，

两式相减得4xy＝﹣3，

解得xy，

则P．

6．(2020•枣庄)若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝　   　．

【答案】1

【解析】根据完全平方公式，可得答案．

(a+b)2＝32＝9，

(a+b)2＝a2+b2+2ab＝9．

∵a2+b2＝7，

∴2ab＝2，

ab＝1

7.若+＝2，则分式的值为　   　．

【答案】﹣4；

【解析】 +＝2，可得m+n＝2mn，

＝

＝

＝﹣4；

故答案为﹣4；

8．已知x=2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是___________．

【答案】21

【解析】考点是代数式的整体思想。

由已知条件得x-2y=3，原式=4(x-2y)+9=12+9=21.

9．(2019湖南常德)若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　  　．

【答案】4．

【解析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．

∵x2+x＝1，

∴3x4+3x3+3x+1＝3x2(x2+x)+3x+1＝3x2+3x+1＝3(x2+x)+1＝3+1＝4

10．(2019江苏常熟)如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是　  　．

【答案】5．

【解析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；

∵a﹣b﹣2＝0，

∴a﹣b＝2，

∴1+2a﹣2b＝1+2(a﹣b)＝1+4＝5

三、解答题

11．已知x2+5x﹣998＝0，试求代数式x3+6x2﹣993x+1017的值．

【解析】由x2+5x﹣998＝0，得出x2+5x＝998，进一步分组整理代数式x3+6x2﹣993x+1017求得数值即可．

∵x2+5x﹣998＝0，

∴x2+5x＝998，

原式＝x(x2+5x)+x2﹣993x+1017

＝998x+x2﹣993x+1017

＝x2+5x+1017

＝998+1017

＝2015．

12．已知：a﹣b＝b﹣c＝1，a2+b2+c2＝2，则ab+bc+ac的值等于　  　．

【答案】-1

【解析】∵a﹣b＝b﹣c＝1，

∴a﹣c＝2，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac

=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)/2= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]/2＝3，

∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣3＝2﹣3＝﹣1；

故答案为：﹣1．

13.分解因式：4(a﹣2b)2﹣9(2a+b)2．

【答案】﹣(4a+7b)(8a﹣b)．

【解析】原式＝[2(a﹣2b)+3(2a+b)][2(a﹣2b)﹣3(2a+b)]＝﹣(4a+7b)(8a﹣b)．

14.．设a，b，c是一个三角形的三边长，试判断：a2﹣b2﹣c2﹣2bc的值的正负，并说明理由．

【答案】见解析。

【解析】先分组，再利用公式法分解得到a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝(a+b+c)(a﹣b﹣c)，然后根据三角形三边的关系确定积的符号即可．

代数式的值为负数．理由如下：

a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝a2﹣(b2+c2+2bc)

＝a2﹣(b+c)2

＝(a+b+c)(a﹣b﹣c)，

∵a，b，c是一个三角形的三边长，

∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴a2﹣b2﹣c2﹣2bc＜0．

15.解方程组

．

【答案】见解析。

【解析】设x﹣3＝u，2/3+y＝v，方程组变形后求出u与v的值，即可确定出x与y的值．

方程组变形得：

，

②×2﹣①得：41u＝41，即u＝1，

把u＝1代入①得：v＝1，

∴，

解得：

．