高中数学11.2 正弦定理精品随堂练习题

这是一份高中数学11.2 正弦定理精品随堂练习题，共6页。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )


A．eq \r(3)＋1B．2eq \r(3)＋1


C．2eq \r(6)D．2＋2eq \r(3)


C [由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，


∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6).]


2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )


A．45°或135°B．135°


C．45°D．以上答案都不对


C [∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，


∴B＝45°或135°.


但当B＝135°时，不符合题意，


∴B＝45°，故选C．]


3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )


A．sin A>sin BB．cs A

C．sin 2A>sin 2BD．cs 2A

C [A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cs x单调递减，∴cs A

cs 2A＝1－2sin2A．


∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B，


∴cs 2A

4．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是( )


A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4)


C．eq \f(π,2)D．eq \f(π,6)


A [由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，


∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，


∴a∶b∶c＝5∶7∶8，


∴cs B＝eq \f(25＋64－49,2×5×8)＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3).故选A．]


5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )


A．锐角三角形B．直角三角形


C．钝角三角形D．等腰三角形


B [∵a＝bsin A，∴eq \f(a,b)＝sin A＝eq \f(sin A,sin B)，∴sin B＝1，


又∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,2)，


即△ABC为直角三角形．]


二、填空题


6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．


eq \f(\r(6),3) [由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3).]


7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________.


1 [在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0

又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，


∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3).


∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1.]


8．在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.


2 [由正弦定理可知eq \f(AB,sin[180°－75°＋45°])＝eq \f(AC,sin 45°)，即eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，解得AC＝2.]


三、解答题


9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cs B＝eq \f(3,5).


(1)若b＝4，求sin A的值；


(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．


[解] (1)∵cs B＝eq \f(3,5)>0，且0

由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2×\f(4,5),4)＝eq \f(2,5).


(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝4，∴eq \f(1,2)×2×c×eq \f(4,5)＝4，∴c＝5.


由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝22＋52－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，∴b＝eq \r(17).


10. 已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.


(1)求角A的大小；


(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．


[解] (1)由acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，


得sin Acs C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B．


因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，


所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cs Asin C．


因为sin C≠0，所以cs A＝eq \f(\r(3),2).


因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,6).


(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).


所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).


①当B＝eq \f(π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，所以c＝2；


②当B＝eq \f(2π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，所以c＝a＝1.


综上可得c＝1或2.





1．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为eq \f(\r(3)＋1,2)，则三角形的最大角为( )


A．60° B．75° C．90° D．115°


B [不妨设a为最大边，c为最小边，


由题意有eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(3)＋1,2)，


即eq \f(sin A,sin120°－A)＝eq \f(\r(3)＋1,2).


整理得(3－eq \r(3))sin A＝(3＋eq \r(3))cs A．


∴tan A＝2＋eq \r(3).


又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B．]


2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(eq \r(3)，－1)，n＝(cs A，sin A)，若m⊥n，且acs B＋bcs A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )


A．eq \f(π,6)，eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)，eq \f(π,6)


C．eq \f(π,3)，eq \f(π,6)D．eq \f(π,3)，eq \f(π,3)


C [∵m⊥n，∴eq \r(3)cs A－sin A＝0，


∴tan A＝eq \r(3)，


又∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3)，


由正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝eq \f(π,2)，B＝eq \f(π,6).]


3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则cs B＝________.


eq \f(\r(5),4) [在△ABC中，因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(5),2)b，,A＝2B，))


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A＝\f(\r(5),2)sin B，,sin A＝sin 2B＝2sin Bcs B，))


所以cs B＝eq \f(\r(5),4).]


4．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.


2 [∵A∶B∶C＝1∶2∶3，


∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.


∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，


∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，


∴eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝2.]


5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝eq \f(3,5).


(1)求b和sin A的值；


(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．


[解] (1)在△ABC中，因为a＞b，


故由sin B＝eq \f(3,5)，可得cs B＝eq \f(4,5).


由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝13，


所以b＝eq \r(13).


由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，


得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(3\r(13),13).


所以b的值为eq \r(13)，sin A的值为eq \f(3\r(13),13).


(2)由(1)及a＜c，得cs A＝eq \f(2\r(13),13)，


所以sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(12,13)，


cs 2A＝1－2sin2A＝－eq \f(5,13).


故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))＝sin 2Acs eq \f(π,4)＋cs 2Asineq \f(π,4)


＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)－\f(5,13)))＝eq \f(7\r(2),26).